Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории информации и криптографии. Учебное пособие.pdf
8.3. ШЕНОНОВСКИЕ МОДЕЛИ КРИПТОГРАФИИ
{
ϕϕ=
Φ
ψ
[
X
Общая схема симметричной криптосистемы представлена на рис. 8.4.
Рис. 8.4. Схема симметричной криптосистемы
Рассмотрим
математические модели, характерные для элементарных
криптосистем:
Подстановка: пусть имеется открытое сообщение
1.
вите А и система отображений
фавит шифрованного текста
в виде
[]
Если
11 nn
ϕ
есть биективное отображение, тогда система Φ будет являть-
i
)(...,),(
xxY ϕϕ=
.
[]
...,,
1
В. Тогда зашифрованный текст предстанет
}
символов из алфавита А в ал-
n
xx ...,,
в алфа-
1
n
ся подстановочным шифром замены, в противном случае – многозначным
шифром замены.
2.
Перестановка: пусть имеется открытое сообщение
{}
становка имеет вид
ψ=Ψ ...,,
1
глядеть следующим образом:
[]
1
. Тогда зашифрованный текст будет вы-
n
]
....,,
=
1 n
xxY
ψψ
xx ...,,
n
; пере-
Недостатками представленной модели являются:
часто встречаемые символы в
и Y будут совпадать;
ограничения по размеру ключа, которые приводят к его многократ-
ному применению.
Для усиления криптостойкости этого криптопреобразования целесообразно использовать композицию из нескольких перестановок, отличающихся
длинами блоков.
71
3. Шифр Виженера и его модификация: пусть имеется некоторое от-
τ+−
Tit
T
=
крытое сообщение
[]
1
чаться путём преобразования:
Ti ,1...;2,1 =τ=
, где T – длина блока. Ключ k есть фиксированный набор
xx ...,,
; тогда шифрованное сообщение будет полу-
n
τ
+= , в котором
tt
Xkxy
mod)(
=
,)1(
символов, принадлежащих алфавиту открытого сообщения.
Тогда обратное преобразование будет иметь вид
τ
tt
XXkyx
mod)( +−=
.
Частными случаями будут являться: шифры Цезаря, Бофора.
4.
Криптопреобразование Вернама (или поточный шифр): является ча-
стным случаем шифра Виженера, в котором
n
. Ключ k здесь будет на-
зываться гаммой, одноразовым блокнотом или бегущей строкой.
Биграммная подстановка: данная подстановка использует принцип
5.
простой подстановки, однако вместо подстановки типа «один символ – один
символ», происходит одновременная подстановка типа «
m символов – m
символов».
Идеально стойким называется шифр, в котором невозможно одно-
значно определить открытый текст при наличии известного шифрованного
текста произвольной большой длины (любой совершенно стойкий шифр будет являться идеально стойким).
Абсолютно стойким будет называться шифр, в котором длина одно-
кратно используемого ключа, являющегося частью случайной двоичной последовательности, описываемой равномерным законом распределения, и
длина исходного сообщения равны. В таких шифрах ключ сразу же уничтожается после использования, поэтому, даже обладая неограниченными вычислительными и временными ресурсами, криптоаналитику вскрыть такой
шрифт практически не представляется возм
ожным.
Как видно, необходимыми и достаточными признаками абсолютной
стойкости шифра будут являться:
равенство длин открытого текста и ключа;
•
полная случайность ключа;
•
одноразовое использование ключа.
•
Шеннон К. теоретически доказал существование криптосистемы, которая обладает совершенной безопасностью (т.е. шифр, кроме длины, не даёт
никакой другой информации об открытом сообщении). Такое возможно в
случае, если число возможных ключей будет таким же большим, что и число
72
возможных сообщений (другими словами, ключ не должен дважды использоваться и быть короче открытого сообщения).
Основными
количество всех возможных ключей;
1)
2)
среднее время, затрачиваемое на криптоанализ;
количество и качество (или достоверность) всех криптограмм, ко-
3)
показателями криптостойкости являются:
торые были перехвачены;
шифросистема обладает высокой криптографической стойкостью,
4)
когда выражается экспоненциально через длину ключа;
количество материала, необходимого для анализа при вскрытии
5)
шифра (к примеру, полный перебор ключей криптосистемы);
стоимость процесса дешифрирования системы (например, разра-
6)
ботка новой вычислительной системы).
