Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимальных решений. Нелинейное программирование. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРОМЫШЛЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ДИЗАЙНА»
Е. В. Гайлит
МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ:
НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Санкт-Петербург
2020
1
УДК 519.853:517.977.5(075.8)
ББК 21.161.83:22.185.42я73
Г14
Р е ц е н з е н т ы:
кандидат экономических наук, доцент кафедры физики
Санкт-Петербургского государственного университета промышленных
технологий и дизайна
Д. К. Иванов;
кандидат технических наук, доцент кафедры «Санкт-Петербургский
филиал Российской таможенной академии им. В. Б. Бобкова»
Я. В. Павлова
Гайлит, Е. В.
Г14 Методы оптимальных решений. Нелинейное программирование
учеб. пособие / Е. В. Гайлит. – СПб.: ФГБОУВО «СПбГУПТД»,
2020. – 63 с.
ISBN 978-5-7937-1885-1
Пособие опирается на блок математических дисциплин (алгебра,
аналитическая геометрия, математический анализ), на общеэкономические и общепрофессиональные дисциплины. Предназначено студентам,
обучающимся по направлениям подготовки: 38.03.01 – «Экономика»,
38.03.02 – «Менеджмент».
УДК 519.853:517.977.5(075.8)
ББК 21.161.83:22.185.42я73
ISBN 978-5-7937-1885-1 © ФГБОУВО «СПбГУПТД», 2020
© Е. В. Гайлит, 2020
2
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................................. 4
Введение……………………………………………………………………………………..4
Сокращени и обозначения………………………………………………………………….5
1. ВВЕДЕНИЕ В ПРЕДМЕТ……………………………………………………………….9
1.1. Историческая справка ................................................................................................. 9
1.2. Анализ математической модели .............................................................................. 11
1.2.1. Этап 1: содержательное описание операции ................................................ 11
1.2.2. Этап 2: построение математической модели ................................................ 12
1.2.3. Этап 3: исследование математической модели операции ........................... 15
1.2.4. Этап 4: разработка рекомендаций ................................................................. 16
1.3. Типы ситуаций принятия решений .......................................................................... 18
1.3.1. Детерминированная ситуация ........................................................................ 18
1.3.2. Ситуация риска ................................................................................................ 18
1.3.3. Природная неопределенность ........................................................................ 19
1.3.4. Субъективная неопределенность ................................................................... 20
Контрольные вопросы и задания ........................................................................................ 20
2. ЛИНЕЙНОЕ И НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ........................................ 21
2.1. Задача нелинейного программирования ................................................................. 21
2.2. Задача линейного программирования ..................................................................... 22
2.3. Экономическая интерпретация задачи линейного программирования ............... 27
2.4. Свойства задачи линейного программирования .................................................... 29
2.4.1. Общие свойства ............................................................................................... 29
2.4.2. Свойства задачи в канонической форме ....................................................... 30
3. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ................................................................... 33
3.1. Общая задача нелинейного программирования ..................................................... 33
3.1.1. Локальные и оптимальные решения (определения) .................................... 33
3.1.2. Достаточное условие разрешимости задачи ................................................. 34
3.2. Необходимые условия первого порядка ................................................................. 35
3.3. Регулярные решения, условия Куна – Таккера ...................................................... 37
3.4. Метод множителей Лагранжа .................................................................................. 38
3.5. Классическая задача условной оптимизации.......................................................... 38
3.6. Функция Лагранжа .................................................................................................... 39
3.7. Учет прямых ограничений ........................................................................................ 40
3.8. Устойчивость локального решения ......................................................................... 42
3.8.1. Невырожденное решение (определения) ...................................................... 42
3.8.2. Теорема об устойчивости локального решения ........................................... 43
3.9. Геометрические интерпретации ............................................................................... 44
3.10. Экономические интерпретации .............................................................................. 47
3.10.1. Распределение воспроизводимого ресурса в динамике .......................... 54
3.10.2. Использование возобновляемого природного ресурса ........................... 57
Контрольные вопросы и задания ........................................................................................ 59
Комментарии......................................................................................................................... 60
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .................................................................................................................... 62
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ................................................................................. 63
3
ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемое учебное пособие содержит специальные главы курса «Ме-
тоды оптимальных решений», который читают на кафедре математики для студентов «Санкт-Петербургского государственного университета промышленных
технологий и дизайна», обучающихся по направлению «Менеджмент», (профиль: Логистика).
