Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Многомерный статистический анализ эколого-геохимических измерений. Часть I. Математические основы. Учебное пособие
.pdf
kk
x
x
М[Х] =
pp
ii i
11
ii
.
Эта запись позволяет дать механическую интерпретацию математического ожидания: М[Х] – абсцисса центра тяжести системы то-
чек, абсциссы которых равны возможным значениям случайной величины, а массы, помещенные в эти точки, равны соответствующим
вероятностям.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины
Х называется интеграл
М[Х]
=
f(x)dx, (1.6)
причём предполагается, что интеграл сходится абсолютно; здесь f(х) –
плотность вероятности распределения случайной величины Х.
Математическое ожидание М[Х] можно понимать как «теоретическое среднее значение случайной величины».
Рассмотрим свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание имеет ту же размерность, что и сама
случайная величина.
2. Математическое ожидание может быть как
положительным, так
и отрицательным числом.
3. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой по-
стоянной, т. е.
М[С] = С.
4. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин
равно сумме математических ожиданий этих величин, т. е.
М[X + Y + … + W] = М[X] + М[Y] + … + М[W]
5. Математическое ожидание произведения двух или нескольких вза-
имно независимых случайных величин равно произведению мате-
матических ожиданий этих величин, т. е.
М[XY] = M[X] M[Y].
6. Математическое ожидание произведения случайной величины на
постоянную С равно произведению математического ожидания
случайной величины и постоянной С
М[СХ] = С М[Х].
Наряду с математическим ожиданием используют и другие числовые характеристики: медиана (x
две равные части и определяется из условия
или Ме) делит распределение Х на
med
11
F(x
med) =
0,5; мода (x
mоd
или
Мо) – это максимально часто встречающееся значение Х и для непре-
рывно распределенной случайной величины равна абсциссе точки максимума f(x).
В симметричных распределениях все три числовые характеристики
(математическое ожидание, медиана и мода) совпадают.
При наличии нескольких мод распределение называют мультимодальным.
Если математическое ожидание случайной величины дает нам «
её
среднее значение» или точку на координатной прямой, «вокруг которой
разбросаны» значения рассматриваемой случайной величины, то дис-
персия характеризует «степень разброса» значений случайной величи-
ны около её среднего.
Дисперсией D[X] случайной величины Х называется математиче-
ское ожидание квадрата отклонения значения случайной величины от её
математического ожидания, т. е.
D[Х] =
М(Х – М[Х)
2
]. (1.7)
Дисперсию удобно вычислять по формуле
D[Х] = М[Х2] – (М[Х])2.
Для дискретной случайной величины Х формула дает
D[Х] =
k
(хi)2 рi – (М[Х])
i
1
2
(1.7)
Для непрерывной случайной величины Х
D[Х] =
2
[] ()
()xMx fxdx
. (1.7)
Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.
Рассмотрим свойства дисперсии:
Дисперсия постоянной величины всегда равна нулю:
1.
D[С] = 0.
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, пред-
2.
варительно возведя его в квадрат:
D[СX] = С2 D[X].
3.
Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных
величин равна сумме их дисперсией:
D[X + Y] = D[X] + D[Y].
12
Положительный корень из дисперсии называется среднеквадра-
D
x
K
M
x
тичным (стандартным) отклонением и обозначается
[]
X.
Стандартное отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина.
Случайная величина называется центрированной, если
0[]MX
, и стандартизированной, если
[]0MX
и
1 .
В общем случае свойства случайной величины могут характеризоваться различными начальными и центральными моментами.
Начальным моментом K-го порядка называется число
K
, опре-
деляемое формулой
xp,
i
K
K
ii
f(x)dx,
K
K
MX
[]
[]
где
ны
X
– математическое ожидание K-й степени случайной величи-
K
X (соответственно, для случайных величин дискретного и непре-
рывного типа).
