Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Многомерный статистический анализ эколого-геохимических измерений. Часть I. Математические основы. Учебное пособие
.pdf
Рис. 1.10. Зависимость графиков f(x) хи-квадрат распределения от m
M
A
Рис. 1.11. Калькулятор хи-квадрат распределения вероятности.
Площадь затемненной области равна 0,5 = р = FCh(2,365974)
Числовые характеристики t-распределения:
m
[] 0
Х Me Mo, []
D Х
m
,
2
6
E
0
,
m
21
.
4
Рис. 1.12. Графики f(x) и F(x) закона t-распределения
При больших степенях свободы (m > 30) t-распределение практически совпадает с нормальным распределением
(;0;1)Nx
.
Значения функции t-распределения р
F(х) и обратной к ней можно вы-
=
числить с помощью калькулятора распределения вероятности (см. рис. 1.13).
Рис. 1.13. Калькулятор t-распределения вероятности.
Площадь затемненной области равна 0,5 = р = Ft (0; 3)
22
Непрерывная случайная величина Х имеет F-распределение Фишера,
если ее плотность распределения вероятностей имеет вид (рис. 1.14)
Г
2
fx x x x
(;; ) 1 , 0 .
F
ГГ
22
/2
1
2
2
(1.14)
Рис. 1.14. Графики f(x) и F(x) закона распределения Фишера.
Площадь затемненной области равна 0,5 = р = FF (1, 10, 10)
Числовые характеристики F-распределения:
2
[] , 2;
M Х
2
2
22
[] , 4;
DX
A
842 2
24
62
2
Mo
,2;
2
;
23
Значения функции распределения Фишера р = F(х) и обратной к ней
f
можно вычислить с помощью калькулятора распределения вероятности
(см. рис. 1.15).
Рис. 1.15. Калькулятор F-распределения вероятности.
Площадь затемненной области равна 0,5 = р = FF (1)
Зависимость графиков плотности ()
F
x; ;
F-распределения Фи-
шера от параметров ν и ω представлена на рис. 1.16.
(;; )
Рис. 1.16. Графики
fx
F
плотности F-распределения Фишера
в зависимости от ν и ω
24
Если ν = m и ω = n – целые, то непрерывную случайную величину,
имеющую F-распределение Фишера, можно представить в виде отношения двух случайных величин, распределённых по закону хи-квадрат
со степенями свободы m и n. При этом отношение случайных величин,
делённых на соответствующую степень свободы, называется F-отно-
шением, а соответствующее распределение – распределением F-отно-
шения. Данное
распределение играет фундаментальную роль в математической статистике и интерпретируется в первую очередь как распределение отношения двух выборочных дисперсий – распределение дисперсионного отношения. На данной статистике основан F-критерий,
используемый, в частности, для проверки гипотезы равенства дисперсий двух совокупностей в дисперсионном анализе, регрессионном анализе, многомерном статистическом анализе.
Универсальность
ми с другими распределениями. При m
F-распределения Фишера подчеркивается связя-
1 квадрат F-отношения имеет
=
распределение Стьюдента с n степенями свободы. Существуют различные аппроксимации F-распределения Фишера с помощью нормального
распределения и хи-квадрат распределения.
Введение в дисперсионный анализ F-распределения связано
с именем Р. Фишера, хотя сам он использовал для дисперсионного от-
1
ношения величину
zF
. Распределение z было табулировано
ln
2
Р. Фишером, F-распределение – Дж. Снедекором.
1.1.6. Система случайных величин
Функцией распределения двумерной случайной величины (систе-
мы двух случайных величин {X,Y}) называется неубывающая функция
двух действительных переменных, определяемая как вероятность совместного выполнения двух неравенств:
F
(x, y) = P{X < x, Y < y},
X,Y
и удовлетворяющая следующим свойствам:
lim
x
F
X,Y
lim
x
(x, y) =
F
X,Y
lim
y
(x, y)
F
= FY
X,Y
(y),
(x, y)
lim
y
=
0,
F
lim
,
xy
(x, y)
X,Y
F
X,Y
= FX
(x, y)
(x).