Для всех современных криптографических систем защиты информации можно сформулировать следующие общие требования:
только имея ключ, зашифрованное сообщение может быть прочитано;
число операций, требуемых для расшифровывания информации,
используя перебор всех возможных ключей, должно характеризоваться строгой нижней оценкой и превосходить возможности современных компьютерных систем (даже с учётом всех возможностей распараллеливания и сетевых
вычислений);
количество операций, требуемых для определения уже использо-
ванного ключа шифрования по некоторому фрагменту шифрованного сообщения и соответствующего ему открытого текста, должно быть не менее
общего количества возможных ключей;
несущественное изменение ключа должно в результате приводить к
значительному изменению зашифрованного сообщения (даже если ключ
один и тот же);
знание алгоритма шифрования не может влиять на надёжность за-
щиты;
структурные элементы, составляющие алгоритм шифрования, не
должны меняться;
длина шифрованного текста и длина исходного текста должны быть
равны;
биты, дополнительно вводимые в сообщение в ходе шифрования,
должны быть надёжно и полностью скрыты в зашифрованном тексте;
73
не должно быть легко и просто устанавливаемых зависимостей
(
=
~
между ключами, которые последовательно используются в процессе шифрования;
алгоритм шифрования должен допускать и программную, и аппа-
ратную реализацию;
изменение длины ключа не должно приводить к качественному
ухудшению выбранного алгоритма шифрования;
любой ключ из всего множества возможных ключей должен обес-
печивать надёжную защиту всей информации.
Для дальнейшего рассмотрения систем шифрования будем считать, что
необходимые математические основы криптологии были получены в рамках
курсов «Высшая математика».
8.4. ПРИМЕРЫ СИСТЕМ ШИФРОВАНИЯ
Система шифрования RSA
Система шифрования RSA является шифрованием с открытым ключом.
В основе алгоритма RSA лежит предположение, что поиск больших простых
чисел вычислительно не представляет сложности, однако практически невозможно разложить большое простое число на произведение двух таких чисел.
В основе системы лежит следующая степенная функция
e
nxxf
mod)( = .
Здесь блок х открытого текста является целым числом из диапазона
[]
ротекста из этого же диапазона. Пара
1,0 −n
и преобразуется с помощью вычисления: nxy
носит название открытого ключа
)
ne,
и применяется при шифровании сообщения. Число
e
mod= в блок шиф-
pqn
, где
qp,
– раз-
личные простые случайные числа. Эти числа генерируются одной из сторон,
участвующих в информационном обмене.
В случае расшифровывания применяется функция nxxf
d
mod)(
= :
d
nyx
mod= . Здесь пара
ется при дешифровании.
Согласованность этих преобразований обосновывает теорема Эйлера.
(пусть 1>n ,
74
),( nd
носит название закрытого ключа и использу-
)(nzn
; тогда: ))(mod1
1),(НОД =nz
ϕ
≡
.
Чтобы воспользоваться теоремой Эйлера, в RSA используют такие
(
ϕ
≡
(
−=ϕ
t
=
t
(
[
[
]
ϕ
=
p
(
ϕ
<
(
ϕ
=
)( )
11)( −
числа
для которых:
,, de
,
)
)(mod1 ned
qpn
. Тогда если е
известно, то d – есть решение сравнения первой степени. Или иначе, проверив
можно найти
d ,
, с использованием расширенного алгоритма Евклида
1))(НОД(e, =ϕ n
:
ed
ϕ+ n
.
1)(
Проверим работоспособность формулы дешифрования:
ed
()()
)(
n
ϕ
()
d
)()(1
ntnted
ϕ−ϕ−
modmodmod
nxxnxnx
=⋅===
.
t
−
ЭйлераТ
[]
ee
)
]
modmod...modmodmodmod
nnxnxnnxnyx
=⋅⋅===
t
−
.mod1modmodmodmod
xnnxnnxnx
=⋅=⋅=
В основе криптостойкости системы шифрования RSA лежит то, что,
имея открытый ключ
a) зная функции Эйлера
()
ne, , криптоаналитик может найти d:
. Эта задача – есть задача разложения
)(n
(или факторизации) n на простые множители. Однако нахождение функции
Эйлера по определению задача вычислительно труднореализуемая. Даже используя самый эффективный алгоритм факторизации (например, решето числового поля), число n длиной в 50 десятичных разрядов может быть разло-
жено приблизительно за
тичных разрядов – примерно за
10
операций (суперкомпьютеры), а если 800 деся-
10
51
операций (не раскладывается вообще в
10
настоящее время);
b) либо найти
e
y (задача дискретного логарифма).
