Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метрология и оценка соответствия как инструменты технического регулирования. Учебное пособие
.pdf
Теория размерностей повсеместно применяется для оперативной
проверки правильности сложных формул. Если размерности левой и правой
частей уравнения не совпадают, то в выводе формулы, к какой бы области
знаний она ни относилась, следует искать ошибку.
Документы, приведенные ниже, можно применять в качестве основных
справочных данных при решении обоих типов задач на работу с
размерностями:
ПП РФ от 31.10.2009 № 879 «Об утверждении Положения о единицах
величин, допускаемых к применению в Российской Федерации» (с
изменениями на 15 августа 2015 года);
ГОСТ 8.417-2002 «ГСИ. Единицы величин».
Следует отметить, что в настоящее время (с 2019 года в России)
используются новые определения основных величин Международной
системы SI:
Единица длины – метр – длина пути, которую проходит свет в вакууме
за 1/299792458 долю секунды – значит, нужно точно знать скорость света!
Метр и секунда были переопределены через скорость света (свет
проходит точно 299 792 458 метров за секунду) и излучение охлажденного
атома цезия (строго 9 192 631 770 периодов излучения за секунду).
Единица массы – килограмм – ранее определялась как масса, равная
массе международного прототипа килограмма.
Теперь килограмм определяют в результате деления постоянной Планка,
на 6,626070040 · 10
−34 м2·с−1
. Это означает, что можно не иметь физический
эталон килограмма, но нужно очень точно знать постоянную Планка:
h = 6,626070040 ·10
−34
Дж‧с.
Единица времени – секунда – продолжительность 9192631770 периодов
излучения, соответствующего переходу между двумя уровнями сверхтонкой
структуры основного состояния атома цезия-133 при отсутствии возмущения
со стороны внешних полей.
Единица силы электрического тока – ампер – раньше определялась
как сила не изменяющегося тока, который при прохождении по двум
параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого круглого
сечения, расположенными на расстоянии 1 м один от другого в вакууме,
создал бы между этими проводниками силу, равную 2·10-7 Н на каждый метр
длины.
Известно, что сила тока – это электрический заряд, протекающий через
поперечное сечение проводника за единицу времени
Анализ известных физических формул показывает, что ампер, кельвин и
моль привязаны к элементарному электрическому заряду, постоянной
Больцмана и постоянной Авогадро; это использовано в новых определениях.
Теперь один ампер – это электрический ток, соответствующий потоку
1/1,6021766208 × 10
−19
элементарных электрических зарядов в секунду. Для
выражения единицы требуется точное знание заряда электрона.
11
Заряд электрона q = 1,6021766208 · 10
−19
Кл (кулонов).
Единица термодинамической температуры – кельвин – много лет
определяли, как 1/273,16 часть термодинамической температуры тройной
точки воды. Согласно новому определению 1 кельвин соответствует
изменению тепловой энергии на 1,38064852 · 10
−23
джоулей.
Для выражения единицы требуется постоянная Больцмана
1,38064852979‧10
-23
Дж/К.
Единица количества вещества – моль – рассматривалась как
количество вещества системы, содержащей столько же структурных
элементов, сколько атомов содержится в нуклиде углерода-12 массой 0,012 кг.
Согласно новому определению, это количество вещества системы,
которая содержит 6,022140857‧ 10
23
специфицированных структурных единиц.
Теперь для выражения единицы требуется постоянная Авогадро (число
Авогадро) 6,02214076‧1023 моль.
Единица силы света – кандела – по-прежнему сила света в заданном
направлении от источника, испускающего монохроматическое излучение
частотой 540·1012 Гц, энергетическая сила которого в этом направлении
составляет 1/683 Вт/ср2.
Нововведения никак не повлияли на размер единиц, используемых при
проведении измерений на практике, поэтому все, что сказано выше о работе с
размерностями, сохраняет свое значение сегодня и в обозримой перспективе.
Контрольные вопросы
1) Перечислите основные единицы измерений физических величин.
2) Сформулируйте правило образования единиц измерений
производных физических величин.
3) Как анализ размерностей помогает решать научные задачи?
4) Что лежит в основе развития эталонной базы?
5) Эталоны каких физических величин были пересмотрены в 21 веке?
Задания
Вариант 1
1 Дайте классификацию и приведите примеры измерений по следующим
признакам:
а) по способу получения информации;
б) по характеру изменения измеряемой величины.
2 В результате наблюдений установлено, что при деформации пружины
потенциальная энергия EP в какой-то степени зависит от жесткости пружины
k и от смещения пружины x:
.
Каков вид этой зависимости?
12
Вариант 2
1 Дайте определение шкалы физической величины. Приведите примеры
различных видов шкал.
