Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Многомерный статистический анализ эколого-геохимических измерений. Часть I. Математические основы. Учебное пособие
.pdf
4. Аналитические способы сравнения законов распределения [4,
14, 25, 28, 30, 33, 42]. Применение наиболее распространенного критерия проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения
теоретическому закону – критерия Пирсона (1.19) предполагает разделение выборочных данных на k интервалов. Число k определяется с
учетом эмпирической формулы k
1 + 4 lgn и требования критерия
=
Пирсона k > 3, при этом предполагается, что в каждом интервале содержится не менее трех значений случайной величины [42]. Нарушение
последнего требования в случае малого объема выборки n делает критерий Пирсона чувствительным к способам выбора k интервалов и порождает так называемые ошибки I (отвергается правильная гипотеза)
и II
(не отвергается неправильная гипотеза) родов.
В отличие от критерия Пирсона, основанного на сравнении эмпирических и теоретических частот, критерий Колмогорова – Смирнова
(1.21) основан на сравнении накопленных частот.
В случае выборки (А) для варианта k
4 промежуточные вычисле-
=
ния приведены в табл. 1.14, где, как принято в случае сравнения с нормальным законом распределения, границы крайних интервалов расши-
рены до бесконечности .
Таблица 1.14
Проверка гипотезы о нормальном законе распределения Sc
по критериям Пирсона и Колмогорова – Смирнова
k
№ группы
Центры
групп
1 0,2775
4 2 0,38
3 0,52
0,33
0,45
4 1,2
-
c
i
0,33
0,86
bi
0,45
0,86
n
p
i
i
3 0,33 0,20 0,33 0,10
2 0,14 1,06 0,47 0,24
1 0,41 1,19 0,88 0,02
1 0,12 0,02 1,00 0,00
2
F iD
i
i
В результате имеем
2
2,47 < 3,84
2
, D
0,05;1
0,24 < 0,48
D .
0,05;7
Таким образом, согласно критериям Пирсона и Колмогорова – Смирнова нет оснований отвергать гипотезу о том, что данный вариант выборки (А) распределен по нормальному закону. Аналогичным образом
можно проверить гипотезу о распределении данного варианта выборки
(А) по логнормальному закону, т. е. распределение логарифмов выборки
(А) по нормальному закону.
Для
исследования характера ошибок при проверке гипотезы о законе распределения (N – нормальный, LN – логнормальный) в случае
малого объема выборки n применим критерии (1.19) и (1.21) к разным
91
вариантам группировки выборки (А): к наряду с только что рассмотренным вариантом группировки выборки (А), т. е. вариантом частот (3211),
также к вариантам частот (2311) и (1411) при k
4, а при k = 5 к вариан-
=
ту (21211), и к аналогичным ему (12211) и (11311). Результаты исследования приведены в табл. 1.15.
Как следует из табл. 1.15, с учетом критических значений
D 0,48 и
0,05;7
1,36, согласно критерию Колмогорова – Смирнова
0,05
независимо от способов группировки нет оснований отвергать обе гипотезы (о соответствии выборки (А) нормальному N и логнормальному
LN законам), что соответствует ошибке II рода.
Таблица 1.15
Зависимость критериев Пирсона и Колмогорова – Смирнова
от способов группировки выборки (А)
k
групп
4
5
2
Варианты
N LN N LN
(3211) 2,47 1,12 0,24 0,15
(2311)
(1411)
(21211)
(12211)
5,3 2,1 0,26 0,18
10,5 4,6 0,27 0,21
3,2 1,1 0,24 0,15
8,3 2,8 0,24 0,15
2
d d
(11311) 7,8 2,8 0,26 0,18
При использовании
ческого значения
2
3,84 в случае варианта (3211) обе гипотезы (о
0,05;1
2
-критерия Пирсона для k
4 с учетом крити-
=
соответствии выборки (А) нормальному N и логнормальному LN законам) не отвергались (ошибка II рода); в случае варианта (2311) отвергалась гипотеза о нормальном N законе и не было оснований отвергать
гипотезу о логнормальном LN законе (правильное решение); в случае
варианта (1411) отвергались обе гипотезы (ошибка I рода).
