Прогнозирование реологических характеристик модельных топлив. Лабораторный практикум

Рис. 21. Зависимости относительного модуля деформации

сдвига модельного топлива на основе эпоксидного полимера

от объёмного содержания стеклянных шариков:

1 – расчёт по формулам (33), (34); 2 – расчёт по формулам Ванина

Рис. 22. Зависимости относительного объёмного модуля деформации

модельного топлива на основе эпоксидного полимера

от объёмного содержания стеклянных шариков:

1 – расчёт по формулам (33), (34); 2 – расчёт по формулам Ванина

В силу симметрии соотношений (33), (34) относительно номера наполнителя, эти соотношения могут быть использованы для прогнозирования эффективных модулей многокомпонентных модельных топлив.

51

3.2. Макроскопические свойства течения вязкопластических

2 , ,

ij m s m s kl kl kk ij

s k e e e

ɺ

ɺ ɺ ɺ

ɺ ɺ

(

)

pp m s kl kl kk pp

σ ε ε

ɺ ɺ

;

m s

k

(

)

,

m s kl kl kk

η ε

ɺ

(

)

m s kl kl kk

ε

ɺ

ij

σ

ij

ε

ɺ

;em s

η

m s m s kl kl kk

η η ε

ɺ

ɺ ɺ

; ;

m s m s

m s

ε

Θ =

ɺ

(

)

ij m s m s m s ij

s e

ɺ

(

)

pp m s m s m s pp

σ ε

ɺ

e

η

e

η

( ) 0

σ

=

(бингамовских) и неньютоновских многокомпонентных КМ

В этом разделе моделируются макроскопические параметры течения многокомпонентных нелинейных вязкопластических (бингамовских) и неньютоновских сред [24, 35–38].

Рассмотрим среду, компоненты которой моделируются параллельным соединением нелинейно-вязкого и идеально-пластического элементов (модель Бингама). Определяющие локальные уравнения течения компонентов КМ запишем в виде:

e

= +

; ;

ij

e e

kl kl

η ε

( )

ɺ

3 ,

K e e

=

ɺ ɺ

;

, (41)

где

,

ɺ ɺ

e e

;

,

K e e

ɺ ɺ

,

;

– пределы текучести, коэффи-

циенты нелинейной вязкости и объемные модули компонентов КМ;

– тензор напряжений;

– тензор скоростей деформаций.

k

;

Вводя величины

e

:

2 2 ,

; ;

локальные нелинейные уравнения (41), положив

;;m s kk

Коэффициент

, приходим к соотношениям:

e

2 ,

η

= Λ Θ

; ; ;

аналогичен введённому А.В. Гноевым,

m s

= +

e e

kl kl

,

ɺ ɺ

e e

( )

m s kl kl

3 ,

K

= Λ Θ

; ; ;

и, линеаризуя

ɺ ɺ

;

e eΛ =

. (42)

и

В.М. Чесноковым и Д.М. Климовым [39] коэффициенту эквивалентной вязкости. Под ской жидкости, которая оказывает такое же сопротивление относительному перемещению, как и рассматриваемая вязкопластическая среда.

Присоединим к определяющим соотношениям (42) уравнения равновесия

ij j

r

,

будем понимать вязкость такой неньютонов-

и формулы Коши, связывающие тензор скоро-

52

стей деформаций с вектором скоростей перемещений

( ) ( ) ( )

2

r r r

( )

r

ɺ

,

S ij

e

ɺ

( )

σ

r

S ij

σ

(

)

ij m s m s ij

s e

ɺ

(

)

pp m s m s pp

σ ε

ɺ

s s s

m s s

c

c c

η α

α

s s s

m s s

K c

γ

e

η

η η

 

 

3 4

e

m m

η

, .

s kl kl m kl kl

e e e e

α

ɺ ɺ ɺ ɺ

, .

s kk m kk

γ

ε ε

ɺ ɺ

=

ɺ

e v v= +

ij i j j i

( )

, ,

. Получим замкнутую систему уравнений тече-

ния рассматриваемого композиционного материала с граничными

1

условиями:

e

|

ij

∈=r

|

ij

∈=r

.