2 Образуйте из основных единиц производную единицу давления и
приведите примеры используемых внесистемных единиц давления, работы,
мощности, электрических напряжения, сопротивления и проводимости.
Вариант 3
1 К какой системе единиц принадлежит лошадиная сила? Запишите ее
через основные единицы системы SI.
2 Запишите значения физических величин в соответствии с
требованиями ГОСТ 8.417:
4,6∙1014 Ом; 2,56∙107 Па; 6,7∙10-2 м; 9,4∙10
-6
Ф
Вариант 4
1 Определите единицу электрического заряда в системе СГС (основные
единицы – сантиметр, грамм, секунда.
2 Запишите значения физических величин в соответствии с
использованием разрешенных множителей и приставок:
10,4∙1013 Гц; 4,67∙104 Ом; 7,65∙10-3 с; 6,5∙10
-7
м
Вариант 5
1 Проверьте, правильно ли записана формула для определения
коэффициента жесткости пружины k = F/(mg)? Как должно быть?
2 Запишите значения физических величин в соответствии с
требованиями ГОСТ 8.417:
4,0∙10-4 А; 256∙107 Па; 720,3 см/с; 64∙10
-6
В
Вариант 6
1 Запишите через основные единицы системы SI вольт и ом
2 Какие шкалы используются для прямых измерений физических
величин?
Вариант 7
1 Что можно определить по номинативной шкале?
2 Запишите паскаль и джоуль через основные единицы системы SI
Вариант 8
1 На какие группы можно условно разделить внесистемные единицы?
2 Запишите через основные единицы системы SI ватт и электрон-вольт
Вариант 9
1 В чем заключается единство измерений и для чего оно нужно?
2 Зависимость скорости v от времени t задана уравнением: v = At3 – Bt.
Определить размерность коэффициентов А и В.
13
Вариант 10
1 Назовите три вида метрологии и их функции.
2 Ниже приведены три формулы для зависимости пройденного пути x от
скорости v, ускорения а и времени t: (1) x = vt2 + 2at, (2) x = vt + (1/2)·at2,
(3) x = vt + 2at2. Какие из этих формул не противоречат теории размерностей?
Вариант 11
1 Что такое физическая величина и единица физической величины?
2 С помощью анализа размерностей найдите соотношение
между ускорением а тела, движущегося со скоростью v по окружности
радиусом R.
Вариант 12
1 Какие группы единиц физических величин составляют систему SI?
Приведите примеры единиц физических величин, входящих в эти группы.
2 С помощью анализа размерностей найдите соотношение между
кинетической энергией Е тела массой m, движущегося со скоростью v.
Вариант 13
1 В чем заключается между шкалами интервалов (разностей) и
отношений. Сравните возможности этих шкал для измерений и записи
основных физических законов.
2 Запишите единицу разности потенциалов (вольт) через основные
единицы.
Вариант 14
1 Что такое системные и внесистемные единицы измерения физических
величин? Приведите примеры.
2 Запишите единицу электрической емкости (фарад) через основные
единицы.
Вариант 15
1 В чем заключается различие между шкалой измерений и шкалой
измерительного прибора?
2 Запишите единицы работы и мощности (джоуль и ватт) через основные
единицы.
Вариант 16
1 Как в настоящее время определяется размер единицы 1 м?
2 С помощью анализа размерностей найдите соотношение
между ускорением а тела, движущегося со скоростью v по окружности
радиусом R.
14
Вариант 17
1 Как в настоящее время определяется размер единицы 1 А?
2 Проанализируйте основное уравнение измерений. От каких
характеристик зависит полученное числовое значение? Приведите примеры.
Вариант 18
1 Каким образом в настоящее время определяется единица
термодинамической температуры – кельвин?
2 Запишите значения физических величин в соответствии с
использованием разрешенных множителей и приставок: 5 ·1012 Гц; 36800 Ом;
7,65∙10-3 мс; 12·10
-7
м/
Вариант 19
1 Дайте определение физической величины, основной и производной
величины.
2 С помощью анализа размерностей найдите зависимость периода
колебаний математического маятника от его длины и ускорения свободного
падения.
Вариант 20
1 Объясните, как следует понимать выражение «узаконенные единицы
физических величин» в определении единства измерений.
2 С помощью анализа размерностей убедитесь в справедливости
следующих уравнений, где m – масса, v – скорость, g – ускорение, h – высота:
(а) mv2 = (mgh)2, (б) v = 2v1 – gt, (в) mg= v2.
Вариант 21
1 Ветер считается ураганным при скорости 29 м/с. Представьте
результат в км/ч?
2 Как запишется единица магнитной индукции тесла через основные
единицы системы SI?
