Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы динамики машин. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
11
.
1Tcose2em
Tsin
n
TcoseSe
V
1Tcose2em
TsinSe
x
*
TnTn2
*
*
*
TnTn
0
*
TnTn2
*
*
Tn
0
(58)
0
x
0
V
r
r
2
;0sin
1cos
0x
0
1em
eS
V
Tn
Tn
0
n
,1nTe
Tn
Tnm
S
V
0
Вычислив
и
, можно по (56) найти решение х.
Особый интерес представляют резонансные режимы, при
которых период импульсов T в целое число раз больше
собственного периода колебаний
. Обозначим это число через r.
.
Тогда
,
и по (58) находим:
При малых значениях
и решение имеет вид:
;
.
можно считать
т.е.
,
12
tsine
rnm2
S
x
Tn
.
rnm2
S
x
max
ma x
m
S
rn2
)x(RR
Наибольшее значение (резонансная амплитуда)
приблизительно составляет:
,
т.е. оказывается обратно пропорциональным коэффициенту вязкого
сопротивления (как и в случае гармонического возмущения).
Коэффициент повторности при резонансе получим, разделив
на амплитуду колебаний, вызванных однократным ударом
:
,
т.е. с увеличением r (уменьшением частоты импульсов)
резонансные амплитуды убывают.
5.2.2. Влияние произвольно заданных сил неупругого
сопротивления
Рассмотрим общий случай, когда сила неупругого
сопротивления является некоторой нелинейной функцией скорости:
.
Ввиду сложности точного учёта влияния такой силы
ограничимся приближённым, но дающим удовлетворительную
точность простым приёмом. Заменим силу R эквивалентной силой
вязкого сопротивления:
13
xkR
R
,ptsinAx
2
;O(
R,R
R
dtxRdxR
R
,dttpcoskAdtxk
2222
R
pAkdtxR
2
T
0
и определим коэффициент k из условия равенства работ,
произведённых силами R и
за период колебаний.
При этом придётся ещё ввести определённое предположение
о характере колебательного процесса. При действии гармонической
возмущающей силы естественно предположить, что и в общем
случае сил неупругого сопротивления колебательный процесс
описывается законом (52). Удобнее сместить начало отсчёта
времени с таким расчётом, чтобы закон колебаний принял более
простой вид:
(59)
и потребовать равенства указанных работ за полупериод
), в течение которого скорость (а вместе с ней и силы
сохраняет постоянный знак.
Тогда элементарная работа эквивалентной силы
Подставляя значение
, получим:
и соответственно этому работа силы
)
. (60)
за период равна:
. (61)
Аналогично должна быть представлена работа, совершаемая
заданной нелинейной силой неупругого сопротивления. Положим,
14
что указанные действия выполнены и определён эквивалентный
k
k
.
2
2
2
2
1
C
pkp
x
A
ст
1n
xxkR
dtxxkdtxRRdx
1n2
dttpcostpcospAkdtxxk
1n
21n1n
1n
2
dcospAkdttpcostpcospAkdtxR
1n
2
0
n1n
1n
2
T
0
1n1n
T
0
коэффициент
амплитуды колебаний A). Подставим найденное выражение
(как правило, его величина окажется зависящей от
в
решение (53):
. (62)
Отметим, что неизвестная амплитуда A входит в обе части
этого равенства. Определив из (62) зависимость амплитуды от
частоты колебаний p, можем построить кривую, подобную кривым
на рис. 45,а.
Проследим сказанное выше на примере сил неупругого
сопротивления, заданных в виде:
Аналогично (117) элементарная работа силы R:
Если сюда подставить (59), то получим:
и работа силы R за период равна:
. (63)
.
,
.
15
Обозначим входящий в это выражение интеграл через S,
.SpAktdxR
n1n
T
0
.SpAkpAk
n1n2
,)pA(
kS
k
1n
тогда:
Приравняем (61) и (64):
Находим эквивалентный коэффициент вязкого
сопротивления:
(64)
Подставляем в соотношение (62), и тогда из последнего можно
определить амплитуду колебаний.
6. Параметрические колебания
6.1. Основное уравнение (уравнение Матье)
В ряде случаев параметры механической системы − ее
жесткость или масса − не остаются неизменными, а являются
некоторыми заданными функциями времени, чаще
периодическими. Если нарушить состояние равновесия такой
системы, то будут происходить своеобразные колебания: с одной
стороны, их нельзя назвать свободными, так как система
испытывает определенное внешнее воздействие в виде изменения
жесткости, а с другой − они не являются вынужденными, так как
внешнее воздействие не проявляется в виде заданной
16
возмущающей силы. Эти колебания называются параметрическими
3
l
1
2
,xmcx
и в зависимости от свойств системы и характера изменения ее
параметров могут иметь ограниченные или возрастающие
амплитуды, причем во втором случае возможно наступление
параметрического резонанса.
