Прогнозирование реологических характеристик модельных топлив. Лабораторный практикум

Видно, что для нахождения макроскопического закона деформи-

,ijs

α

ij

ε

( ) ( ) ( )

2

r r r

f f f

0

+ − − =

( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )

r r r r r

ik ik pp ik

G r r

 

 

 

( ) ( ) ( )

G d

∫

1

r r r r r

( )

r

G d

∫

1 1

r r r r r

( )

χ

r

( ) 2 ( ) 2 ( ) 2

( ) ( ) ( )

 

 

 

рования необходимо выразить деформации ческие деформации

.

ε

через макроскопи-

Для этого преобразуем систему уравнений (17)–(19) в систему уравнений в перемещениях, подставляя последовательно определяющие соотношения (17) в уравнения равновесия (18) и формулы Коши

(19), записанные для флуктуаций величин:

/ / /

ε

ij

Здесь штрихом обозначены флуктуации величин:

1

u u

= +

( )

, ,

i j j i

.

/

= −

.

Получим

1

.

3

s

.

Здесь

 

/ / /

u K u

µ µ τ

, , ,

m i pp m m p pi i pp

   

n n

τ µ χ ε δ λ χ ε

=− −

ij s s ij ij s s pp

∑ ∑ ∑ ∑

1 1 1 1

s s

= = = =

α α

s

[ ] [ ]

α α

, ,

С помощью тензора Грина для неограниченного пространства:

r

8 3 4

π µ µ

δ

, ,

m m m

( )

1 3

= −

K

m m

K

µ

+

.

+

Эта система уравнений заменяется системой интегральных уравнений:

/ /

ε τ

Умножим эти уравнения на

= −

ij ik lj kl

, 1 1

V

/

χ

,

s

α

и усредним по полному объему.

.

Получим

Функция

/ / / /

χ ε χ τ

, , 1 ,

s ij ik lj s kl

описывает только эллипсоидальные включения

,

s

α

= +

α α

V

( ) ( ) ( )

.

одного направления. Будем считать, что корреляционная функция имеет вид

/ / ( . )

( ) ( )

χ τ

r r r

,

s kl kl

α

+ = + +

1

s

α

f

41

2 2 2

x x x

1 2 3

s s s

a a a

1 2 3

.

Это допущение является обобщением гипотезы сильной изотро-

s ij ijkl kl kl

χ ε τ τ

,ijs

α

1 / /

ij ij s s ij

ε ε χ ε

( ) ( )

χ ε

r r

,ijs

α

=

(

)

ε τ τ

( , ) ( , ) ( , )

ijkl ijkl ij ppkl

α α α

ν

( , )

ijkl

α

m m

µ

ν

µ

−

(

)

, , ,

2

S Q a a I R I I S a QI RI i j

= + + + = − ≠

,

ν

−

2 ,

a u

2 , ,

I a a a i j

a u

τ

= +

пии на случай эллипсоидальной анизотропии в одном направлении.

В этом случае интегралы вычисляются точно и их значения выражаются формулой:

c

,

s

/ / ( , )

α

,

α

s

α

= −

Z

2

µ

m

( )

α

,

s

.

Для вычисления

ε

воспользуемся соотношением

−

= +

,

s

α

c

, ,

α α

,

полученным статистическим осреднением по полному объёму композиционного материала выражения

,

s ij

α

.

Из последних двух соотношений получаем систему тензорных уравнений для определения

ε

,ijs

α

Здесь

s s s

Z S S

= −

δ

ε

+ −

ij ijkl kl kl

m

1

+

ν

m

:

1

( , )

s

α

Z

2

µ

m

s

,

S

,

s

α

– тензор Эшелби, записан-

. (23)

ный в лабораторной системе координат эллипсоидов направления α

3 2

K

включения s,

=

m

m m

2 3

K

( )

+

– коэффициент Пуассона.

В кристаллографической системе координат, согласованной с главными полуосями эллипсоидов, компоненты тензора Эшелби, в записи которых отсутствует суммирование по повторяющимся индексам, имеют следующее значение [25] (здесь опущены индексы компонентов и включений s и α):

1

ijij i j ij i j iijj j ij i

3

где

= ≠

ij

3

u a

∏

=

π

1kk

Q

1 2 3

2

=

8 1

π ν

−

( )

∞

∫

2 2

τ τ

a a u

+ +

( )( )

0

i j

.