Вариант 22
1 В каких областях измерений чаще используются кратные, а в каких –
дольные единицы физических величин («крупные» и «мелкие» единицы
величин)?
2 С помощью анализа размерностей убедитесь в справедливости
следующих уравнений, где x и y – проекции вектора перемещения, v –
скорость, a – ускорение: (а) v = v0 + ax, (б) y = y0 ∙cos(kx), где k = 2 м-1.
Вариант 23
1 Вопросы применения единиц измерений рассмотрены в статье 6
Закона «Об обеспечении единства измерений». В каких единицах следует
градуировать приборы, предназначенные для экспорта?
15
2 Запишите значение диэлектрической постоянной через основные
единицы системы SI.
Вариант 24
1 Дайте определение шкалы и укажите, какие шкалы чаще всего
используются при практических измерениях.
2 Определите, какой должна быть размерность гравитационной
постоянной.
Вариант 25
1 Если длина волны электромагнитного излучения в инфракрасном
диапазоне составляет 8 мкм (попадает в диапазон прозрачности атмосферы
для ИК от 7 до 14 мкм, используемый в тепловом контроле), то частота
составляет…
2 Дайте современное определение основной единицы моль.
16
Тема 1.2. Расчет абсолютной и относительной погрешностей
результатов измерений
Методические рекомендации
Занятие акцентирует внимание на получении навыков оценки
абсолютной и относительной погрешностей и представлении результата при
упрощенной обработке данных небольшой выборки. Обучающиеся
знакомятся с понятиями и способами расчета абсолютной, относительной
погрешности, среднего относительного отклонения при изучении теории и
выполнении заданий.
Рекомендуется изучить порядок обработки измерений, правила
округления результатов, приведенные примеры и ответить на контрольные
вопросы.
Теоретические сведения
Порядок упрощенной обработки небольшой выборки можно
представить следующим образом:
1. Находят среднее значение а
ср
по формуле:
ср
единиц,
где а1, а2, …, аn – измеренные значения данной величины (например,
длины, силы тока, массы), аср – среднее значение измеряемой величины, i –
номер измерения, n – число (количество повторяющихся измерений).
2. Вычисляют абсолютные погрешности отдельных измерений (в тех же
единицах) по формуле Δаi= аi -аср: Δа1 = а1 - а
ср , Δа2
= а2 - аср, …, Δаn= аn - а
ср
3. Рассчитывают среднее значение абсолютной погрешности Δа:
где
– модуль абсолютной погрешности i-ого измерения
а
единиц,
4. Определяют относительную погрешность измерения δ и округляют ее
по правилам приближенных вычислений:
а
а
ср
Если выполнено достаточно большое число измерений и предполагается,
что результаты подчиняются закону нормального распределения, то вместо
средней абсолютной погрешности определяется среднее квадратичное
отклонение – СКО - по формуле
, единиц.
Если это предусмотрено методикой обработки результатов,
используются таблицы для определений множителя t
, и для абсолютной
p,n
17
случайной погрешности с применением статистической обработки
результатов используется формула
= tp,n
S. Здесь t
– положительный
p,n
безразмерный множитель, зависящий от выбранной доверительной
вероятности, количества измерений и при n менее 20 получаемый из таблиц
Стьюдента.
При упрощенной обработке результатов иногда применяется
относительная случайная погрешность (если не требуется отдельный учет
систематической погрешности), которая определяется по формуле
ср
Относительная погрешность – безразмерная величина, показывающая,
какую долю от измеренного значения составляет абсолютная погрешность;
обычно ее выражают в процентах.
Если же необходимо учитывать, как систематическую (обычно
инструментальную, обусловленную средством измерений - СИ) погрешность
θ, так и случайный разброс значений в выборке (S), то полная абсолютная
погрешность среднего значения измеренной величины может вычисляться по
упрощенной формуле
а
ср
.
Здесь ϑ – относительная систематическая погрешность, которая
определяется как частное от деления абсолютной систематической
погрешности θ (берется из технического описания СИ или оценивается по
классу точности) на среднее значение измеренной величины:
ср
При оценочном расчете, если одна из составляющих погрешности (δ или
ϑ) меньше другой в 4 и более раз, то ее в окончательном результате можно не
учитывать.
Если определяемая величина A связана с непосредственно измеряемыми
величинами В и С выражением
А=В∙С или А=В/С,
то относительная погрешность искомой величины равна сумме
относительных погрешностей величин В и С (в долях), входящих в формулу:
АВВ СС,
а абсолютная погрешность определится, как
А .
Относительные погрешности складываются и при делении двух
измеряемых величин в расчетной формуле.