При
чения
использовании
2
6,0 в случае варианта (21211) обе гипотезы не отвергались
0,05;2
2
-критерия для k
5 с учетом критического зна-
=
(ошибка II рода), в случае вариантов (12211) и (11311) отвергалась гипотеза о нормальном N законе и не было оснований отвергать гипотезу о логнормальном LN законе (правильное решение). Таким образом, учитывая
92
чувствительность критериев Пирсона и Колмогорова – Смирнова к способам группировки в случае выборки малого объема n, можно ограничиться
в данном случае более скромным выводом о том, что для выборки (А)
логнормальный закон предпочтительней, так как независимо от способа
группировки все статистические значения критериев для N меньше соответствующих значений критериев для
LN, а ведь именно значение статистического критерия характеризует меру отличия выборочного и теоретического законов распределения случайной величины.
II. Проверка гипотезы о равенстве средних на основе выбранного
закона распределения:
1. Использование параметрических критериев [14, 30]. В случае
нормальной модели используют критерии Фишера (1.23) и Стьюдента
(1.24), (1.25).В случае логнормальной модели рекомендуется использовать
критерий Родионова (1.26).
2. Использование непараметрических критериев [4, 14]. Неопределённость с законом распределения предполагает использование непараметрических критериев, которые особенно полезны для малых
выборок.
Непараметрическими альтернативами критериям Стьюдента и Родионова являются, например, критерии серий Вальда-Вольфовица, критерий Манна-Уитни, двухвыборочный критерий Колмогорова – Смирнова для независимых выборок или критерий знаков,
критерий
Вилкоксона для зависииых выборок [7].
При этом следует учитывать особенности применения непараметрических критериев.
Применим статистический анализ для установления значимости
отличия средних по урану значений по четырем населенным пунктам
Томской области (табл. 1.16).
Рассмотрим, например, распределение химического элемента U по
двум населенным пунктам юга Томской области: с. Новониколаевка (Н)
и с. Семеновка (С
). Гипотезу о распределении соответствующих выборок (Н) и (С) по нормальному закону можно отвергнуть только на том
основании, что в этом случае соответствующие нормальные законы
N(x
; 3,16; 4,04) и N(xС; 5,70; 5,86) приводят к возможности принятия
H
случайной величиной Х отрицательного значения с вероятностями 0.22
и 0.17 соответственно. На рис. 1.20 заливкой выделены области отрицательных значений выборок (Н) и (С).
Учитывая принадлежность U к элементам с низкой концентрацией,
проверим гипотезу о распределении U по логнормальному закону. Графический способ проверки гипотезы о распределении выборок
(Н) и (С)
по логнормальному закону проиллюстрирован на рис. 1.21.
93
Содержание урана в солевых отложениях
из посуды населенных пунктов юга Томской области
Таблица 1.16
Населенный пункт
№
пробы
U,
мг/кг
Среднее,
мг/кг
с. Новониколаевка 1 1,3
с. Новониколаевка 2 0,2
с. Новониколаевка 3 0,2
3,16
с. Новониколаевка 4 4,4
с. Новониколаевка 5 9,7
п. Комсомольск 1 1,6
п. Комсомольск 2 0,2
п. Комсомольск 3 0,2
0,48
п. Комсомольск 4 0,2
п. Комсомольск 5 0,2
с. Семёновка 1 0,2
с. Семёновка 2 3,3
с. Семёновка 3 12,0
5,70
с. Семёновка 4 12,0
с. Семёновка 5 1,0
с. Коломинские гривы 1 0,2
с. Коломинские гривы 2 0,2
с. Коломинские гривы 3 0,2
0,30
с. Коломинские гривы 4 0,2
с. Коломинские гривы 5 0,7
f
H
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
- 5 5 10 15
x
- 10 - 5 5 10 15 20
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
f
C
x
Рис. 1.20. Графики функций f(x) плотностей
нормального распределения N(xH; 3,16; 4,04) и N(xС; 5,70; 5,86),
на фоне которых заливкой выделены области, в которых P(X<0) = 0,22 и 0,17
Применение критерия Пирсона для выборок (Н) и (С) дает
2
0,085 и
=
H
0,05 и k = 4. Таким образом, нет оснований отвергать гипотезу о со-
=
2
0,141 соответственно, что меньше
=
C
2
,3k
=
3,84 при
ответствии выборок (Н) и (С) логнормальному распределению.