2 2 2

( )

m

d

τ

R

( )

1 2

=

8 1

π ν

( )

m

−

( )

m

∞

d

I a a a

=

π

i

I a a a

=

ii

1 2 3

2

π

1 2 3

∫

0

∞

∫

0

τ

2

τ

+

( )

i

d

τ

2

τ

+

( )

i

,

2

42

Для эллипсоидов, имеющих форму тела вращения,

1 2 3

a a a

≠ =

1 2

a a

ω

=

arccos 1 , 1,

πω

= = − − <

1 , 1,

πω

= = − − >

,

=

1 2 3

4 ,

I I I

π

= − −

3 ,

= =

2 ,

π

2 ,

.

a

π

a a a a

= = =

,

3

2

4

a

π

12 21 13 31

I I I I

2 2 2 2 2

πb I

a a b a b

− −

23 32

I I

= + =

22 33

I I

= + =

1 2 3

a a b a a

= = =

4 ,

1

 

 

 

2 3

I I

= − =

1ω>

1 arccos( )

4 ,

 

 

 

2 3

I I

= − =

1ω<

[][

]

2 ,

α

,

α

:

,

1

2

I I

Если

I I

3 2

I I arcch

3 2

I I

13 12

1 2 3

2

1

−

ω

( )

2

−

ω

( )

2 2

a I I a I= −

1 11 1 2 12

   

3

2

 

 

ω ω ω ω

 

3

2

 

1

ω ω ω ω

2

( )

I I I

22 33 23

I I I

12 22 23

( )

1

2

+ + =

, то включения имеют шаровую форму

4

Iπ=

1

I I

11 12

= =

.

5

Решение этой системы имеет следующий вид:

2

= − = = =

2 2 2 2

3( ) 2( )

a b a b

− −

π I

1

,

I

= − +

11

2

4

= −

11 12

4

3

2

3

a

1

2

4

3 ( )

1

,

2 2

(2 3 )

π a b I

6 ( ) 8( )

−

2 2 2 2 2

b a b a b

− −

1

,

Здесь введены обозначения

( ) 1

arch

I

= −

1

I

1

ω ω

π

2

( 1)

−

ω

= −

π

2

1

−

ω

3

2

ω

2

ω ω

(1 )

−

ω

−

3

2

2 2

(2 3 ) 3

π a b I

2 ( ) 8( )

−

2 2 2 2 2

b a b a b

− −

,

2

 

2

ω ω ω

 

π

2

   

2

1

−

ω

 

arccos( )

ω ω ω

 

π

 

(1 )

−

 

.

Подстановка в уравнение (23) выражений

τ µ ε δ λ ε

kl s s kl kl s s pp

2

=− −

∑ ∑ ∑ ∑

s s

=− −

kl s kl kl s pp

, ,

s s

α α

n n

[ ] [ ]

1 1 1 1

= = = =

α α

s s

c c

, ,

α α

,

s

α

.

arch

2

( 1)

−

ω

3

2

ω

s

1

( )

3

,

.

при

2

1

−

ω

при

;

s

приводит к уравнению

43

( , )

 

= + + −

 

 

(

)

α

= + + +

(

)

ε

( , ) ( , ) ( , )

(

)

1

−

,

s

c

α

( , ) ( , ) ( , )

ijpq pqkl ijkl ijkl

α α α

− + + +

.

( ) ( , )

ijkl s ijkl

α

(

)

× + −

− + ×

2 .

[][

]

(

)

µ δ λ

+ + =

2 .

s kl s ijkl kl

µ δ λ ε

s

α

Z

ε ε µ ε δ λ ε

ij ij q q kl kl q q pp

,

s q

α

ijkl

µ

2

m

n n

   

2

∑ ∑

   

1 1

q q

= =

− +

Перепишем это уравнение в виде:

, ,

s s

α α

( ) ( )

1

ε µ δ λ µ δ λ ε

ij s kl s ijpq pqkl q q kl q kl

2 2

[ ] [ ]

( )

α

,

s

−

Q P c

c c

q

,

s

α

Z

ijkl

2

µ ε δ λ ε

[ ] [ ]

s kl kl s pp

2

(

µ

m

n

   

( )

∑

q

=

   

1

+

,

s

,.s

α

Q

ijkl kl

.