Пособие представляет материал той части курса, которая посвящена за-
дачам оптимального управления. Изложен основной лекционный материал.
Традиционные разделы курса соответствуют типам математических моделей
(модель управления запасами, модель замены оборудования, модель оптимального распределения ресурсов и т. д.). Подробно формулируются условия применимости каждой рассматриваемой модели. Точные формулировки необходимых математических определений и результатов сопровождаются подробными
геометрическими пояснениями и экономическими интерпретациями. На практических занятиях при анализе относительно реалистичных ситуаций обязательно мотивируется выбор модели и описываются необходимые упрощающие
предположения.
Методы оптимального управления являются непосредственной математической базой для постановки и исследования ряда практических и теоретических вопросов экономической науки. Экономические приложения теории оптимизации в литературе называются задачами рационального ведения хозяйства. Теория оптимального управления изучает методы, которые используются
для исследования динамических задач рационального ведения хозяйства. Кроме
того, необходимо заметить, что наиболее важные и интересные методы прикладной математики, полученные во второй половине ХХ в., относятся именно
к теории оптимального управления. Этими важными результатами являются
динамическое программирование и принцип максимума Л. С. Понтрягина.
Основной целью изучения дисциплины «Методы оптимальных решений»
является получение базовых знаний, необходимых для создания и исследования
динамических моделей экономики для получения оптимальных решений. Данный курс научит студентов ставить и решать соответствующие прикладные
экономические задачи. Объединяя экономическую теорию с математическим
аппаратом, он должен дать слушателям методики и инструменты для анализа
реальных ситуаций и выбора целесообразных решений.
Пособие будет полезно студентам, аспирантам и специалистам, ориентированным на деятельность в области прикладной математики и экономики.
4
СОКРАЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
Сокращения
БДР – базисное допустимое решение.
ЗЛП – задача линейного программирования.
ИСДС – процедура исключения сильно доминируемых стратегий
ЛП – линейное программирование.
ЛПР – лицо, принимающее решения.
МКП – метод критического пути.
ОПДО – область постоянства двойственных оценок.
ОПОР – область постоянства оптимального решения.
ОСОБ – область сохранения оптимального базиса.
РВ – «работы – вершины» (тип модели проекта).
РД – «работы – дуги» (тип модели проекта).
ЦФ – целевая функция.
Обозначения общие
a M – a есть элемент множества M, a принадлежит M.
{a1, …, an, …} – множество, состоящее из элементов, указанных в фигурных скобках.
{a M | P(a)} – множество всех элементов множества M, удовлетворяю-
щих условию P.
(a1, …, an) – упорядоченный набор объектов произвольной природы.
AB = {(a, b) | a A, b B} – декартово произведение множеств A и B.
S – множество возможных состояний объекта управления.
A – множество возможных состояний внешней среды.
X(a) – множество допустимых решений при состоянии a внешней среды.
(a, x) – функция реализации, указывает состояние, в которое переходит
объект, если в состоянии a внешней среды применить к нему управление x X(a).
S*(a) – множество желательных состояний объекта управления при состоянии a внешней среды.
*
X
(a) – множество целесообразных решений при состоянии a внешней
среды.
Точечно-множественное отображение f : A → B сопоставляет каждому
элементу a множества A некоторое (возможно, пустое) подмножество f(a) множества B.
R – множество всех действительных чисел.
R+ – множество всех неотрицательных действительных чисел.
mn
R
– множество всех матриц размерности mп с элементами из R.
Rn – арифметическое векторное пространство размерности n, Rn = R
n1
R1 = R.
,
max{M} – наибольшее число из множества M R.
5
f(x) → max при условии x X – запись задачи максимизации: найти хотя
nm ,
nm ,
бы один элемент x X такой, что f(x) ≥ f(x′) для всех x′ X.
Argmax{f(x) | x X} (Argmin{f(x) | x X}) – множество всех точек макси-
мума (минимума) функции f(x) на множестве X.
P(a) – задача параметрической оптимизации: F(a, x) → max при условии
x X(a), a A.
V(a) = max{F(a, x) | x X(a)} – функция максимумов, оптимальное значе-
ние целевой функции в задаче P(a).
AT – результат транспонирования матрицы A.
[A]i, [A]j – строка с номером i и столбец с номером j, соответственно,
матрицы A.
det(A) – определитель матрицы A.
rank(A) – ранг матрицы A.
0n – нуль-вектор в Rn.
ei – единичный вектор из Rn с единицей в позиции i.