94
f
H
f
C
0.2
0.15
0.1
0.05
lnx
- 4
- 2 2
Рис. 1.21. Эмпирические плотности частот в координатах (
4
- 4
0.2
0.15
0.1
0.05
- 2 2
4
f , lnx
i
lnx
6
)
i
на фоне теоретических кривых f(lnx) по нормальному закону N(lnx; 0,16; 1,77)
для выборки (Н) и N(lnx; 0,91; 1,75) для выборки (С)
Критерии, основанные на сравнении числовых характеристик
в случае выборок (Н) и (С) дают отношения выборочных показателей
асимметрии и эксцесса к их стандартным отклонениям, равные 1,27
и 2,25 для (Н) и 0,43 и 1,71 для (C). Во всех случаях эти отношения
меньше 3, что также подтверждает выше сформулированный вывод.
Таким образом, по совокупности приведенных критериев нет оснований отвергать гипотезу о соответствии выборочных данных (Н) и (С)
логнормальному распределению для уровня значимости
=
0,05.
Использование критерия Родионова в случае выборок (Н) и (С)
дает по формуле (1.23) F
набл =
1,02 < 6,4 = F(0,05; 4; 4) = Fкр, т. е. нет ос-
нований отвергать гипотезу о равенстве дисперсий, и, согласно (1.26),
Т
0,68 < 1,86 = Т(0,05; 8) = Ткр, т. е. расхождения между выборочными
=
значениями математических ожиданий m
и mС не являются значимыми.
Н
В случае малых выборок (n < 10) точечную несмещенную оценку
среднего квадратичного отклонения s можно заменить выборочным
размахом [41]:
sxx
,lnln.
()
n
max min
При этом сам критерий для выборок равного объема принимает очень
простой вид [18]:
aa
В случае выборок (Н) и (С) критерий (1.31) дает
, т. е. нет оснований отвергать гипотезу о равенстве математических
=
кр
ожиданий
mН и m
.
С
12
12
. (1.40)
набл =
0,09 < 0,246 =
95
Аналогичным образом проведено сравнение других пар выборок
р
р
р
табл. 1.16. Результаты сравнения выборки (Н) с выборками Км (с. Комсомольск) и Кл (с. Коломинские Гривы) приведены в табл. 1.17.
Tаблица 1.17
Проверка гипотез о равенстве средних содержаний U
в солевых отложениях из посуды населенных пунктов юга Томской области
по критерию Родионова (сравнение mН с mС, mКл и mКм)
Н
С
a s F
набл
/ F
к
0,16 1,77
0,911 1,75 1,02 / 6.39 0,68 / 1,86 0,09 / 0,25
Т / Т
к
набл
/
к
Кл –1,91 0,87 4,12 / 6.39 2,35 / 1,86 0,36 / 0,25
Км –1,75 1,24 2,03 / 6.39 1,98 / 1,86 0,29 / 0,25
Как следует из табл. 1.17, критерий проверки гипотезы о равенстве
средних по формулам (1.26) и (1.40) приводит к выводу о значимом различии средних значений как по выборкам (Н) и (Км), так и по выборкам
(Н) и (Кл).
Рис. 1.22. Графическая иллюстрация значимости различий выборок (С), (Км)
и (Кл) по отношению к выборке (Н) в координатах (s, a) и (, a).