α

q

)

,

s

(24)

Здесь

s s s

α α α

P Z Z

ijkl s ijkl kl s ijpp

1

2

= +

2

µ

µ δ λ

[ ] [ ]

( )

m

Умножим уравнение (24) на концентрации по α, учитывая, что

c c I c

ε µ δ λ µ δ λ ε

s ij s kl s s ijkl q q kl q kl

2 2

= + + −

[ ] [ ]

( )

s

µ δ λ µ δ λ ε

2 2

[ ] [ ]

( )

После обозначения

c c

ε µ δ λ

s ij s s kl s

s

2

= + ×

[ ] [ ]

n

I c

∑

ijkl q q kl q kl

1

q

=

× + +

s s s

Q P I Q

1

−

s kl s s ijkl q q kl q kl

K c Q

   

2

µ δ λ ε

( )

   

2

[ ] [ ]

( )

n

s s

( )

K c K

∑

ijkl q q kl q kl ijkl kl

1

q

=

= −

n

   

( )

∑

q

=

n n

1

−

∑ ∑

s q

= =

s s

=

1

−

µ δ λ

s kl s

( )

   

1

,

s

α

( )

c Q c

,

α

1 1

n

c Q

+

∑

,

s ijkl kl

α

1

s

=

α

s

∑

,

α

=1

   

µ δ λ ε ε

   

преобразуем (25) к виду

q

1

−

( , ) ( , )s s

α α

,

Q I P

= +

ijkl ijkl ijkl

, получим

q

   

( )

   

,

s

α

( )

ε

(25)

( )

q

.

и просуммируем

q

(26)

Умножим (26) на

( ) 2

c I K c

2

m ijkl ijkl p kl p p kl

+

s kl s

n n

( )

s

∑ ∑

1 1

s p

= =

   

( )

   

n

= +

∑

s

=

1

44

и просуммируем по s:

µ δ λ ε

[ ] [ ]

( )

K

( )

s

p

(27)

Из (27) получаем

s ij s s ij ijkl kl

µ δ λ ε ε

( ) ( )

s s

ijkl m ijmr ijmr s kl s mrkl

(

)

ij ijkl m s m s kl

σ ε

ijkl m ijkl m ij kl ijkl

E I a

*

ijkl

E

(

)

s

( ) ( , )

ijkl s ijkl

α

( , )

s ijkl

α

( , )

ijkl

α

( )

s

ijkl

K

(

)

ijkl s s ijkl s ijkl

,

s s

α γ

, .

 

 

 

ij ij

e e

α

pp pp

γ

ε ε

n

Здесь

2

( )

∑

1

s

=

a c I K K

= + +

   

 

n n

∑ ∑

s s

= =

+ =

[ ] [ ]

1

−

1 1

c a

2

µ δ λ

[ ] [ ]

( )

s

. (28)

.

Из (22) и (28) следует макроскопический закон упругопластического деформирования композиционного материала:

*

E

= Λ Λ Θ Θ

, , ,

Анизотропия тензора

является следствием анизотропии тен-

*

,

2

µ λ δ δ

= + +

. (29)

зора Эшелби и ориентации эллипсоидальных включений.

Если эллипсоидальные включения ориентированы равновероятно

α

s

в объеме матрицы

c c c

= = =

,1 , 2 ,

s s s

...

, то тензоры

α

дут изотропными. Осреднение изотропных тензоров

s s

K c Q

=

∑

,

α

=1

α

s

c Q

∑

,

α

=1

s

бу-

по

всем углам разориентации кристаллографических и лабораторных осей координат может быть выполнено в неявном виде без вычисления компонентов тензоров

Q

s

и последующего нахождения их

средних значений. Осреднения по углам можно заменить вычислением тензорных сверток. Такой подход был предложен Фойгтом [26] для осреднения значений тензора модулей упругости и Рейсом [27] для осреднения тензора податливостей.

