Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы оптимальных решений. Нелинейное программирование. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Подставим ψ1 и ψ2 в функцию Понтрягина и запишем принцип максиму-

)(1tx



)(2tx



)(1tx













],,(),0[ если ,1

),,( если ,0





 









].,( если ,

),,( если ,

),,0[ если ,

215

TtCt

tCt





 









].,( если ,2

),,( если ,

),,0[ если ,1

215

TtTt

τ1 + 1 = С5 = τ2 + 2 – T.

(3.29)

ма: для каждого t  [0, T ] значение u(t) есть точка максимума по u  [0, 1] функции

H(x(t), u(t), t, λ0, ψ(t)) = [0x2(t) + (C1 – 0t)x1(t)] + u[

+ (0 – C1)t + (C2 – C1)].

Поручая читателю разобрать вырожденный случай 0= 0, предположим, что 0= 1.

Тогда H(x(t), u(t), t, 0, ψ(t)) = [x2(t) + (C1 – t)x1(t)] + uA(t), где A(t) =

+ (1 – C1)t + (C2 – C1).

Понятно, что u(t) = 0, если A(t) < 0, и u(t) = 1, если A(t) > 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена A(t): D = (1 – C1)2 – 2(C2 – C1) = C

Случай 1: D ≤ 0. Тогда A(t) > 0, u(t) = 1,

= 1 и x1(t) = t + C3 для всех t

– 2C2 + 1.

(кроме, быть может, одной точки, если D = 0). По непрерывности x1(t) = t + C3 на [0, T ]. Из x1(0) = 1 следует C3 = 1, тогда x1(t) = t + 1, x1(T ) = T + 1 = 2, откуда

T = 1. Теперь из

= x1(t) – u(t) = t получаем x1(t) = 0.5t2 + C4. Но x1(0) = C4 = 1

и x1(t) = 0.5T 2 + 1, что невозможно при T = 1.

Случай 2: D > 0. Тогда A(t) = 0 при t  {τ1, τ2}, где τ1 = (С1 – 1) – = (С1 – 1) +

причем A(t) < 0, если t  (τ1, τ2), иначе A(t) > 0. Дальнейшее за-

< τ2 =

висит от расположения точек τ1, τ2 относительно промежутка [0, T ].

Случай 2.1: τ1 ≥ T или τ2 ≤ 0. Тогда A(t) > 0 на (0, T ). Как в случае 1, получаем x1(t) = t + C3 на (0, T ) и, по непрерывности, на [0, T ]. Это, как и в случае 1, приводит к противоречию.

Случай 2.2: 0 < τ1 < τ2 < T. Тогда A(t) < 0 при t  (τ1, τ2) и A(t) > 0 при t  [0, τ1)  (τ2, T ],

= u(t) =

x1(t) =

Из x1(0) = 1 и x1(T ) = 2 получаем C6 = 1 и C7 = 2 – T. Следовательно,

x1(t) =

Используя непрерывность x1(t) в точках τ1 и τ2, получим

Отсюда τ2 – τ1 = T – 1, а это возможно только при T > 1.

Из

= 0.5(τ2 – τ1) = 0.5(T – 1) следует, что τ1 = (C1 – 1) – 0.5(T – 1) =

= 0.5(3 – T ) – C1 и τ2 = (C1 – 1) + 0.5(T – 1) = 0.5(T + 1) – C1.

Подставим в последнее выражение для x1(t) значение С5 из (3.29):

x1(t) =





 









].,( если ,2

),,( если ,1

),,0[ если ,1

211

TtTt

(3.30)

)(2tx



)(2tx







 









],( если ,1

),,( если ,1

),,0[ если ,

211

TtTt





 









].,( если ,)1(5.0

),,( если ,)1(

),,0[ если ,5.0

210

2191

TtCtTt

tCt

x2(t) =





 









].,( если ],3)1[(5.0)5.02()1(5.0

),,( если ,)1(

),,0[ если ,15.0

222

2191

TttTTTtTt

tCt

(3.31)

5.0 

τ1 =

)1(223T

и τ2 = τ1 +T – 1 =

)1(2

562

T

(3.32)











].,(),0[ если ,1

),,( если ,0

Поскольку

= x1(t) – u(t), имеем

и x2(t) =

Из x2(0) = 1 и x2(T ) = 2 получаем C8 = 1 и C10 = 2 + 0.5T 2 – T. Следовательно,

Непрерывность x2(t) в точках τ1 и τ2 дает следующие уравнения:

+ 1 = (τ1 + 1)τ1 + C9 и (τ1 + 1)τ2 + C9 = 0.5[(T – τ2 – 1)2 + 3].

Из первого уравнения найдем C9 = подставим во второе: (τ1 + 1)τ2 + (1 –

+ 1 – (τ1 + 1)τ1 = 1 –

– τ1 и

– τ1) = 0.5[(T – τ2 – 1)2 + 3]. Учитывая

(3.29), можем слева τ2 заменить на τ1 + T – 1 и в квадратной скобке справа заме-

нить T – τ2 – 1 на –τ1.