Рассмотрим простейшую систему (рис.32). Сосредоточенная
масса 1 закреплена на конце невесомого стержня 2. Свобода
перемещений стержня дополнительно ограничена втулкой 3,
удаленной от нижнего конца стержня на расстояниеl.
Рис.32 Схема движения груза
Составим уравнение свободных колебаний груза, считая, что
они происходят в плоскости чертежа. Если в текущий момент
времени tперемещение груза составляет x, то восстанавливающая
сила упругости стержня равна -cx, а уравнение движения груза
имеет вид
где c− коэффициент жесткости системы.
17
Втулка 3 при ее достаточной длине обеспечивает
3
3lEI
c
.0
3
3
x
ml
EI
x
m
.
3
3
ml
EI
c
,tcosAz
,
)cos(
3
)(
3
33
tAl
EI
zl
EI
C
практически полное защемление нижней части стержня, и тогда
. При этом предполагается, что стержень имеет
постоянное поперечное сечение с осевым моментом инерцииI.
Таким образом, дифференциальное уравнение движения
(65)
Если расстояние l постоянно, то (65) описывает свободные
колебания массы
около ее среднего положения с собственной
частотой:
Теперь предположим, что втулка 3 скользит вдоль стержня 2
по заданному закону:
т.е. совершает около среднего положения l гармонические
колебания с амплитудой А и круговой частотой . В этом случае
коэффициент жесткости оказывается функцией времени:
(66)
и дифференциальное уравнение (65) становится уравнением с
переменными коэффициентами:
18
,0
)cos(
3
3
x
tAlm
EI
x
(67)
,0x)2cosq2a(
d
xd
2
2
),cos
3
(
3
cos3
3
)cos(
3
3233
t
l
A
l
l
EI
tAll
EI
tAl
EI
C
.0cos
3
1
3
3
xt
A
ml
EI
x
,2 t
что характерно для системы с параметрическим возбуждением
колебаний.
Существует много других механических систем,
подверженных параметрическому возбуждению. Ряд примеров
убеждает, что в большинстве практически важных случаев
дифференциальное уравнение параметрических колебаний можно
привести к стандартной форме:
(67)
где a, q− некоторые постоянные.
Возвращаясь к механической системе, показанной на рисунке
32, положим, что амплитуда колебаний втулки A весьма мала по
сравнению с длинойl, тогда вместо (66) приближенно получается:
(68)
и дифференциальное уравнение (67) принимает вид:
(69)
Перейдем к безразмерному времени
:
тогда
19
,
4
2
22
2
2
d
xd
dt
xd
.
18
;
12
42
32
lm
AEI
q
lm
EI
a
и дифференциальное уравнение (69) приобретает стандартную
форму (67), причем^
(70)
Основное уравнение параметрических колебаний (67)
называется уравнением Матье. Решения этого уравнения носят
колебательный характер и главным образом зависят от конкретных
значений параметровa, q. В одних случаях данной комбинации a,
qсоответствуют колебания, ограниченные по амплитуде, а в других
− колебания с возрастающими амплитудами. Основную
практическую важность представляет именно тенденция
колебательного процесса: если амплитуды остаются
ограниченными, то система устойчива; в противном случае имеет
место параметрический резонанс, и система неустойчива.
Результаты решения уравнения Матье для двух различных
комбинаций a, qпоказаны на рисунке 57 (эти решения получены
при помощи электронного аналогового устройства). Хотя в обоих
случаях параметрq системы одинаков (q = 0,1), колебания имеют
совершенно разный характер из-за различия между значениями
параметра a(a = 1; a = 1,2). В первом случае амплитуды возрастают,
т.е. система неустойчива, а во втором случае остаются
ограниченными, т.е. система устойчива.
20
Для практических целей наибольшее значение имеют
a = 1,0
q = 0,1
а
x
a = 1,2
q = 0,1
б
x
границы между областями устойчивых и неустойчивых решений.
Этот вопрос хорошо исследован, причем окончательные результаты
представляются в виде диаграммы, построенной в плоскости
параметровa,q, которая называется диаграммой Айнса-Стретта.
Каждой данной системе, характеризуемой параметрами a, q,
соответствует точка с координатами a, q на диаграмме Айнса-
Стретта (изображающая точка). Если изображающая точка
находится в пределах заштрихованных полей диаграммы, то
система устойчива; неустойчивым системам соответствуют
изображающие точки, расположенные на белых полях.
Рис.33 Результаты решения уравнения Матье для двух
различных комбинаций a, q
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]