Изотропный тензор

Инварианты

выражаются через тензорные свертки:

γ α

можно представить в виде

( )s

K c V D

1 1 1

= = −

s iikk s ikik iikk

3 5 3

γ α

= +

( ) ( ) ( )

s s s

Q Q Q

. (30)

Подстановка (30) в тензорное соотношение (29) приводит к выражениям:

=

s

c c

m s s

s

n

∑

=

s

α

1

+

,

45

=

s

c c

s

n

∑

=

s

γ

1

+

m s s

. (31)

Эти соотношения позволяют записать макроскопический за-

(

)

ij m s m s ij

s e

(

)

pp m s m s pp

σ ε

s s s

m s s

c

c c

µ α

α

s s s

m s s

K c

c c

γ

( )

s

ijkl

K

s

m m

µ

ν µ

s

m m

K

m m

µ

ν

µ

−

s

m m m

µ

µ µ

m m

µ

1n=

, .

s kl kl m kl kl

e e e e

α

, .

s kk m kk

γ

ε ε

кон упругопластического деформирования хаотически армированного КМ:

*

2 , , ,

µ

= Λ Λ Θ Θ

, (32)

∗

3 , , ,

K

= Λ Λ Θ Θ

,

где эффективные тензоры вычисляются по формулам:

n

 

∑

∗

µ µ

= +

m

s

=

 

1

+

n

∑

s

=

∗

,

K K

= +

1

В общем случае инварианты тензоров

n

 

∑

 

1

s

=

m

n

+

∑

1

s

=

. (33)

матричного КМ

выражаются через компоненты тензора Эшелби эллипсоидальных включений. В случае КМ с шаровыми включениями различных материалов эти выражения представлены в [28, 29]:

α

1

[ ]

,

γ

=

s

1

+

=

s

1

+

2 4 5

−

15 1

−

ν

m

1

ν

1

+

m

3(1 )

−

ν

(34)

[ ]

или после подстановки в (34) выражения

=

m

фициента Пуассона:

При

α

=

s

6 2

1

+

5 3 4

K

+

m m

K

+

µ

соотношения (33), (35) сводятся к формулам, получен-

1

[ ]

,

γ

=

s

1

+

3 4

K

ным в [30] для двухкомпонентного КМ.

Параметры линеаризации находятся из выражений:

Λ = Λ =

c c c c

Θ = Θ =

s

n n

+ +

m s s m s s

α α

∑ ∑

1 1

s s

= =

s

n n

c c c

m s s m s s

γ α γ

+ +

∑ ∑

1 1

= =

s s

1

3 2

K

m m

2 3

K

( )

1

3

K

[ ]

s

+

для коэф-

+

. (35)

; (36)

(37)

46

Уравнения (33)–(36) содержат параметры линеаризации, поэтому

(

)

; ; ; ;

m s m s m s m s

(

)

; ; ; ;

m s m s m s m s

m s s m s s

c c c c

α α

m s s m s s

γ α γ α

(0)

a

0

c

( 0)

n

=

0 0

c

α

0 0

c

γ

их необходимо решать совместно после задания вида функций

µ µ

= Λ Θ

,

K K= Λ Θ

,

на основе экспериментальных

данных в соответствии с деформационными свойствами материалов компонентов.

Полученные соотношения можно применить для нахождения эффективных механических характеристик многокомпонентных матричных хаотически армированных КМ, ослабленных различными дефектами – пустотами, порами, трещинами эллипсоидальной формы. Пусть один из компонентов КМ (с номером 0) представляет собой поры, имеющие форму различных эллипсоидов вращения. Тогда эффективные модули такого КМ вычисляются по формулам:

n

 

∑

∗

= + −

µ µ

∗

K K

m

= + −

m

 

1 0 0

s m

=

n

 

K c

∑

 

1 0

s m s

=

c c

+ +

c

µ α

s s s

n n

+ +

∑ ∑

0 0

s s

= =

γ

s s s

n n

µ α

K c

∑ ∑

0 0

s s

= =

c

; (38)

γ

. (39)

Устремляя параметры

ω

1

=

, равные отношению главных

2

полуосей эллипсоидальных пор к нулю, получим КМКМ, ослабленный круговыми хаотически ориентированными в матрице плоскими трещинами.