Центральным моментом K-го порядка называется число
, оп-
K
ределяемое формулой
(),
xp
K
MX
[( ) ]
K
1
ii
i
()().
i
K
1
K
1
fxdx
Из определений моментов, в частности, следует
00 1 2 21
1, [ ], [ ]MX DX
2
.
Часто пользуются производными характеристиками от начальных и
центральных моментов:
Коэффициентом вариации называется величина
100V%
1
.
Коэффициент вариации – величина безразмерная, применяемая для
сравнения степеней изменчивости случайных величин с разными единицами измерения.
13
Коэффициентом асимметрии (или скошенности) распределения
p
называется величина
A
3
. (1.8)
3
Коэффициент асимметрии характеризует степень асимметрии
распределения случайной величины относительно её математического
А
ожидания. Для симметричных распределений
0. Если пик графика
=
функции f(x) смещён в сторону малых значений («хвост» на графике
функции f(x) справа), то
А > 0. В противном случае А < 0 (см. рис. 1.2).
Рис. 1.2. Графики плотности вероятности f(x)
в зависимости от коэффициента асимметрии А
Коэффициентом эксцесса (или островершинности) распределения называется величина
3
4
E . (1.9)
4
Коэффициент эксцесса является мерой остроты графика функции
плотности распределения
f(x) (см. рис. 1.3).
Квантилью порядка p распределения случайной величины X не-
прерывного типа называется действительное число
t , удовлетворяю-
щее уравнению
().
PX t p
p
14
Рис. 1.3. Графики плотности вероятности симметричной f(x)
в зависимости от коэффициента эксцесса Е
Значения
t и
0,75
t называются соответственно верхней и нижней
0,25
квартилями. Квартильный размах, равный разности верхней и нижней
квартилей, представляет собой интервал вокруг медианы, который содержит 50 % значений Х.
Критической точкой порядка p распределения случайной вели-
чины X непрерывного типа называется действительное число k
, удов-
p
летворяющее уравнению
pkXP
)(.
p
Квантиль и критическая точка одного и того же распределения связаны соотношением
tk
.
pp
1
1.1.4. Примеры законов распределения случайной величины
Рассмотрим некоторые важные для практики законы распределения
случайных величин.
Непрерывная случайная величина имеет
с параметрами
ние
а R
и 0
, если плотность распределения веро-
нормальное распределе-
ятностей имеет вид
(; ; ) ,
fxa e x
N
2
1
22
()/2
x а
15
, (1.10)
где параметры a – математическое ожидание ( []а MX
D
[]
квадратичное отклонение Х (
X ). В данном случае математи-
), – среднее
ческое ожидание a совпадает с медианой Me
= xmed
и модой Mo = x
mоd
.
Если случайная величина распределена по закону (;0;1)Nx , то она на-
зывается стандартизированной нормальной величиной. Функция распреде-
2
x
t
2
. Графики плотности f(x)
ления для неё имеет вид
Fx edt
(;0;1)
N
2
1
и функции F(x) распределения стандартизированной нормальной величины
10 и
изображены на рис. 1.1, а с параметрами a
=
5 – на рис. 1.4.
=
Рис. 1.4. Графики f(x) и F(x) по закону
(;10;5)Nx
.
Площадь затемненной области равна 0,5 = р = FN(10; 10; 5)
На рис. 1.5 изображены графики плотности f(x) нормального распределения при фиксированном a
кривая f(x) сжимается, концентрируясь вокруг прямой х
2 и разных . С уменьшением
=
2.
=
Центральные моменты нормального распределения удовлетворяют
рекуррентному соотношению
(1) , 1,2,...,
nn
nn
2
2
откуда, в частности, следует, что все центральные моменты нечетного
порядка равны нулю, так как
том
42
24
33 имеем
0
и, таким образом,
1
4
3E
4
16
0. В этом смысле кривая плот-
=
A
3
0. С уче-
=
3
ности нормального распределения является эталонной (A = 0, E = 0),
с которой сравнивают f(x) других распределений при одинаковых М(Х)
и D(X). Причем, на фоне кривой плотности нормального распределения
график плотности распределения f(x) деформирован (асимметричен)
влево, если A > 0, и вправо, если A < 0; остроконечен (вытянут вверх),
если Е > 0, и тупоконечен, если Е < 0 (см. рис. 1.2, 1.3).
