Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Молекулярная физика и термодинамика. Курс лекций
.pdf
К.п.д. цикла
1
2
1
21
1
1
Q
Q
Q
QQ
Q
A
),(
),(
циклзаяподведеннаэнергия
циклзаясовершаемаработа
12
QAQ
21
22
QQ
Q
A
Q
Цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат.
Рабочим телом является идеальный газ. При расчете
применяются законы идеального газа.
1–2: — изотермическое расширение,
2–3: — адиабатическое расширение,
3–4: — изотермическое сжатие,
4–1: — адиабатическое сжатие.
Рис.5.
1212121
, uuAuuQ
m
V
V
RT
m
AQ ,ln
1
2
1121
)(,0
1223
TTc
m
AQ
V
2
3
4
234
ln Q
V
V
RT
m
A
232141
)( ATTc
m
A
V
21232231`41342312
QQAQAQAAAAA
1
21
1
Q
QQ
Q
A
1
4
3
1
1
2
1
42
1
11
1
32
1
21
)()(,,
kkkkkk
V
V
V
V
VTVTVTVT
4
3
1
2
V
V
V
V
4
3
1
2
lnln
V
V
V
V
342
AQ
4
3
234
ln
V
V
RT
m
A
1
21
1
2
1
4
3
2
1
2
1
1
21
ln
lnln
T
TT
V
V
T
V
V
T
V
V
T
Q
QQ
.
.
В холодильной машине рабочее тело отнимает тепло от продуктов за счет работы
внешних сил и отдает через заднюю стенку в окружающую среду (охладитель).
.
Холодильный коэффициент
.
6. Цикл Карно. Произвольный обратимый цикл
1–2:
2–3:
3–4:
4–1:
,
Работа в результате цикла
К.п.д. цикла равен
.
Используем уравнения для адиабатического процесса
,
Теперь
,
,
.
31
- к.п.д. идеального цикла Карно.
)(1T
)(2T
К.п.д. цикла Карно максимален, не зависит от рабочего тела и конструкции двигателя и
определяется только температурой нагревателя
Теорема Карно.
Из всех периодически действующих тепловых машин, имеющих одинаковые
температуры нагревателей и холодильников, наибольший к.п.д. имеют обратимые
машины.
К.п.д. всякого реального теплового двигателя ввиду трения и тепловых потерь гораздо
меньше к.п.д. цикла Карно.
и холодильника
.
32
Для цикла Карно
1
21
1
21
T
TT
Q
QQ
1
2
1
2
11
T
T
Q
Q
1
2
1
2
T
T
Q
Q
1
1
2
2
T
Q
T
Q
0
2
2
1
1
T
Q
T
Q
2
Q
2
Q
0
2
2
1
1
T
Q
T
Q
T
Q
T
dQ
0
T
dQ
T
dQ
dS
T
dQ
0S
0S
0
0
2
2
1
1
T
Q
T
Q
0S
Лекция 7
Энтропия
,
,
.
Тогда
,
Так как
— количество теплоты, отдаваемое холодильнику, то оно отрицательно.
Следовательно можно записать (считая, что —
принимает рабочее тело),
.
. (1)
Величина
называется приведенной теплотой. Из (1) следует, что для цикла Карно
алгебраическая сумма приведенных количеств теплоты равна 0.
Приведенное количество теплоты, сообщаемое телу на бесконечно малом участке
процесса равно
. Строгий расчет показывает, что для любого обратимого кругового
процесса сумма приведенного количества теплоты равна 0
. (2)
Из равенства нулю интеграла, взятого по замкнутому контуру, следует, что
подынтегральное выражение является полным дифференциалом функции, которая
определяется только состоянием системы и не зависит от пути, каким система пришла в это
состояние. Таким образом, появляется новая потенциальная функция
. (3)
Функция состояния, дифференциал которой является
, называется энтропией и
обозначается S. Из (2) следует, что для обратимых круговых процессов изменение энтропии
.
В термодинамике доказывается, что для необратимых круговых процессов
, так как
, а
,
то
.
Это относится только к замкнутым системам. Если система обменивается теплом с
внешней средой, то энтропия может вести себя как угодно. Итак, энтропия замкнутых систем
может либо возрастать (для необратимых процессов), либо оставаться постоянной (для
обратимых процессов). Это открыл Клаузиус.
33
Если система совершает равновесный переход из состояния 1 в состояние 2, то
T
dAdu
T
dQ
SSS
2
1
2
1
1212
0S
0dQ
(4)
(5)
изменение энтропии равно
.