Если a Rn и b Rn, то [a, b] – отрезок в Rn.
Для целых чисел m и n:
= {m, … ,n}, если m ≤ n, и
E[ξ] – математическое ожидание случайной величины ξ.
B(β) – базисная матрица для базиса β.
B–1(β) – обратная базисная матрица.
j(i, β) – номер столбца матрицы ЗЛП, который в базисе β этой матрицы
стоит на месте i.
N(β) – множество номеров столбцов, входящих в базис β, базисное мно-
жество.
xб(β) и xн(β) – базисная и небазисная части вектора x относительно базиса β.
P(β) – результат приведения задачи линейного программирования P (за-
писанной в канонической форме) к базису β.
A(β), b(β), z(β), F(β) – параметры задачи P(β).
P* – задача, двойственная к задаче линейного программирования P.
x(β) и y(β) – базисные векторы задач P и P*, порожденные базисом β.
P(A, b, c) – возмущенная ЗЛП в канонической форме.
P0 = P(A0, b0, c0) – исходная ЗЛП.
V(A, b, c) – функция максимумов возмущенной ЗЛП.
P(c) = P(A0, b0, c).
Uc(s) – множество всех значений cs, при которых оптимальный базис задачи P0 остается оптимальным в задаче P(c).
P(b) = P(A0, b, c0).
Ub(r) – множество всех значений br, при которых оптимальный базис задачи P0 остается оптимальным в задаче P(b).
rkl – норма замещения ингредиента l ингредиентом k.
dkl(α) и Dkl(α) – границы замещения ингредиента l ингредиентом k в отно-
шении 1:α, границы промежутка Ukl(α).
= , если m > n.
6
G = (V, E) – ориентированный граф (орграф), имеющий множество вер-
k
i
w
t
k
R
t
k
S
t
k
S
m ,1
шин V и множество дуг E V
〈x1, …, x
〉 – путь в графе.
n+1
2
.
A ≺ B – работа A предшествует работе B.
A ≺≺ B – работа A непосредственно предшествует работе B.
l(μ) – длительность пути μ в сетевой модели проекта.
T – директивный срок завершения проекта.
F(i) – множество всех путей в графе G, для которых вершина i является
конечной.
B(i) – множество всех путей в графе G, для которых вершина i является
начальной.
d = (ti | iV)T – вектор длительностей работ проекта, сетевой моделью которого является граф G = (V, E).
ESi – ранний срок начала работы i.
LSi – поздний срок начала работы i.
L – длительность критического пути.
Fi(x) – резерв работы i при плане x.
TFi – полный резерв работы i.
– количество ресурса k, необходимое для выполнения работы i.
Ut(x) – множество всех работ, происходящих в период [t – 1, t] при кален-
дарном плане x.
(x) – потребность в ресурсе k на отрезке [t – 1, t] при календарном
плане x.
– поставка ресурса k в промежутке [t – 1, t].
К
и Kн – множества номеров складируемых и нескладируемых ресурсов
с
соответственно.
(x) – количество ресурса k, доступное в период [t – 1, t] при календар-
ном плане x.
I – множество всех игроков.
Xi – множество всех стратегий игрока i I.
X = {(x1, …, xm) | xi Xi для всех i I} – множество исходов игры.
ui: X → R функция выигрыша игрока i.
Для любого исхода x = (x1, …, xm) X и каждого игрока i I обозначим x
набор стратегий всех игроков, кроме игрока i: x–i = (x1, …, x
i
X–i = {x–i | x X}.
Записи x = (x1, …, xm)X и x = (xi, x–i) эквивалентны.
Ri(x–i) – отображение отклика игрока i.
eik – вырожденная смешанная стратегия игрока i, соответствующая его
чистой стратегии с номером k.
i–1
, x
i+1
–
, …, xm).
S – множество стратегий ЛПР; для конечной игры S = {si | i
}.
7
A – множество сценариев (стратегий природы); для конечной игры A = {aj
n ,1
,,1 m
n ,1
,
La
S
,
Wa
S
,)λ(
Hu
S
Sa
S
Wa
M
Sa
M
| j
}.
uij – выигрыш, который даст ЛПР стратегия si S в условиях сценария
aj A.
U = (uij | i
j
) R
mn
– матрица последствий (стратегическая
матрица).
La(si), Wa(si), Hu(, si), Sa(si) – функции выбора в критериях Лапласа,
Вальда, Гурвица (с параметром ), Сэвиджа соответственно.
