Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы динамики машин. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
21
На рисунке 34 показана часть диаграммы Айнса-Стретта,
-1
1
2 3 4
2
2
q
a
qa 1
qa 1
12
4
2
q
a
12
4
2
q
a
a
q
1
2
kaq
относящаяся к малым значениям параметра q. В качестве примера
на диаграмме указаны точки 1 и 2, соответствующие параметрам a1
= 1;q1 = 0,1; a2 = 1,2;q2 = 0,1 (решения уравнения Матье для этих
случаев даны на рис.34).
Рис.34 Диаграммы Айнса-Стретта
Точка 1 находится в белой зоне (неустойчивость),и
колебания происходят с возрастающими амплитудами (рис.34).
Точка 2 находится в пределах заштрихованной зоны; ей отвечает
движение с ограниченной амплитудой (рис.34).
В плоскости параметров a, q области устойчивости
чередуются с областями неустойчивости, причем наиболее
широкая, а потому и наиболее важная область неустойчивости
содержит точку a= 1,q = 0. Диаграмма Айнса-Стретта полностью
освобождает от выполнения каких-либо операций по решению
уравнения Матье. Достаточно составить это уравнение, т.е. найти
значения параметров системы a, q, после чего диаграмма дает ответ
на вопрос об устойчивости или неустойчивости системы.
22
При возрастании частоты возбуждения параметрыa, q
kaq
.cos0tAll
.
cos0tAl
GI
l
GI
C
pp
уменьшаются. Так как отношение этих параметров остается
постоянным, то последовательные состояния системы
определяются изображающими точками на луче
проходящем через начало координат.
6.2. Случаи периодического изменения жесткости
В качестве примера рассмотрим систему, упругой частью
которой является зубчатый (шлицевой) вал 1 (рис.35а). На нижнем
конце вала находится диск 2. С валом соединена зубчатая
(шлицевая) массивная втулка 3, которая может скользить вдоль оси
вала и совершать гармонические колебания в вертикальном
направлении. В этой системе возможно возбуждение не только
изгибных, но и крутильных колебаний. Пусть свободная длина вала
,
в текущий момент времени tсоставляет:
Коэффициент жесткости вала на кручение:
(71)
23
,cos1
00
t
l
A
l
GI
C
p
;
4
0
2
l
GI
a
p
.
2
202
l
AGI
q
p
Рис.35 Система с периодическим изменением жесткости
Если амплитуда колебаний А значительно меньше среднего
значения длиныl, то (71) можно представить в виде:
что по структуре совпадает с (152), следовательно, крутильные
колебания рассматриваемой системы также описываются
уравнением Матье (67), причем
При некоторых условиях, определяемых диаграммой Айнса-
Стретта, рассматриваемая система может оказаться в состоянии
параметрического резонанса.
24
Другим примером параметрического возбуждения колебаний
,2 lV
при периодическом изменении жесткости является система,
изображенная на рисунке 35б. Шахтная клеть 1 равномерно
движется по вертикальным направляющим 2, которые закреплены
на шпалах 3. В этой системе поперечная жесткость, определяющая
восстанавливающую упругую силу при поперечных колебаниях
клети, есть величина переменная: если клеть находится на уровне
очередной пары шпал, то эта жесткость достигает максимума, если
же клеть расположена против середины свободного пролета
направляющих, то жесткость минимальна. Частота изменения
жесткости зависит от расстояния между шпалами и от скорости
движения клети:
а отсюда следует, что существует ряд «запретных» диапазонов
скорости V, соответствующих условиям параметрического
резонанса. Эти соображения полностью подтверждены
экспериментальными исследованиями.
6.3. Случаи периодического изменения параметрических
нагрузок
Простейший пример рассматриваемого типа представлен на
рис.36а.
Масса 1 закреплена на верхнем конце вертикального
абсолютно жесткого стержня 2; внизу стержень имеет опору,
упруго сопротивляющуюся повороту опорного сечения («упругий
25
шарнир»). На верхний конец стержня действует вертикальная сила
C
.0CFl
0
F. Такая система представляет собой результат упрощенной
схематизации реального стержня, обладающего распределенными
массой и упругостью.
Сила F является параметрической нагрузкой, и если она
постоянна во времени, ее критическое значение можно найти при
помощи формулы Эйлера.
Рис.36 Система периодическим изменением параметрических
нагрузок
Пусть
− угол отклонения стержня от вертикали; C−
коэффициент жесткости упругого шарнира. Тогда
восстанавливающий момент (момент упругого шарнира) составляет
−
, а уравнение имеет вид:
(72)
Очевидно, что
; отсюда следует, что отклоненное
состояние равновесия возможно, если:
26
.
l
C
F
(73)
,
2
mlCFl
.0
2
ml
FlC
FlC
.cos10tFFF
,cos
2
10
mlCltFF
.0)cos(
10
2
tlFlFC
ml
l
Этой формулой определяется критическое значение
статически действующей силыF (например, веса груза 1).