При адиабатическом процессе
, так как
.
Цикл Карно состоит из двух изотерм и двух изэнтроп. На диаграмме (Т. S.) цикл Карно
очевидно будет иметь вид прямоугольника (рис. 1). Площадь прямоугольника численно
равна количеству тепла, получаемому системой за цикл. В самом деле, согласно (3)
элементарное количество тепла, получаемого си-
Рис.1.
системой при обратимом процессе, равно
Следовательно, количество тепла, получаемое системой при обратимом
изотермическом процессе, может быть представлено следующим образом:
где S1— энтропия в начале, a S2 — в конце процесса.
Используя (5), количества тепла, получаемые системой в ходе изотермических
процессов, образующих цикл, можно записать в виде
Полное же количество тепла, получаемое за цикл, равно
Последнее выражение, как легко видеть, равно площади цикла.
34
Соотношение
0S
(6)
(7)
, означающее, что энтропия не может убывать, относится только к
изолированным системам. Если система обменивается теплом с внешней средой, ее энтропия
может вести себя любым образом. В частности, если система отдает тепло внешним телам
(получаемое системой отрицательно), энтропия системы уменьшается.
Если неизолированная система совершает цикл, то ее энтропия, будучи функцией
состояния, принимает в конце цикла первоначальное значение. Однако в ходе цикла
энтропия, вообще говоря, меняется, причем должно иметь место как возрастание энтропии
на одних участках цикла, так и убывание ее на других участках, поскольку суммарное
изменение энтропии за цикл должно равняться нулю.
Найдем изменение энтропии при обратимом изотермическом процессе. Приращение
энтропии равно
Вынося постоянную температуру за знак суммы, получим:
где Q12 — количество тепла, полученное системой при обратимом изотермическом
переходе из состояния 1 в состояние 2. Если это количество тепла отрицательно, S2<S1
Для того чтобы найти изменение энтропии при необратимом процессе, нужно
рассмотреть какой-либо обратимый процесс, приводящий систему в то же конечное
состояние, и вычислить для этого процесса сумму приведенных количеств тепла. Поясним
это следующим примером. Имеется изолированная система, состоящая из двух тел,
обладающих различными температурами Т1 и Т2(T1>T2). Между телами происходит
теплообмен, приводящий к выравниванию их температур. Этот процесс, очевидно,
необратим и должен сопровождаться возрастанием энтропии системы.
Предположим для простоты, что теплоемкость обоих тел одинакова и равна С. Тогда
конечная равновесная температура обоих тел будет равна
Чтобы вычислить изменение энтропии системы, рассмотрим обратимый процесс,
приводящий систему в состояние с одинаковой для обоих тел температурой T0. Этот процесс
заключается в обратимой передаче первым телом системы какому–то внешнему телу такого
количества тепла, что температура первого тела понижается до значения T0, и в обратимом
получении вторым телом извне такого количества тепла, что его температура повышается до
значения T0.Для того чтобы быть обратимыми, оба эти процесса должны протекать так,
чтобы температуры каждого из тел системы и соответствующего внешнего тела были в
каждый момент времени одинаковы.
Процесс охлаждения первого тела сопровождается приращением его энтропии:
Процесс нагревания второго тела сопровождается приращением его энтропии:
35
Отметим, что, поскольку T1>T0>T
(8)
(9)
(10)
(11)
ΔS отрицательно, а ΔS2 положительно.
2,
Изменение энтропии системы складывается из изменений энтропии отдельных тел:
Покажем, что это выражение действительно больше нуля. Для этого преобразуем
выражение, стоящее под знаком логарифма, следующим образом:
Поскольку это выражение больше единицы, логарифм его положителен и,
следовательно, ΔS>0.
Вычислим работу, совершаемую системой тел при обратимом изотермическом
процессе.
При обратимом процессе Подставив это значение в выражение для
,получим:
Так как dT=0(процесс изотермический), величину TdS можно заменить через d(TS).
Тогда выражение для работы примет вид:
Таким образом, при обратимом изотермическом процессе работа, совершаемая
системой над внешними телами, оказывается равной убыли величины которая, как легко
видеть, является функцией состояния. Эта величина получила название свободной энергии.
Она представляет собой ту часть внутренней энергии системы, которая превращается во
внешнюю работу при обратимых изотермических процессах.
Величину , равную разности между внутренней и свободной энергиями, называют
иногда связанной энергией. Заметим, что в случае адиабатического процесса (Q=0)
совершаемая системой работа равна убыли внутренней энергии системы:
При изотермических процессах роль внутренней энергии переходит к свободной
энергии.