При малой концентрации трещин

и при отсутствии включений

получаются формулы для определения эффективных модулей

тела, ослабленного невзаимодействующими трещинами [31, 32]:

*

µ

1

µ

= −

m

,

*

K

m

1

= −

.

47

Приведём сравнение результатов расчёта относительного модуля

E

÷

=

E

>

+

−

=

ν

деформации по полученным соотношениям с расчётами по известным соотношениям на примере эпоксидного полимера, наполненного стеклянными шариками.

При прогнозировании деформационных свойств вновь разрабатываемых композиционных материалов на практике широко используется зависимость эффективного модуля деформации

*

от концен-

трации усиливающего наполнителя.

Для композиционных материалов с малой концентрацией наполнителя

c

1

ческие зависимости дают прогноз величины

)3,01,0(

практически все теоретические и эмпири-

*

практически с оди-

наковой точностью.

При более высокой концентрации наполнителя

c

1

)3,0(

наибо-

лее близкие к экспериментальным значениям эффективного модуля деформации дают уравнения, которые учитывают значения модулей деформации материалов матрицы и включений, упаковку и форму частиц наполнителя и в которых введены эмпирические поправки. К зависимостям такого рода относятся зависимости Кернера и Исаи, содержащие модули матрицы и включений [33]:

BAE

kk

;

BAE

+

kkm



с

1

−

с



+

.



1 3



1



,

Здесь

B

=

k

1

*

=

1

EE

m



*

с

A

=

k

с1

1

,

)-15(1

ν

m

EEn

/

,

m

– коэффициент Пуассона материала матрицы.

m

1



= 1

EE



m

n



−

1

n



)108()5-(7

EE

νν

−+

1

mmm

Приведём также сравнение результатов расчёта эффективных

48

модулей сдвига и объёмных модулей с расчётами по формулам Ванина [34], которые здесь не приводятся в силу их громоздкости.

Модуль деформации будем вычислять по известному соотношению

**

µ

9

K

*

=

E

3

K

, (40)

**

µ

+

где

**

,µK

– эффективные модули объёмной и сдвиговой деформации

соответственно, которые будем находить из соотношений (33), (34):

n

−

c

)(

=

1

∑

s

αµµ

ss

ms

;

cc

α

ssm

γ

cKK

)(

µ

ss

;

γ

ssm

;

)(

−

µµ

ms

m

.

KK )(

ms

m

ms

n

cc

=

1

−

K

*

µµ

*

KK

=

α

s

1

+

=

γ

s

1

+

m

15

=

s

1

+=

n

∑

=

s

1

+=

n

+

∑

s

−

+

1

54

−

2

ν

m

ν

)1(

−

m

1

+

ν

m

)1(3

−

ν

m

∑

Следует отметить, что применяемые в прогнозировании деформационных свойств КМ теоретические и эмпирические зависимости в основном предполагают, что наполнителем являются частицы одного материала, а соотношения (33), (34) позволяют находить эффективные деформационные модули многокомпонентных КМ.

На рис. 1.19–1.22 приведено сравнение результатов расчёта по формулам Кернера, Исаи, Ванина и формулам (33), (34), (40).

Из рис. 19–22 видно, что использование соотношений (33), (34) даёт, как и соотношения Кернера, Исаи и Ванина, довольно точное приближение эффективного модуля деформации, модуля сдвига и объёмного модуля модельного топлива с одним наполнителем.

49

Рис. 19. Зависимости относительного модуля деформации модельного

топлива на основе эпоксидного полимера от объёмного

содержания стеклянных шариков:

1 – расчёт по формулам Кернера; 2 – расчёт по формулам Исаи;

3 – расчёт по формулам (33), (34), (40)

Рис. 20. Зависимости относительного модуля деформации

модельного топлива на основе эпоксидного полимера

от объёмного содержания стеклянных шариков:

1 – расчёт по формулам (33), (34), (40); 2 – расчёт по формулам Ванина

50