Пример.
Для упрощения расчётов используем небольшие числа.
Будем использовать таблицу ASCII кодов минус 64 для перевода со-
общений в числа.
Предположим, что абонент А сгенерировал два простых числа:
Находим e :
ϕ=⇒== nnq
.20)(,3311,3
,
)
<
1,НОД =ne
,
)(1 ne
например 7=e .
Пара
()
33,7 публикуется как открытая.
Находим далее d:
Пара
()
33,3 при этом держится абонентом А в тайне.
)
≡ )(mod17 nd
⇒
3
d .
75
A
B
A
(
<
(
Пусть теперь абонент B хочет послать секретное сообщение: «CAB».
В нём
Зашифруем: 933mod3
1
Попробуем теперь дешифровать: 1533mod9
.
3,2,1 →→→CB
7
==C , 133mod1
7
2
7
′
C (не получается!).
1
==C , 2933mod2
==
7
3
==C .
Абоненту A посылают: «IA».
Абонент A переводит сообщение в числовое представление и дешиф-
рует его:
3
1
333mod9
==M , 133mod1
3
2
==M , 233mod29
3
3
==M . Получается
сообщение: «CAB».
Система шифрования Диффи–Хеллмана
В основе данного алгоритма, также относящегося к алгоритмам секретного обмена ключом между абонентами, лежит сложность вычисления дискретного логарифма.
Рассмотрим простейший пример создания двумя абонентами общего
ключа.
Абоненты
выбирают большое простое число n и g-первообразный
,
корень по модулю n. Образуется пара
Абонент A выбирает случайным образом большое секретное число
n
< и отправляет его абоненту В: ngX
Абонент B также выбирает случайное большое секретное число
и отправляет его абоненту A: ngY
Абонент A вычисляет ключ: nYk
Абонент B вычисляет ключ: nXk
y
A
B
Проверим, совпадают ли ключи у абонентов:
yx
A
y
()
.mod
knX
==
B
x
)
gn,
x
mod= .
mod= .
x
mod= .
y
, объявляемая открытой.
mod= .
xxy
y
)
modmodmodmodmodmod
ny
nngngnngnYk
=====
Таким образом, далее можно работать полученным ключом в симметричной криптосистеме.
Для сокращения размера возможных окончательных значений ключа
очень важно, чтобы функция модульного возведения в степень была максимально взаимнооднозначной. В случае если n является простым числом, то
76
всегда существует такое g, для которого ng
=
=
d
=
X
=
d
=
Y
=
X
x
mod будет принимать каждое из
значений из диапазона
, когда x принимает значения из этого же ин-
1,0 −n
тервала. Таким образом, g выбирают как первообразный корень по модулю n.
Пример.
.
ϕ= nn
Первообразные корни по модулю 6: 3 и 5. Возьмем, например
– открыта.
()
3,7
326)(,7 ⋅=
.
3
g
Абонент А сгенерировал случайное число nx<=2, и вычислив
2
3
=
Абонент В сгенерировал случайное число
5
3
Абонент А принял 5
Абонент В принял
, послал абоненту В.
27mo
, послал абоненту А.
57mo
==Y
и вычислил ключ: 47mod5
2
и вычислил ключ: 47mod2
, и вычислив
ny <
5
k .
k .
2
A
2
A
==
==
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотренный в данном пособии материал, прежде всего, конечно,
был ориентирован на рассмотрение методов экономного кодирования (сжатия) информации, причём именно методов сжатия информации без потерь,
потому что методы сжатия с потерями были достаточно подробно рассмотрены в учебном пособии «Мультимедийные технологии» в силу того, что их
применение прежде всего ориентировано на большие объ
ёмы информации
(видео, музыка, графика, анимация).
Рассмотренные методы сжатия, наряду с рассмотренными алгоритмами
криптографического шифрования, очень удобны для реализации лабораторного практикума, отработки навыков эффективного программирования.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Математические и компьютерные основы криптологии : учеб.
пособие / Ю. С. Харин, В. И. Берник, Г. В. Матвеев, С. В. Агиевич. – Минск :
ООО «Новое знание», 2003. – 382 с.