=
1,
Систему двух случайных величин называют непрерывно распреде-
лённой, если их функция распределения непрерывна на всей плоскости
f
и существует неотрицательная интегрируемая функция
ваемая
плотностью распределения вероятностей {X,Y}:
25
(x,y), назы-
X,Y
F
f
f
f
f
M
x
X
X
X
(x, y) =
X,Y
y
x
,
XY
XY
(, )
,
(, )
df d
df d
=
, f
1, f
(x, y) =
X, Y
X, Y
(x, y) 0.
2
(, )
Fxy
,
XY
xy
,
Плотности распределения вероятностей по каждой переменной выражаются в виде
f X(x) =
x
Тогда F
(x) =
X
()
X
XY
d
, FY(y) =
(, )
xd
,
y
, f Y(y) =
()
Y
(, )
yd
d
.
,
XY
.
Для системы двух случайных величин {X,Y} вводятся числовые характеристики –
моменты порядка K,S.
Начальный момент порядка K,S
kS KS
,,
KS XY
XY x y f xydxdy
(, )
В частности, (mX, mY) =
ожиданием
{X,Y} или центром рассеивания.
(1,0
,
) называется математическим
0,1
Центральный момент порядка K,S
( [ ]) ( [ ])
MXMX YMY
()()(,).
,
В частности,
,
KS
2,0 = DX
(корреляционный момент)
называется
личин. Здесь
коэффициентом корреляции системы двух случайных ве-
D ,
X
KS
mymfxydxdy
XYXY
0,2 = DY
. Нормированная ковариация
XY
YY
kS
,
– дисперсии,
K
Y
(1.15)
Y
1,1 = KXY
D – среднеквадратичные отклонения.
Корреляционный коэффициент удовлетворяет условию
деляет степень линейной зависимости между
Систему двух случайных величин {
пределенной
, если множество возможных значений {xi, yj} счетное и за-
дана соответствующая каждой паре вероятность
X и Y.
X,Y} называют дискретно рас-
p
ij =
удовлетворяющая условию
– ковариация
XY
1
и опре-
P{X = xi, Y = y
},
j
26
p
p
M
M
D
Dy
y
y
K
ij
,
ij
1
p
где суммирование распространяется на все возможные значения индексов i и j. В случае конечного числа возможных значений строят таблицу
распределения системы двух случайных величин {X,Y}.
Таблица 1.2
Матрица распределения дискретной двумерной случайной величины
(системы двух случайных величин {X,Y})
Y
x
x
1
X
2
y1 p11 p21
y2 p12 p22
x
k
p
k1
p
k2
ym
p2m
1m
p
km
p
Одномерные законы распределения отдельных компонент выражаются формулами
pi = P{X = xi} =
, pj = P{Y = yj} =
ij
j
.
ij
i
Начальный момент порядка K,S
kS KS
,
KS i j ij
XY x y p
ij
.
Центральный момент порядка K,S
,
KS i X j Y ij
( [ ]) ( [ ]) ( ) ( )
XMX YMY xm y m p
kS KS
ij
В частности,
mxpxp
XiXijiXiiiX
YjYijjYjjjY
XY i X j Y ij i j ij X Y
Xiijii
ij i
() ()
ij i i
ij j j
ij ij
xm p xm p xpm
() ()
()()
xm y m p xyp mm
2222
2222
mp
mypyp
,
Yjijjj
ij j
mp
27
,
,
pm
,
.
Совместная числовая характеристика распределения системы двух
K
K
K
случайных величин {X,Y} K
называется ковариацией (корреляцион-
XY
ным моментом) случайных величин X и Y. В частном случае K
и K
YY = DY
(корреляционным моментом) пары случайных величин X
.
Для системы m случайных величин {X
, X2,…, Xm} ковариацией
1
и Xj называ-
i
ется величина
XX = DX
cov[ , ] ( [ ])( [ ]) , , 1,
ij i j i i j j
XX M X MX X MX ij m
а соответствующая симметричная (
K
ij
K
ij ji
[]
DX K K
112 1
KDX K
21 2 2
[]
) матрица
m
m
,
KK DX
12
mm m
[]
называется ковариационной матрицей системы m случайных величин.
