Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Распределение случайных величин. Учебное пособие
.pdf
о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины p
(x) формулами
F
x
(x), которая связана с функцией распределения
x
и .
Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной ве-
личины
.
Основные виды дискретных распределений
Бимодальное распределение
Это распределение, имеющее две моды (т. е. два «пика»).
Бимодальность распределения выборки часто является показателем того, что распределение не является нормальным.
Бимодальность распределения дает важную информацию
о природе исследуемой переменной. Например, если переменная представляет собой предпочтение или отношение к чемуто, то бимодальность может означать противоположность
м н е н и й . Т е м н е м е н е е б и м о д а л ь н о с т ь ч а с т о м о ж е т п о к а з ы в а т ь ,
что выборка не является однородной и наблюдения порождены двумя или более «наложенными» распределениями.
Иногда бимодальность распределения означает, что выбранные инструменты не подходят для измерения (например, «проблемы разметки» в естественных науках, «смещенные ответы»
в социальных).
Нормальное распределение
Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, — распределение вероятностей, которое играет
важнейшую роль во многих областях знаний. Сам термин был
предложен К. Пирсоном. Величина подчиняется нормальному
распределению в тех случаях, когда она подвержена влиянию
большого числа случайных помех. Такая ситуация широко
распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений в природе чаще всего встречается именно нормальное
распределение.
Нормальное распределение зависит от двух парамет-
ров — смещения и масштаба, т. е. является с математической точки зрения не одним распределением, а целым
их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения). Стандартным нормальным
распределением называется нормальное распределение
с математическим ожиданием 0 и стандартным откло-
нением 1.
Распределение вероятностей случайной величины X
называют нормальным, если оно имеет плотность вероят-
ности
12 13
Математическое ожидание X равно а, дисперсия X р а в -
, а характеристическая функция имеет вид
на
Кривая нормального распределения
симметрична относительно ординаты, проходящей через точ-
ку и имеет в этой точке единственный максимум, равный
пределения становится все более островершинной. Изменение
а при постоянном s не меняет форму кривой, а вызывает лишь
ее смещение по оси абсцисс. Площадь, заключенная под кривой нормального распределения, всегда равна единице. При
a = 0,
ния равна
Говорят, что случайная величина
ное распределение с параметрами
шут:
с вероятностями
величина с таким распределением имеет смысл числа успехов
испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха .
в
С уменьшением s кривая нормального рас-
соответствующая функция распределе-
Биномиальное распределение
имеет биномиаль-
и , и п и -
, если принимает значения
. Случайная
Таблица распределения
имеет вид:
Геометрическое распределение
Говорят, что случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром
, и пишут
, если принимает значения
с вероятностями
. Случайная
величина с таким распределением имеет смысл номера
первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха
. Таблица распределения имеет
вид:
Вырожденное распределение
Говорят, что случайная величина имеет вырожден-
ное распределение в точке
, и пишут: , если
принимает единственное значение с в е р о я т н о с т ь ю 1 ,
т. е.
. Функция распределения имеет вид:
14 15
Распределение Пуассона
Распределение Пуассона — вероятностное распределение
дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят
с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.
Распределение Бернулли
Говорят, что случайная величина
Бернулли с параметром
ет значения 1 и 0 с вероятностями
Случайная величина
успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью
успеха
ления
: ни одного успеха или один успех. Таблица распреде-
имеет вид:
Функция распределения случайной величины такова:
, и пишут: , если принима-
с таким распределением равна числу
0 1
имеет распределение
и соответственно.
Примеры решения задач.
Подготовка к ФЕПО
Задача. Дискретная случайная величина X задана функци-
ей распределения вероятностей
Чему равна вероятность ?
Решение: Так как по определению
то случайную величину X можно задать законом распределения вероятностей вида
Следовательно,
16 17
Задача. Дискретная случайная величина X задана функци-
ей распределения вероятностей
Чему равна вероятность ?
Решение: Так как по определению
то случайную величину X можно задать законом распределения вероятностей вида
Следовательно,
Задача. Дискретная случайная величина X задана законом
распределения вероятностей:
И вероятность
Найти значения a, b и c.
Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений X равна 1, то
А так как
Следовательно,
то
, и, например,
Задача. Дискретная случайная величина X задана законом
распределения вероятностей:
Чему равны значения a и b?
Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений X равна 1, то Этому
условию удовлетворяет ответ:
18 19
Задача. Для дискретной случайной величины X:
функция распределения вероятностей имеет вид:
Найти значение параметра p.
Решение: По определению
Следовательно, и Этим условиям
удовлетворяет, например, значение
Задача. Для дискретной случайной величины X:
Функция распределения вероятностей имеет вид:
Найти значения вероятностей p1, p2, p3 и p
5.
Решение: По определению
Следовательно,
и
Задача. Дискретная случайная величина X задана законом
распределения вероятностей:
Найти .
Решение:
20 21
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]