77
исходные тексты на языке С. 2-е изд. / Брюс Шнайер ; пер. с англ. – М. : Триумф, 2002. – 816 с.
Фомичев, В. М. Дискретная математика и криптология / В. М. Фо-
3.
мичев. – М. : Диалог-МИФИ, 2003. – 400 с.
Василенко, О. Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии :
4.
монография / О. Н. Василенко. – М. : Московский центр непрерывного математического образования, 2003.
Шульгин, В. И. Основы теории передачи информации. Ч. 1. Эко-
5.
– 328 с.
номное кодирование : учеб. пособие / В. И. Шульгин. – Харьков : Нац. аэрокосм. ун-т «ХАИ», 2003. – 102 с.
Лидовский, В. В. Теория информации : учеб. пособие / В. В. Ли-
6.
довский. – М. : Компания Спутник+, 2004. – 111 с.
Мао, В. Современная криптография. Теория и практика / В. Мао ;
7.
пер. с англ. – М. : Издательский дом «Вильямс», 2005. – 768c.
Гультяева, Т. А. Основы теории информации и криптографии :
8.
конспект лекций / Т. А. Гультяева / Новосиб. гос. техн. ун-т. – Изд-во НГТУ,
2006. – 27 с.
78
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 3
1. Основные понятия. Система передачи информации ....................................... 4
1.1. Система передачи информации ...................................................................... 6
2. Источники сообщений. Дискретизация. Квантование .................................. 12
2.1. Теорема дискретизации ................................................................................. 14
2.2. Квантование сообщений. ............................................................................... 15
3. ЗАДАЧИ И ПОСТУЛАТЫ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ. КОЛИЧЕСТ-
ВЕННАЯ ОЦЕНКА ИНФОРМАЦИИ ................................................................ 18
3.1. Постулаты теории информации……………………………………………
18
3.2. Количественная оценка информации ........................................................... 19
4. ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СООБЩЕНИЙ И ИХ
СВОЙСТВА ........................................................................................................... 24
4.1. Источники дискретных сообщений и их вероятностные модели ............. 24
4.2. Собственная информация .............................................................................. 25
4.3. Взаимная информация ................................................................................... 27
5. ЭНТРОПИЯ……………………………………………………………………29
5.1. Условная энтропия………………………………………………………….32
5.2. Избыточность………………………………………………………………..34
6. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ КОДИРОВАНИЯ .............................................. 35
6.1. Принципы кодирования ................................................................................. 37
6.2. Алгоритмы сжатия без потерь. ..................................................................... 41
7. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОЕ КОДИРОВАНИЕ ................................................. 51
7.1 Основные принципы. Типы кодов ................................................................. 52
7.2. Линейные блочные
коды ...............................................................................
53
8. ОСНОВЫ КРИПТОГРАФИИ .......................................................................... 65
8.1. Основные термины и понятия криптологии ........................................... 65
8.2. Основные понятия криптоанализа ............................................................... 69
8.3. Шеноновские модели криптографии ........................................................... 71
8.4. Примеры систем шифрования ...................................................................... 74
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..................................................................................................... 77
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ..................................................................................... 77
74
Н
н
9
А
Й
Ы
-
о
Н
К
О
т
е
а
с
Г
о
а
3
д
д
а
Ф
Ф
и
н
н
и
с
Т
a
н
в
М
.
з
Ф
С
2
v
И
.
2
д
ОС
ISBN
ОВ
И
женер по
78-5-8265
М
МА
Учебн
ЙСТРЕ
СТРЕН
ТЕ
КРИ
Редак
компьют
1950-9
е электр
КО Нат
О Алек
РИИ
ПТО
Учебн
ор Л. В.
рному м
онное из
лья Вла
андр Вл
ИН
РА
е пособ
Комбар
кетирова
Подписа
Т
Издатель
92000, г.
E-m
ание
имиров
димиро
ОР
ИИ
е
ова
ию И. В
о к исполь
раж 50 экз.
кий центр
амбов, ул.
Тел. 8(475
il: izdatelst
а
ич
АЦИ
Евсеев
ованию 01
Заказ № 2
ГБОУ ВО
оветская,
) 63-81-08
o@admin.ts
И
а
10.2018.
7
«ТГТУ»
. 106, к. 14
tu.ru
80