При этом матрица
() , где
ij
K
ij
ij
ij
,,1,
iii
ij m
,
называется корреляционной матрицей системы.
28
1.2. Элементы математической статистики
i
x
x
x
x
x
x
x
x
Теоретической базой математической статистики [8, 16] является
теория вероятностей, изучающая вероятностные закономерности массовых однородных случайных событий. Теория вероятностей изучает математические модели случайных явлений, при этом сама математическая модель остаётся заданной. В практических задачах характеристики
математической модели, как правило, неизвестны, но имеются некоторые экспериментальные данные о событии или случайной величине
Требуется на основании этих данных построить подходящую теоретиковероятностную модель изучаемого явления. Это и является задачей математической статистики, обширного раздела современной математики.
Методы математической статистики [1–4, 11–13, 15, 17, 25–26, 28–32,
38, 40] широко применяются в различных отраслях естествознания.
Всё это предопределяет необходимость овладения методами математической статистики как инструментом статистического анализа
и прогнозирования естественнонаучных явлений
1.2.1. Выборочный метод
и процессов.
.
Полный набор всех возможных N значений дискретной случайной
величины Х называют генеральной совокупностью. Однако в реальных
условиях нельзя рассчитывать на такую подробную информацию. Часть
генеральной совокупности из n элементов, отобранных случайным образом, называется выборкой, при этом число n называют объемом вы-
борки. Различают выборки малого
объема (n < 30) и большого (n > 30).
Вначале на основе результатов эксперимента строят простой
статистический ряд – таблицу, состоящую из двух строк, в первой –
порядковый номер измерения, во второй – его результат:
Таблица 1.3
Простой статистический ряд случайной величины Х
i 1 2
x
x1 x
2
n
x
n
Для визуальной оценки распределения случайной величины производят группировку данных. Вначале x
располагают в порядке возрастания,
i
затем интервал наблюдаемых значений случайной величины разбивают на
k последовательных непересекающихся частичных интервалов
1
, ,
2
личество x
j
j+1, ,
, попавших в j-ый интервал. Полученный таким образом груп-
i
k–1
, далее подсчитывают частоты nj – ко-
k
0
,
1
пированный статистический ряд отражают таблицами вида
29
Таблица 1.4
x
j
–
x
j
x
x
x
x
x
x
x
j
–
x
j
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
j
x
x
Группированный статистический ряд частот nj случайной величины Х
или, подсчитывая относительные частоты (1.1) pj =
1
nj n
0
1
n
1
1
2
… nk
2
…
/jnn
Группированный статистический ряд относительных частот pj
случайной величины Х
1
0
1
1
–
2
…
рj р1 р2 … рk
или, определяя середину j-го интервала
– 0.5j, где
j =
j
длина j-го интервала, получим ряд распределения в виде
Группированный статистический ряд относительных частот pj
случайной величины Х (с указанием середин интервалов)
x
x
l
x
2
…
k–1
,
Таблица 1.5
k–1
j =
Таблица 1.5
x
k
k
k
j
–
j–1
–
*
рj р1 р2 … рk
При этом частоты рj удовлетворяют условию
Деля частоту р
таблицу
лы
плотностей частоты f
j–1
и надстраивая на каждом интервале, как на основании, пря-
j
моугольник высотой
гуру –
гистограмму частот – статистический аналог кривой плотности
на длину соответствующего интервала
j
. Откладывая по оси абсцисс интерва-
j
f
,то есть площадью pj, получим ступенчатую фи-
j
k
j
1
1
p
.
j
, получим
j
распределения. Еще более точной оценкой кривой плотности распределения является
точки (
x , fj). В итоге ряд распределения принимает вид
j
Группированный статистический ряд плотностей частот fj
полигон частот – ломаная, отрезки которой соединяют
Таблица 1.6
случайной величины Х
x
j
fj f
x
1
f
1
x
2
… fk
2
…
x
k
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]