Это же значение можно найти, рассматривая свободные
колебания груза 1. В отличие от уравнения статики (72) уравнение
моментов относительно шарнира 3 содержит инерционное
слагаемое:
(74)
или
При
частота свободных колебаний системы
обращается в нуль, т.е. система становится неустойчивой. Значение
критической силы вновь определяется формулой (73).
Рассмотрим случай, когда сила F изменяется во времени,
следуя гармоническому закону:
При этом уравнение колебаний стержня (74) принимает вид:
или
27
Это уравнение приводится к стандартной форме − уравнению
.
2
;
4
;2
2
1
0
2
lm
F
q
F
l
C
lm
a
t
,
)(2
0кр
1
FF
F
a
q
K
кр
F
kaq
Матье (67), если положить:
(75)
При возрастании частоты
параметры a и
qпропорционально уменьшаются. Штриховой луч (рис.36)
указывает, что система проходит ряд последовательно
чередующихся устойчивых и неустойчивых состояний. Наклон
луча определяется отношением
где
−статическая критическая сила, определяемая выражением
(73).
При данном значении F величина K зависит от разности Fкр-
F0. Чем ближе значение статической составляющей F0 к
критическому значениюF
, тем круче проходит луч и тем шире
кр
пересекаемые им участки областей неустойчивости.
Потеря устойчивости возможна при сколь угодно малых
значениях сжимающей статической составляющей F0 и даже при
изменении ее знака, т.е. при растягивающей статической
составляющей. Как видно из рисунка34, луч
при F0< 0
28
проходит весьма полого, но также пересекает ряд областей
,0a
0 kaq
.1q
.
2
1
ml
F
kaq
mg
.
2
mlmgl
неустойчивости.
С другой стороны, диаграмма Айнса-Стретта позволяет
установить, что устойчивость системы возможна приFкр=F0 и даже
при F0>Fкр. Действительно, если Fкр=F
, то
0
луч
совпадает с осью ординат диаграммы Айнса-Стретта, но система
остается неустойчивой, если
Согласно условиям (75), для
этого необходимо выполнение неравенства:
ПриF0>Fкр луч
располагается во втором квадранте
диаграммы; из рисунка 36б следует, что и в этом случае возможна
устойчивость системы в надлежаще выбранном диапазоне
изменения частот . Таким образом, вибрационная составляющая
сжимающей силы может при определенных условиях
стабилизировать систему, которая неустойчива в отсутствие
колебаний.
6.4. Маятник с колеблющейся точкой подвеса
Рассмотрим маятник (рис.37а). Если точка подвеса
неподвижна, то единственной силой, создающей момент
относительно точки подвеса, является вес груза
.
Уравнение малых колебаний маятника имеет вид:
29
Если же точка подвеса колеблется вдоль оси y по закону
,cos tAy
,tcosmAym
2
tlmA
cos
2
,cos
22
mltlmAmgl
.0cos
2
t
l
A
l
g
б
q
a
1
1
в
а
x
y
tAy
cos
tAy
cos
то при составлении уравнения моментов нужно учесть переносную
силу инерции
так:
или
момент которой составляет
, и тогда уравнение колебаний маятника запишется
(76)
Рис.37 Маятник с колеблющейся точкой подвеса
Уравнение (76) можно привести к стандартному виду
уравнению Матье.
Для этого положим:
30
.
2
;
4
;2
2
l
A
q
l
a
t
A
,...,9;4;1 aaa
;
3
2
; ;2
l
q
l
q
l
q
g
a
.
4
2
l
g
a
A
1q
Теперь из диаграммы Айнса-Стретта видно, что параметра не
зависит от амплитуды колебаний точки подвеса и сколь бы малой
ни была амплитуда
маятника наступает вблизи значений:
, неустойчивость нижнего положения
т.е. при
Рассмотрим вопрос об устойчивости верхнего положения
маятника (рис.37б). При неподвижной опоре это положение,
конечно, неустойчиво; однако вибрации основания могут придать
ему устойчивость. Для получения уравнения движения в данном
случае достаточно изменить знак перед членом, содержащим
ускорение
в уравнении (76); соответственно параметр
становится отрицательным:
Из рисунка 37в видно, что верхнее положение маятника
может быть устойчивым. При небольших амплитудах колебаний
точки подвеса, когда
, устойчивость верхнего положения
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]