Используя рассмотренную в разделе 1 методику осреднения, получим макроскопический закон течения рассматриваемого КМ:

*

2 , , ,

η

= Λ Λ Θ Θ

∗

3 , , ,

K

= Λ Λ Θ Θ

; (43)

;

∗

η η

= +

n

e

 

∑

s

1

=

 

n

+

∑

s

∗

,

K K

= +

1

=

e

m

n

 

∑

 

1

s

=

n

c c

+

∑

s

=

, (44)

1

где

α

=

s

6 2

1

+

5 3 4

1

K

+

m m

K

+

m m m

и параметры линеаризации:

s

n n

+ +

m s s m s s

α α

∑ ∑

1 1

s s

= =

s

n n

c c c

m s s m s s

γ α γ

+ +

∑ ∑

1 1

s s

= =

При

Λ = Λ =

c c c c

Θ = Θ =

k

;0m s

соотношения (43)–(46) определяют макроско-

η

e

e e

,

γ

=

s

1

3

K

[ ]

+

K

+

(45)

s

1

; (46)

1

пический закон течения смеси неньютоновских жидкостей. В этом случае необходимо в (44) и (45) положить

53

e

ηη

=

.

m

Рассмотрим суспензию, состоящую из вязкого связующего мате-

=

m m

η

>>

2(1 )

c

 

 

 

(1 )

c

−

(

)

1 2,5

c

( , ) ( ) ( , ), ( , ) ( ) ( , )

τ τ σ τ ε τ

r r r r

риала, наполненного абсолютно жёсткими включениями, то есть будем предполагать, что

∞→

η

s

,

K

∞→

s

,

ns ...,,2,1

. Тогда, считая, что объ-

ёмная вязкость связующего материала значительно больше сдвиговой вязкости, то есть

K

, получим приближённые соотношения для

эффективных вязкостей суспензии:

5

c

−

*

,

K Kc= +

m

. (47)

Здесь

=

∑

s

*

η η

n

cc

.

s

=

1

= +

m

Первое из этих соотношений при малой концентрации включений преобразуется в известное соотношение Эйнштейна:

*

η η

= +

m

.

Таким образом, предложенный подход позволяет моделировать нелинейно-вязкопластическое и нелинейно-вязкое течение различных эмульсий и суспензий.

3.3. Эффективные функции релаксации многокомпонентных вязкоупругих КМ

В этом разделе моделируются макроскопические (эффективные) модули релаксации многокомпонентных изотропных вязкоупругих КМ типа «матрица – шаровые включения», компоненты которых проявляют наследственные свойства [40, 41].

Рассмотрим многокомпонентный КМ, первый компонент которого является матрицей, а другие – отдельными, хаотически распределенными в матрице включениями различных материалов, имеющих шаровую форму.

Пусть локальные реологические свойства вязкоупругих компонентов КМ имеют вид:

t t

s t t de t V t d

ij m ij kk m kk

= Π − = −

∫ ∫

0 0

54

; (48)

( , ) ( ) ( , ), ( , ) ( ) ( , )

t t

τ τ σ τ ε τ

r r r r

( )mt

Π

( )st

Π

( )mV t

( )sV t

t

( ) ( ) ( ( ) )

τ τ

( ) ( ) ( ( ) )

σ τ ε τ

( )

t

( )

V t

( ) exp( )

t A t

λ

( ) exp( )

V t D r t

( ) exp( )

s s

t A t

λ

( ) exp( )

s s

V t D r t

, , , , , , ,

m s m s m s m m

k k k k k k k k

A A D D r r

p

+

r p

+

A

p

+

D

r p

+

( ) ( ) ( )

s p p e p

( ) ( ) ( )

p V p p

s t t de t V t d

ij s ij kk s kk

= Π − = −

∫ ∫

0 0

,

где

,

и

,

– модули сдвиговой и объёмной релакса-

ций компонентов КМ;

– время.

Макроскопический закон релаксации рассматриваемого материала имеет следующий вид:

t

s t t d e

== Π −

ij ij

*

∫

0

Для нахождения

Π

,

*

и

*

будем рассматривать модули релак-

t V t d

kk kk

t

== −

*

∫

0

. (49)

сации его компонентов в виде конечных сумм экспоненциальных функций:

K

Π = −

m k k

Π = −

s k k

∑

k

∑

k

K

=

1

=

1

m m

,

m k k

,

s k k

K

∑

k

1

=

m m

= −

K

= −

∑

k

=

; (50)

,

где постоянные

λ λ

определяются аппрокси-

мацией соответствующих экспериментальных кривых релаксации компонентов КМ.