36
Соотношение (11) справедливо как при обратимых, так и при необратимых процессах.
WkS ln
k
T
dQ
dS
Подставив это неравенство в уравнение легко получить, что при необратимых
изотермических процессах
Следовательно, убыль свободной энергии определяет наибольшую величину работы,
которую может совершить система при изотермическом процессе.
Энтропия имеет статистический смысл.
Физическая величина, характеризующая вероятность термодинамического состояния и
называемая энтропией равна
, (12)
— постоянная Больцмана, W — термодинамическая вероятность.
Любая система, предоставленная себе, из менее вероятного состояния стремится в
более вероятное состояние. Наиболее вероятным состоянием будет беспорядочное
состояние. Подводом тепла беспорядок увеличивается.
Поэтому
.
Это можно получить и из (4). Поэтому энтропия является количественной мерой
степени молекулярного беспорядка.
37
ЛЕКЦИЯ 8
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ВВЕДЕНИЕ
1. Принцип относительности Галилея гласит: невозможно обнаружить равномерное и
поступательное движение системы в свободном пространстве.
Согласно этому постулату можно говорить об относительном движении двух систем,
но бессмысленно говорить об абсолютной скорости отдельной системы в свободном
пространстве. Из этого следует общие законы физики, при описании явлений в свободном
пространстве, не должны зависеть от скорости конкретной системы координат,
используемой для установления этих законов.
В середине Х1Х века усилиями многих исследователей были обнаружены основные
законы электромагнетизма. На завершающем этапе эти законы были объединены
Максвеллом в теорию, которая вобрала в себя все экспериментальные данные электрических
и магнитных явлений и объяснила природу света. Эта теория осталась практически в
неизменном виде и дошла до наших дней. В то же время казалось, что переносчиком
электромагнитных взаимодействий является некоторая среда, т.н. «светоносный эфир»,
казалось, что эта среда должна обладать следующими свойствами: упругостью,
механическим напряжением (натяжением) и т.д. В теории Максвелла появились
электрические и магнитные натяжения, однако остальные привычные параметры в теории
оказались бесполезными — это плотность, упругость, скорость и пр. Попытки придать
светоносному эфиру свойства привычных сред (газ, жидкость или упругой тело) потерпело
неудачу. Эфир как среда согласно теории Максвелла обладал необычными свойствами. Но
главное — механические модели казались ненужными и ничего не добавляли к уже
имеющейся электромагнитной теории.
Однако казалось, что с появлением эфирной теории света возникла возможность
придавать определенный смысл различным скоростям движения через эфир и что
физические законы должны приобретать особенно простой вид в системе координат
покоящейся относительно эфира.
Поэтому с точки зрения гипотезы эфира принцип относительности Галилея оказался
нарушенным, и требовалась его экспериментальная проверка. Счастливым образом, его
экспериментальная проверка оказалась весьма удовлетворительной. Еще Фарадеем была
обнаружено, что движение поля не вызывает никаких эффектов, т.е. электрическому и
магнитному полю нельзя придать какую–либо скорость. Позже, Майкельсоном и Морли
были предприняты попытки обнаружить движение относительно неподвижного эфира,
которая закончилась неудачей. Оставалась возможность согласовать представление об эфире
с результатом опыты Майкельона–Морли, заключающаяся в предположении, что эфир
увлекается движущимися телами. Тогда, вследствие движения Земли вокруг Солнца,
видимое положение звезд испытывает кажущееся угловое смещение равное примерно 41
угловой секунде. Если бы эфир увлекался Землей, то аберрации вообще не наблюдалось бы.
Был проведен контрольный эксперимент, в котором использовался телескоп залитый водой.
Если бы эфир хотя бы частично увлекался, то аберрация должна бы уменьшиться, что не
наблюдалось.
Также известно, что сам по себе результат, полученный в опыте Майкельсона–Морли,
можно объяснить, не прибегая к гипотезе неподвижного эфира, если предположить, что тела,
движущиеся через эфир, испытывают в направлении своего движения сокращения,
называемые сокращениями Лоренца–Фицджеральда. Тогда это объяснило бы нулевой
эффект в опыте Майкельсона. Поэтому особенно приятно, что мы имеем теперь второй опыт
прямого подтверждения принципа относительности — наблюдения Кеннеди в его
постановке эффекта движения Земли через неподвижный эфир должен был бы
регистрироваться при наличии реального сокращения Лоренца–Фицджеральда.