Если же определяемая величина А равна сумме или разности
измеряемых величин В и С, т.е. если
18
С,
то абсолютная ошибка А определяется как сумма абсолютных
погрешностей В и С:
С.
Относительная погрешность в данном случае
А.
В итоге записывают окончательный результат, округленный по
правилам приближенных вычислений, с указанием единиц измерения в виде:
а = (а
Δа) единиц с указанием относительной погрешности в процентах.
ср
В любом случае численные значения физических величин, полученных
при измерении, являются приближенными. При математических операциях с
приближенными числами следует знать следующие правила.
1. Значащими цифрами в числах являются все цифры от 1 до 9, а также и 0,
если слева от него стоит хотя бы одна значащая цифра. Например, в числах 203,0;
0,00470; 0,90 содержится соответственно четыре, три и две значащие цифры.
а = (а
Δа) и относительной погрешности
ср
а
.
а
ср
2. Округление выполняется только один раз при получении
окончательных результатов. Все промежуточные результаты целесообразно
проводить тем числом разрядов, которые удается получить, т.е. лучше
выполнять цепочку вычислений на калькуляторе и округлять итоговый
результат.
3. Округление начинается с округления погрешности результата
измерений.
Погрешность результата измерений (как абсолютная, так и
относительная) округляется до двух значащих цифр, если при движении слева
направо первая значащая цифра округляемой погрешности 1 или 2; до одной
значащей цифры, если 3 или больше.
4. Результат измерений округляется так, чтобы он оканчивался цифрой
того же разряда, что и значение погрешности. Если числовое значение
результата измерений представляется десятичной дробью, оканчивающейся
нулями, то нули отбрасываются только до того разряда, который
соответствует разряду числового значения погрешности.
5. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то
остающиеся цифры в числе не изменяют. Если эта цифра больше 5, то
последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу.
Например, получен результат измерения U = 25,4587 мВ при
погрешности результата ∆ = 0,02134 мВ. Округление начинается с
погрешности: ∆ =0,021 мВ. Затем округляется результат измерений: 25,459
мВ. Результат измерений записывается: U = (25,4590,021) мВ.
Если при том же результате измерений погрешность ∆ =0,625 мВ, то
после округления ∆ = 0,6 мВ, U = 25,5 мВ, и результат измерения запишется
в виде U = (25,50,6) мВ.
19
Если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр равна или
больше 5, то последняя остающаяся цифра увеличивается на единицу.
Например, число 107,5 при сохранении трех значащих цифр округляется
до 108, число 104,5 – до 105, несмотря на четность или нечетность, как было
раньше. Причиной изменения правила округления явилось широкое
распространение вычислительных машин, построенных на двоичной системе
исчисления. Применение правила округления 5 до ближайшего четного числа
требует введения одного лишнего числового разряда, что является не только
неэкономичным, но в ряде случаев и неоправданным.
Рассмотрим еще примеры представления результатов:
Пример 1. При обработке результатов измерений получено:
а
= 3784 мм3; Δа = 52 мм3; δ =
ср
100% = 1,4 %. Представьте окончательный
результат измерения.
В результате округления получаем: Δа = 5·10 мм3, аср = 378·10 мм3; ε =
1,4 %. Окончательный результат измерений: а = (378 ± 5) ·10 мм3; δ = 1,4 %.
Пример 2. При обработке результатов измерений получено:
а
= 4,271 мм; Δа = 0,162 мм; δ =
ср
100% = 3,79 %. Представьте
окончательный результат измерения.
В результате округления получаем: Δа = 0,16 мм, аср = 4,27 мм; δ = 4 %.
Окончательный результат измерений: а = (4,27 ± 0,16) мм; δ = 4 %.
Контрольные вопросы
1) Как проводят упрощенную оценку абсолютной и относительной
погрешности при прямых измерениях?
2) Как проводят упрощенную оценку абсолютной и относительной
погрешности при косвенных измерениях?
3) Укажите основные правила округления результатов измерений.
Задания
1. Измерение длины сторон детали в форме прямоугольного
параллелепипеда производилось штангенциркулем с точностью 0,1мм;
результаты измерений 12,6, 15,3 и 18,7 мм. Каков объём детали?
Окончательный результат запишите в стандартной форме с учётом
абсолютной и относительной ошибок, а также правил округления.
2. После округления получены следующие результаты измерений: А =
(12,3 ± 0,2) с; В = (21,3 ± 0,4) мм; С = (832 ± 5) г. Чему равны относительные
погрешности приведенных результатов? Какие физические величины
представляют А, В и С?
3. Масса тела составляет (64,2 ± 0,3) г, а его объем (148,2 ± 0,3) мм³.
Найти плотность вещества тела, а также оценить относительную и
абсолютную погрешности определения плотности по упрощенной методике.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]