В пространстве изображений по Лапласу функции релаксации имеют вид:

( )

Π =

m

p p

K

∑

k

=

m

A

k

m

λ

1

k

( )

V p p

,

m

K

=

∑

k

=

m

D

k

m

1

k

;

(51)

( )

p p

Π =

s

K

∑

k

=

s

k

s

λ

1

k

( )

V p p

,

s

K

=

∑

k

=

s

k

,

s

1

k

где p – параметр преобразования Лапласа.

Тогда эффективный закон деформирования в пространстве изображений можно записать в виде:

*

ij ij

= Π

,

где эффективные функции релаксации вычисляются по формулам,

55

σ ε

kk kk

*

=

, (52)

которые следуют из соотношений (33), (34):

s s s

p c

α

s s s

V p c

γ

( )

5 3 ( ) 4 ( ) ( )

p

V p p p

 

 

3 ( ) 4 ( )

V p p

p const

µ

Π = =

p const

µ

Π = =

V p K const

= =

V p K const

= =

, , ,

m s m s

K K

µ µ

n

( )

Π

 

∑

*

( ) ( )

p p

Π = Π +

∗

( ) ( )

V p V p

m

= +

m

 

1

s

=

c c

+

m s s

n

 

∑

 

1

s

=

c c

+

m s s

∑

s

( )

n

∑

1

s

=

n

1

=

; (53)

α

;

α

=

1

s

6 ( ) 2 ( )

1

V p p

+

+ Π

m m

+ Π Π

m m m

Π

s

;

(54)

γ

1

=

s

1

+

 

3 ( )

V p

s

 

+ Π

m m

.

Применяя к этим соотношениям операцию обращения при помощи стандартных методов, окончательно найдём макроскопический закон релаксации рассматриваемого КМ.

В случае когда компоненты КМ идеально упругие (не проявляют наследственных свойств):

( )

m m

( )

m m

.

,

( )

s s

,

( )

m m

,

Здесь

– сдвиговые и объемные модули упругости.

3.4. Эффективные характеристики максвелловских и фойгтовских многокомпонентных КМ

В этом разделе моделируются макроскопические свойства вязкоупругих многокомпонентных КМ, компоненты которых описываются двухэлементными моделями Максвелла и Фойгта [24, 42–47].

Пусть реологические свойства компонентов КМ описываются двухэлементными моделями типа релаксирующего тела Максвелла.

Пусть упругие элементы компонентов подчиняются обобщённому закону линейной упругости:

56

( , ) 2 ( , ), ( , ) 3 ( , ),

s t e t t K t

µ σ ε

r r r r

(

)

( , ) 2 ( , ) ( , ), ( , ) ( , ).

s t e t e t t e t

r r r r r

,

m s

µ

,

m s

K

;

m s

K

(

)

( , ) ( , ), ( , )

e t e t t

(

)

( , ) ( , ), ( , )

e t e t t

()(

)

( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( , ), ( , )

e t e t t e t e t t

( )

χ

r

( , ) , ( , ) 3 ( ) ( , ),

e t t K t

r r r r

ɺ

(

)

( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( )

= +

r r r r r

( , ) ( , ), ( , ) ( )

r r r r

( ) ( ) ( )

r r r

( ) ( ) ( )

r r r

( ) ( ) ( )

r r r

( , ) 0

σ

=

( , ) ( , ) ( , )

2

t u t u t

( , ) ( )

t t

( , ) ( )

t t

ij m s ij kk m s kk

= =

, ,

а вязкие – нелинейным законам течения:

(55)

=

– сдвиговые и объемные модули упругости (в ка-

Здесь честве

ij m s kl kl kk ij

,

можно выбирать объёмные модули упругости или объём-

ные модули вязкости);

η ε

m s kl kl kk

ɺ ɺ ɺ

,

ɺ ɺ

,

r r r

(56)

– коэффициенты не-

линейной вязкости.