– множества стратегий, оптимальных по критерию
Лапласа, Вальда, Гурвица (с параметром ), Сэвиджа соответственно.
MWa(p) и MSa(p) – функции выбора в критериях Вальда и Сэвиджа для
смешанных стратегий.
и
– множества смешанных стратегий, оптимальных по критериям
Вальда и Сэвиджа.
≽ – отношение предпочтения на множестве стратегий.
si ≻ sk означает: si ≽ sk и неверно, что sk ≽ si (отношение строгого предпочтения на множестве стратегий).
si ~ sk означает: si ≽ sk и sk ≽ si (отношение эквивалентности на множестве
стратегий).
8
1. ВВЕДЕНИЕ В ПРЕДМЕТ
1
2
1.1. Историческая справка
Резкое увеличение размеров производства, разделение труда обусловило
постепенную дифференциацию управленческого труда. Появилась необходимость в планировании материальных, трудовых и денежных ресурсов, в учете и
анализе труда и выработке прогноза на будущее. В управленческом аппарате
начали выделяться следующие подразделения: отдел финансов, сбыта, бухгалтерии, планово экономический отдел и другие, принявшие на себя отдельные
управленческие функции. К этому периоду относятся первые работы по исследованию в области организации труда и управления – первые предвестники будущей науки. Как самостоятельное научное направление методы оптимальных
решений оформилось в начале 40-х годов.
Первые публикации по исследованию операций относятся к 1939–1940 гг,
в которых методы применены для решения военных задач, в частности для анализа и исследования военных операций. Отсюда и пошло название дисциплины.
Термин «исследование операций»1 впервые использовал в 1939 г. А. П. Раув, руководитель одной из научных групп ВВС Великобритании, имея в виду разработку военных операций и оценку их эффективности. В 1941 г. в английской
армии уже действовали многочисленные отделы исследования операций2.
Позднее принципы и методы исследования операций стали применяться в
сфере промышленно-финансового управления. Возникла необходимость в подготовке кадров специалистов по исследованию операций – операционистов. В
ведущих университетах США и Англии впервые было начато систематическое
преподавание курса исследование операций.
Подходы и математические модели, развитые в рамках исследования операций, оказались применимыми не только в военном деле, но и в технике, промышленности, экономике, управлении. Возникла необходимость в координации работы многотысячной армии операцонистов, в регулярном обмене теоретическими исследованиями и прикладными разработками.
С этой целью в 1957 г. была создана Международная федерация исследования операций IFORS, в состав которой входили национальные общества и
комитеты по исследованию операций многих стран.
Соответственно, термин «операция» теперь трактуют очень широко: как
любое целенаправленное действие (мероприятие, совокупность мероприятий).
Целенаправленность операции возможна, только если она управляема, т. е. ее
исход зависит от некоторых управляемых параметров. Совокупность значений
управляемых параметров – это решение, или управление.
Менеджер принимает решения (выбирает управления) и отвечает за их
последствия (результаты). Он – лицо, принимающее решения (ЛПР), или опери-
operations research (англ.).
Об истории возникновения и развития исследование операций см. [1], [2].
9
рущая сторона (термин ЛПР может относиться и к группе, например, к совету
Объект управления
Состояние внешней среды
Управляющие воздействия
Состояние объекта управления
Управляющая система
Степень достижения цели
Система управления
директоров). ЛПР является элементом управляющей системы, которая в совокупности с объектом управления образует систему управления (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Структура системы управления
В каждый момент объект управления находится в некотором состоянии.
Цель операции определяет множество желательных состояний объекта.
Предположение 1.1. Управляющая система способна идентифицировать
текущее состояние объекта, которое может изменяться под воздействием
управления.
Множество желательных состояний объекта зависит от состояния внеш-
ней среды в период выполнения операции. Будем считать, что это состояние
внешней среды описано набором неуправляемых параметров. Исход операции
(состояние объекта управления после завершения операции) зависит от состояния внешней среды в период выполнения операции и от управляющего воздействия (решения).
Если текущее состояние объекта не принадлежит множеству желательных состояний, то ЛПР стремится найти управление, переводящее объект в желательное состояние. Такое управление (решение) будем называть целесообраз-
ным. Исследование операций дает теоретическую основу и прикладные методики для разработки целесообразных решений.
Как правило, невозможно провести натурный эксперимент, чтобы выяснить реакцию объекта на предполагаемое решение, поэтому для поиска целесообразных решений операцию необходимо моделировать.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]