38
2. Сопоставим еще раз экспериментальные все известные факты. Все попытки
(
(1)
экспериментально установить существование такой привилегированной системы координат,
в частности попытки Майкельсона и Траутона–Нобля, потерпели неудачу, и это заставило
вводить специальные гипотезы, объясняющие, почему этот неподвижный эфир ускользает от
наблюдения. Таким образом, получилось неприятное нагромождение гипотез, из которых
вторая придумана только для того, чтобы объяснить, почему нельзя наблюдать световой
эфир, постулированный в первой гипотезе. При таком положении дел открытие Эйнштейном
теории относительности явилось большим шагом вперед. Эйнштейн исходил
непосредственно из отрицательного результата опыта Майкельсона, из которого он
заключил, что принципиально нельзя отличить: какая из двух систем, движущихся друг
относительно друга с постоянной скоростью, находится в покое, и какая движется. Поэтому
он задался вопросом: каковы законы природы, вызывающие невозможность установить
принципиальное различие между двумя движущимися друг друга системам?
Совокупность этих и многих других опытов подтвердила, что принцип
относительности Галилея должен быть обобщен на случай не только механических, но и
электромагнитных явлений.
Этот принцип принято называть первым постулатом теории относительности
Эйнштейна: невозможно обнаружить равномерное и поступательное движение
системы в свободном пространстве.
Второй постулат звучит так: скорость в свободном пространстве одинакова для всех
наблюдателей вне зависимости от относительных скоростей источника света и
наблюдателя.
Когда Эйнштейн создавал СТО не было никаких экспериментальных данных о
независимости скорости света от скорости источника, и второй постулат был принят исходя
из волновой теории света. В настоящее время экспериментальных данных уже достаточно,
чтобы с определенностью исключить альтернативную возможность обычное сложение
скорости света и скорости источника.
Преобразование Лоренца
Исходя из сформулированных выше постулатов теории относительности Эйнштейна,
можно найти законы преобразований, связывающие межу собой пространственные
координаты и время в двух системах отсчета, движущихся прямолинейно и равномерно
относительно друг друга. Пусть х, у, z, и х’, у’, z’ и t’, — координаты и время в
инерциальных систем отсчета K и K’, а v — скорость их относительного движения.
При этом нет никаких оснований полагать, что время в системе совпадает со
временем в системе K, как это безоговорочно принималось в классической физике. Для
просторы выкладок выберем направление скорости за направление осей х и .
Предположим, что в некоторый момент времени t’ в точке скоординатами
происходит некоторый физический процесс, который назовем событием. Нашей задачей
является нахождение «координат» события в системе отсчета K’, т.е. нахождение величин х,
y, z, t, характеризующих тот же физический процесс в системе K.
Выберем за начало отсчета времени t=0 тот момент, в который начало координат
системы K’ совпадало с началом координат системы K. Пусть в момент времени t=0 из
начала координат начала распространяться сферическая электромагнитная волна. В системе
K уравнение волновой поверхности имеет вид.
или
39
Поскольку, согласно принципу относительности Эйнштейна, закон и величина
(
(2)
(
(3)
(
(4)
скорости распространения волны должны быть одинаковыми во всех инерциальных
системах отсчета, наряду с этим уравнением с равным правом можно написать уравнение
сферической волны в системе K’.
Так как в начальный момент времени начало координат систем совпадали, то
Формулы преобразования координат и времени должны, во-первых, не нарушать
соотношений (1) и (2), а, во-вторых, быть линейными. Требования линейности связано с
однородностью пространства. Т.к. движение системы K’ происходит только вдоль оси х
преобразование координат у и z должно иметь вид
Закон преобразования х’ через х можно написать, исходя из следующегосоображения:
если в момент времени t=0 начала систем координат K и K’ совпадали, то координата
плоскости х’ в системе K запишется х=νt. Следовательно, в самом общем случае можно
написать
где коэффициент может зависеть лишь от скорости относительного движения. Не
делая никаких произвольных допущений о совпадении времени в двух системах отсчета, мы
можем представить t’ в виде линейной однородной функции х и t
Kоэффициенты и могут, вообще говоря, зависеть от скорости v. Если бы оказалось,
что , а , то мы вернулись бы к преобразованиям Галилея. Для определения
коэффициентов , и , отвечающих Требованиям принципа относительности Эйнштейна,
мы должны подставить (3) и (5) в (2). Это дает
Для выполнения тождества необходимо приравнять коэффициенты при х2,t2и хt.
Раскрыв скобки и проведя соответствующие преобразования получим:
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]