Представим коэффициенты нелинейной вязкости материалов фаз

η ε

m s kl kl kk

ɺ ɺ

,

r r r

η ε η ϕ ε

m s kl kl kk m s m s kl kl kk

ɺ ɺ ɺ ɺ

, , ,

следующим образом:

=r r r r r r

С помощью системы индикаторных функций

m s

перепишем

,

локальные определяющие соотношения в виде:

( , ) ( , )

s t s t

r r

ɺ

i j kk kk

i j i j

= + =

2 ( ) 2 ( ) ( , )

r r r

µ η ϕ

σ ε

t

(57)

.

где

t e t e t t

ϕ ϕ ε χ

µ µ χ µ χ

ɺ ɺ

m kl kl kk m

n

ϕ ε χ

= +

m m s s

η η χ η χ

+

∑

n

∑

1

s

=

= +

( )

s kl kl kk s

1

s

=

m m s s

ɺ ɺ

e t e t t

,

K K K

n

∑

1

s

=

χ χ

= +

m m s s

.

n

∑

s

=

;

1

Рассматривая уравнения (57) совместно с уравнениями равновесия и формулами Коши:

1

= +r r r

( )

, ,

, (58)

i j j

t

r

,

ε

,

i j i j j i

получим замкнутую систему уравнений деформирования среды, на границе которой выполняется условие отсутствия флуктуаций стохастических величин, заданных в объеме V:

ε ε

r

ij S ij

∈=r

,

σ σ

r

ij S ij

а все процессы, протекающие во времени, детерминированы.

57

∈=r

, (59)

С целью линеаризации соотношений (57) будем пренебрегать

( , )

t

ϕ

r

( , ) ( ) ( ) ( )

t c e t c e t t

≈ + = ∆

t

( )

dt

t

∆

∫

( )

dt

t

( , ) ( , ) ( , )

,

2 ( ) 2 ( )

τ τ τ

r r

( , ) 3 ( ) ( , )

σ τ ε τ

=

r r r

( , ) 0

σ τ

=

( , ) ( , ) ( , )

2

ε τ τ τ

( , ) ( )

ε τ ε τ

( , ) ( )

σ τ σ τ

f p f e d

τ τ

( , ) 2 ( , ) ( , )

s p M p e p

r r r

( , ) 3 ( ) ( , )

p K p

σ ε

=

r r r

( , ) 0

σ

=

( , ) ( , ) ( , )

2

p u p u p

( , ) ( )

p p

( , ) ( )

p p

( , ) ( ) ( )

r r r

( ) ( ) ( )

r r r

m s m s

p

µ η

, ,

m s m s

K K

( ) 2 ( ) ( )

s p M p e p

( ) 3 ( ) ( )

p K p p

флуктуациями функции

в объеме КМ V, и заменим в ней деви-

аторные составляющие тензоров скоростей деформаций на их средние значения в объеме V, положив

n

ϕ ϕ ϕ

r

m m k l s s k l

ɺ ɺ

( ) ( )

∑

s

=

1

.

Перейдем в системе уравнений (57)–(59) от физического времени

к модифицированному времени τ с помощью замены переменной

t

τ

=

0

,

d

τ

=

, получим систему уравнений:

∆

de ds s

kk kk

K

ij S ij

r r r

i j i j i j

d d

τ µ τ η

r

1

= +

,

∈=r

i j j

r

,

;

,

r

ij S ij

i j i j j i

(60)

1

u u

= +r r r

( )

, ,

∈=r

.

;

Применяя к системе (60) преобразование Лапласа:

∞

( , ) ( , )

=

r r

∫

0

p

τ

−

,

получим в пространстве изображений ассоциированную линейноупругую задачу установления эффективных характеристик:

Здесь

i j i j

i j j

M p M M

=

p

r

,

ε ε

r

ij S ij

= +

χ χ

m m s s

,

∈=r

ε

i j i j j i

n

∑

1

s

=

p

M

m s

=

,

µ η

m s m s

,

kk kk

1

= +r r r

( )

, ,

,

σ σ

r

ij S ij

,

, ,

+

, ,

K K K

= +

,

n

∑

s

=

.

∈=r

χ χ

m m s s

=

.