Критическая для (Н) область затемнена
Единообразие критерия проверки гипотезы о равенстве средних
при одинаковых объемах рассмотренных выборок позволяет использо-
96
вать формулу (1.26) в координатах (s,a) или формулу (1. 40) в координа-
тах (,a) для геометрической иллюстрации полученных результатов.
Приравнивая выражение Т-критерия по формуле (1.26) к Т
ражение -критерия по формуле (1. 40) к
, можно получить уравнения
кр
или вы-
кр
граничных линий (линии на рис. 1.22 – ветви гиперболы в координатах
(a, s) или прямые линии в координатах (a, )) критической области (за-
темненная область на рис. 1.22) в координатах (a, s) или в координатах
(a, ) по отношению к оценкам числовых характеристик выборки (Н).
Точками указаны соответствующие пары оценок числовых характеристик прочих выборок, тонкими линиями соответствующие изолинии.
Как видно из рис. 1.22, оценки числовых характеристик выборок
(Км) и (Кл) попали в критическую область по отношению к (H), а оценки (С) – нет. Причем, близость расположения точек (С), (Км) и (Кл) по
отношению к граничной линии позволяет судить о запасе прочности
значимости отличий
этих выборок по отношению к выборке (Н).
97
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данном учебном пособии рассматриваются актуальные вопросы
применения широкого круга методов математической статистики при
проведении эколого-геохимических исследований.
Здесь кратко изложены основы теории вероятностей и элементы
математической статистики, включая выборочный метод, корреляционно-регрессионный анализ, проверку статистических гипотез, методы
многомерного статистического анализа. Особое внимание уделено особенностям применения статистического анализа малых
часто приходится сталкиваться в практике экологических исследований.
Во второй части поэтапно и пошагово, с применением значительного количества иллюстраций, объясняется проведение сравнительного
статистического анализа геохимической информации с применением
программного пакета STATISTICA 6.1 и средств статистического анализа в системе электронных таблиц Exel. Демонстрируется вычисление
оценок числовых характеристик содержаний химических элементов.
При проведении оценки различия содержаний химических элементов по
двум методам сначала проверяется нормальность распределений содержаний химических элементов, а затем применяются параметрические
или непараметрическиие критерии различия (неоднородности) выборок.
Проводится оценка степени зависимости между выборками на основе
корреляционно-регрессионного анализа: вычисление корреляционной
матрицы двух выборок и оценка значимости коэффициента корреляции,
построение диаграммы
значимых корреляционных связей в ассоциациях. Проводятся оценки
степени сходства результатов, полученных разными методами, на основе кластер-анализа (метода иерархический группировки). Поэтапно
и пошагово оформлен компьютерный практикум по многомерным статистическим методам.
На конкретных выборках, для разных территорий и объектов исследований, полученных разными
ваны примеры проведения сравнительного статистического анализа
эколого-геохимической информации.
Авторы надеются, что пособие может быть полезным при усвоении
теоретического материала и овладении необходимых практических навыков статистического анализа.
рассеяния и уравнения регрессии для наиболее
методами анализа, продемонстриро-
выборок, с чем
98
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная стати-
стика: Исследование зависимостей – М.: Финансы и статистика,
1985. – 487 с.
2. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. –
М.: Изд. иностр. литер., 1963. – 500 с.
3. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ. Подход с ЭВМ. – М.:
Мир, 1982. – 488 с.
4. Большев Л.Н
стики. – М.: Наука, 1983. – 416 с.
5. Бондаренко В.Н., Верховская Л.А., Сорокина Е.П., Клюев О.С.
Применение метода главных компонент для характеристики гео-
химических аномалий // Сов. геология. – 1975. – № 8. – С. 98–106.
6. Боровиков В.П. Программа Statistica для студентов и инженеров. –
М.: КомпьютерПресс, 2001. – 301 с.
7. Боровиков
тере. – СПб.: Питер, 2003. – 688 с.