Рис. 1.5. Графики плотности нормального распределения
в зависимости от стандартного отклонения
Значения функции р = F(х) и обратной к ней можно вычислить
с помощью калькулятора распределения вероятности (рис. 1.6).
Нормальное распределение непрерывной случайной величины
имеет очень широкое распространение в случайных явлениях природы.
Ему подчиняется случайная величина, представленная в виде суммы
слабо зависимых случайных величин, сравнимых по порядку их влияния на рассеивание суммы.
Непрерывная случайная
ление
(;; )LN x
, если ln X подчинен нормальному закону
величина Х имеет логнормальное распреде-
(ln ; ; )Nx
, то
есть если плотность распределения вероятностей имеет вид (см. рис. 1.7)
2
(ln )
x
fx e x
(;; ) ,0 .
LN
x
1
2
2
(1.11)
2
17
Рис. 1.6. Калькулятор нормального распределения вероятности.
Площадь затемненной области равна 0,75 = р = F(0,67449)
Рис. 1.7. Графики f(x) и F(x) логнормального распределения.
Площадь затемненной области равна 0,5 = р = FLN(1; 0; 1)
18
Числовые характеристики логнормального распределения:
M
M
E
2
/2
[]M Х e
,
ex e
[] ( 1)D Х ee
22
(2)(1)Ae e
222
432
eee
,
med
22
2
ox e
mod
, (1.11)
,
233
.
2
,
Значения функции логнормального распределения р
F(х) и обрат-
=
ной к ней можно вычислить с помощью калькулятора распределения
вероятности (см. рис. 1.8).
Рис. 1.8. Калькулятор логнормального распределения вероятности.
Площадь затемненной области равна 0,5 = р = FLN(1; 0; 1).
Из определения логнормального распределения следует, что если
случайная величина Y распределена нормально, то X
eY распределена
=
логнормально. Таким образом, логнормальному распределению подчиняется распределение случайной величины, представленной в виде произведения слабо зависимых случайных величин, сравнимых по порядку
их влияния.
Непрерывная случайная величина Х имеет
2
(хи-квадрат) распре-
деление с m степенями свободы, если она представима в виде суммы
квадратов m величин, распределённых по нормальному закону N(x, 0, 1),
то есть если плотность распределения вероятностей имеет вид (рис. 1.9)
xm
1
fxm ex x
(; ) , 0
Ch
/2
m
m
2(/2)
1
22
19
, (1.12)
где
z
A
E
()
et dt
0
1
tz
– гамма функция:
21 1
n
22
21!!
n
n
и
1!nn
для 0,n .
Числовые характеристики хи – квадрат распределение:
M[X] =
m, x
mod =
m–2, D[X]
=
2m,
3/2
2/
m , 12 /
m.
Рис. 1.9. Графики f(x) и F(x) хи-квадрат распределения. Площадь затемнен-
ной области равна 0,5 = р = FCh(2,365974).
График плотности хи-квадрат распределения асимметричен (скошен влево, так как A > 0), островершинен (E > 0) и x
mоd
< m.
Зависимость графиков плотности хи-квадрат распределения от m
представлена на рис. 1.10.
Значения функции хи-квадрат распределения р
F(х) и обратной
=
к ней можно вычислить с помощью калькулятора распределения вероятности (см. рис. 1.11).
Непрерывная случайная величина Х имеет
дента
с m степенями свободы, если плотность распределения вероятно-
t-распределение Стью-
стей имеет вид (рис. 1.12)
1
m
Г
(; ) 1 , .
fxm x
t
1
m
Г
2
m
2
x
m
1
m
2
2
(1.13)
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]