;

1

; (61)

,

Эффективная связь между макровеличинами в пространстве изображений имеет следующий вид:

i j i j

=

*

,

σ ε

kk kk

58

=

*

. (62)

В качестве «базисных» упругих решений задачи (61) в простран-

s s s

m s s

M c

α

s s s

m s s

K c

c c

γ

s

m m

µ

ν µ

s

K

 

 

m m

µ

ν

µ

; ;

m s m s

p

µ η

; ;

m s m s

K K

l

m

a p

b p

n

r

f p

q p

l

a

m

b

n

f

r

q

;

m s

µ

;

m s

η

;

m s

;

m s

c

f f p e dp

( ( ) ) ( ( ) )

b D s t a D e t

( ( ) ) ( ( ) )

q D t f D t

... ( ) ...

стве изображений воспользуемся эффективными решениями:

где

M

m s

;

∗

M M

α

=

s

1

; ;

m s m s

=

µ η

= +

m

2 4 5

+

15 1

p

+

n

 

∑

 

1

s

=

c c

+

1

ν

−

m

−

,

n

∑

1

s

=

[ ]

=

∗

,

K K

= +

,

γ

=

s

1

+

3(1 )

.

m

+

ν

−

n

∑

s

=

1

m

ν

m m

   

1

+

n

∑

s

=

; (63)

1

3 2

K

−

,

=

m

m m

2 3

K

( )

+

Отсюда видно, что эффективные модули имеют вид

L

N

,

и коэффициенты

*

( )

M p

,

∑

l

0

l

=

M

∑

m

0

m

=

,

в этом выражении являются рациональ-

,

K p

*

( )

∑

n

0

n

=

R

∑

0

r

=

, (64)

r

ными алгебраическими функциями материальных параметров компонентов КМ и их объемных концентраций

,

K

,

.

Применяя к уравнениям (63) операцию обращения

i

σ

+ ∞

r r

∫

2

i

π

i

− ∞

σ

( , ) ( , )

1

τ

=

p

−

τ

при помощи известных стандартных мето-

дов после задания конкретного значения реологических характеристик материалов фаз и их объемных концентраций и возвращаясь к физическому времени t, получим эффективные реологические соотношения нелинейной наследственности, записанные в дифференциально-операторной форме:

D t

где

p

{ } { }

 

= ∆

   

d

dt

M L

∑ ∑

m m i j l l i j

0 0

m l

= =

R N

∑ ∑

r r kk n n kk

0 0

r n

= =

p

σ ε

=

.

59

; (65)

,

В интегральной форме эффективные определяющие соотношения

( ) 2 ( ) ( ) ,

θ θ

( ) 3 ( ) ( ) .

σ θ ε θ

(0) (0)

1,

m M

1,

l L

(

)

(0)

( )

k l

−

0t=

( , ) 2 ( , ), ( , ) 3 ( , )

s t e t t K t

r r r r

(

)

( , ) 2 ( , ) ( , ), ( , ) ( , )

s t s t s t s t e t

r r r r r

(

)

( , ) 2 ( , ) 2 ( , ) ( , ), ( , ) ( , )

s t e t s t s t s t e t

r r r r r r

( , ) 3 ( , )

t K t

r r

записываются в виде:

t

s t M t d e

= −

ij ij

*

∫

0

t K t d

kk kk

t

= −

*

∫

0

(66)

Заметим, что связь между девиаторными компонентами напряжений и деформаций (65) имеет место при выполнении начальных условий:

где

k lf−

M L

∑ ∑

k m k l

= =

– производная

k m k l

− −

( ) ( )

b s a e

k ij k ij

=

;

=

;

=

-того порядка в точке

,

.

Для рассматриваемых КМ из (63) следует в общем случае нелинейная зависимость эффективных объемных функций релаксации от материальных характеристик компонентов и их объемных концентраций, в то время как каждый из материалов, составляющих КМ, в отдельности при объемном нагружении ведет себя линейно-упругим образом. Отмеченное свойство объясняется сложным перераспределением во времени системы внутренних напряжений в микронеоднородной среде в процессе ее деформирования.

Рассмотрим КМ, механические свойства которых описываются реологическими моделями Фойгта.

Пусть упругие элементы фаз подчиняются закону упругости:

µ σ ε

ij m s ij kk m s kk

= =

; ;

, (67)

а нелинейно-вязкие – закону:

η

ij m s kl kl kk ij

=

;

ɺ

. (68)

Локальные реологические уравнения состояния компонентов имеют вид:

µ η

ij m s ij m s kl kl kk ij

= +

; ;

ɺ

; (69)

σ ε

kk m s kk

=

;

60

.