8. Вероятность и математическая статистика: энциклопедия /
гл. ред. Ю.В. Прохоров. – М.: Большая Российская энциклопедия,
1999. – 910 с.
9. Вуколов Э.А. Основы статистического анализа. Практикум по
статистическим методам и исследованию операций с использова-
нием пакетов STATISTICA и EXCEL: учебное пособие. – М
рум, 2011. – 464 с.
10. Дэвис Дж.С. Статистический анализ данных в геологии / пер.
с англ. В 2 кн. – М.: Недра, 1990. Кн. 1, 319 с., кн. 2. – 427 с.
11. Дубров А.М. и Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные стати-
стические методы: учебник. – М.: Финансы и статистика, 2003. –
352 с.
12. Дюран Б., Оделл П. Кластерный
128 с.
13. Иберла К. Факторный анализ: пер. с нем. – М.: Статистика, 1980. –
398 с.
14. Каждан А.Б., Гуськов О.И. Математические методы в геологии. –
М.: Недра, 1990. – 251 с.
15. Крамер Г. Математические методы статистики. – М.: Мир,
1975. – 648 с.
., Смирнов Н.В. Таблицы математической стати-
В.П., Statistica. Искусство анализа данных на компью-
.: Фо-
анализ. – М.: Статистика, 1977. –
99
16. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статисти-
ка: ученик для вузов. – М: ЮНИТИ-ДАНА, 2007 – 573 с.
17. Мандель И.Д. Кластерный анализ. – М.: Финансы и статистика.
1988. – 176 с.
18. Миллер Р., Кан Дж. Статистический анализ в геологических нау-
ках. – М.: Мир, 1965. – 482 с.
19. Михальчук А.А., Язиков Е.Г.,
Ершов В.В. Статистический анализ
эколого-геохимической информации: учебно-методическое посо-
бие. – Томск: Изд-во ТПУ, 2006. – 235 с.
20. Михальчук А.А., Язиков Е.Г.
Кластеризация наблюдений в фактор-
ном пространстве эколого-геохимических измерений снегового по-
крова города Томска // Современные проблемы науки и образова-
ния. –2014. – № 3
; URL: http://www.science-education.ru/117-13147.
21. Михальчук А.А., Язиков Е.Г. Методы статистической обработки
эколого-геохимических материалов в случае малых выборок // Докл.
междунар. школы «Современные методы эколого-геохимической
оценки состояний окружающей среды», 15–20 сент. 2003 г. – Ново-
российск, 2003. – С. 163–179.
22. Михальчук А.А., Язиков Е.Г. Особенности применения стати-
стического анализа при обработке материалов геоэкологических
исследований в
случае малых выборок // Материалы науч. конф.
«Проблемы геологии и географии сибири», 2–4 апреля 2003 г. –
Вестник Томского госуниверситета, № 3(V), апрель 2003. –
С. 182–184.
23. Михальчук А.А., Язиков Е.Г. Сравнительный статистический
анализ биогеохимический информации в случае малых выборок //
Материалы V межд. Биогеохимической школы, 8–11 сент., 2005 г. –
Семипалатинск, 2005. – С. 478–481.
24. Овсов М.К. Комбинированный метод кластерного
и факторного
анализов переменных в прикладной геохимии // Изв. Вузов. Геоло-
гия и разведка, 1990, № 1.
25. Поллард Дж. Справочник по вычислительным методам статисти-
ки. – М.: Финансы и статистика, 1982. – 344 с.
26. Прикладная статистика: Классификация и снижение размерно-
сти: справ, изд. / С.А. Айвазян и др.; под ред. С.А. Айвазяна. – М
.:
Финансы и статистика, 1989. – 607 с.
27. Пузаченко Ю.Г. Математические методы в экологических и гео-
графических исследованиях: учеб. пособие для студ. вузов. – М.:
Издательский центр «Академия», 2004. – 416 с.
28. Пустыльник Е.И. Статистические методы анализа и обработки
наблюдений. – М.: Наука, 1968. – 288 с.
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]