После очевидных преобразований получим 2τ1(T – 1) = 3 – 2T, откуда

Теперь нужно проверить условия случая 2.2: τ1 > 0 и τ2 < T. Используя (32), нетрудно выяснить, что τ1 > 0 эквивалентно T  (1, 1.5) и τ2 < T эквивалентно T  [0, 1)  (1.25, +∞). Таким образом, в случае 2.2 при T  (1.25, 1.5) нашли процесс с двумя точками переключения (32), фазовой траекторией, определенной формулами (3.30), (3.31), и управлением

u(t) =

Для этого процесса нужно еще проверить условие случая 2: D > 0. Заметим, что по теореме Виетта τ1 + τ2 = 2(C1 – 1) и τ1τ2 = 2(C2 – C1). Отсюда, поскольку τ1 и τ2 известны, находим С1 = 0.5(τ1 + τ2) + 1 и C2 = 1 + 0.5(τ1τ2 + τ1 + τ2). При таких С1 и C2 имеем

D = (1 – C1)2 – 2(C2 – C1) = [–0.5(τ1 + τ2)]2 – τ1τ2 = 0.25[(τ1 + τ2)2 – 4τ1τ2] = 0.25(τ2 – τ1)2 > 0, условие случая 2 выполняется.

В построенном процессе функция x1(t) кусочно-линейная, а x2(t) линейна между точками переключения и растет по выпуклой параболе вне промежутка

(τ1, τ2).

Случай 2.3: τ1 < 0 < τ2 < T. Тогда A(t) > 0 при t  (τ2, T ] и A(t) < 0 при

)(1tx











],,( если ,1

),,0[ если ,0











].,( если ,

),,0[ если ,

212

211

TtCt











].,1[ если ,2

),1,0[ если ,1

TTtTt

)(2tx













],,1( если ,1

),1,0[ если ,1

TTtTt











].,1( если ,)1(5.0

),1,0[ если ,

TTtCtTt

TtCt











].,1( если ,25.0)1(5.0

),1,0[ если ,1

TTtTTtTt

Ttt

)(1tx











],,( если ,0

),,0[ если ,1











].,( если ,

),,0[ если ,

116

115

TtC

tCt











].,1( если ,2

],10[ если ,1

,tt

)(2tx











],,1( если ,2

),1,0[ если ,









].,1( если ,2

),1,0[ если ,5,0

TtCt

tCt











].,1( если ),1(2

),1,0[ если ,15,0

TtTt

t  [0, τ1), поэтому

= u(t) =

Из x1(0) = 1 и x1(T ) = 2 получаем C11 = 1 и C12 = 2 – T.

Из непрерывности x1(t) в точке τ2 следует 1 = C11 = τ2 + C12 = τ2 + 2 – T, от- куда τ2 = T – 1 и

x1(t) =

Тогда

= x1(t) – u(t) =

x2(t) =

Из x2(0) = 1 и x2(T ) = 2 следует C13 = 1 и 0.5T 2 + T – T 2 + C14 = 2, откуда C14 = 0.5T 2 – T + 2. Следовательно,

x2(t) =

x1(t) =

Из непрерывности x2(t) в точке T – 1 получим

T = 0.5(T – 1) 2 + (1 – T )(T – 1) + 0.5T 2 – T + 2 = 1.5.

Таким образом, случай 2.3 дает только при T = 1.5 оптимальный процесс с переключением в единственной точке T – 1.

Случай 2.4: 0 < τ1 < T < τ2. Тогда A(t) > 0 при t  [0, τ1) и A(t) < 0 при t  (τ1, T ], поэтому

= u(t) =

x1(t) =

Из x1(0) = 1 и x1(T ) = 2 получаем C15 = 1 и C16 = 2. Из непрерывности x1(t) в точке τ1 следует τ1 + 1 = 2, τ1 = 1. Следовательно,

x1(t) =

Тогда

= x1(t) – u(t) =

x2(t) =

Из x2(0) = 1 и x2(T ) = 2 следует C17 = 1 и C18 = 2(1 – T ) . Следовательно,

x2(t) =

Теперь непрерывность x2(t) в точке 1 дает 1.5 = 2(2 – T ), откуда T = 1.25.

T,1

n,1

1,1 T

htk(xtk) ≤ gtk(xtk) для всех t, k.

(3.33)

T,1

n,1

1,1 T

Итак, случай 2.4 дает только при T = 1.25 оптимальный процесс с переключением в единственной точке t = 1.

Резюмируя, заметим, что задача оптимального управления, сформулированная в задании 32.1, разрешима только при T  [1.25, 1.5], причем оптимальный процесс имеет две точки переключения для T  (1.25, 1.5) и одну – для крайних значений T.

2. Значения x1(T ) и x2(T ) произвольны.

3. x1(T ) – x2(T ) = a.

3.10.1. Распределение воспроизводимого ресурса в динамике

Распределение пополняемого инвестиционного фонда

В этом разделе будем считать, что распределяемым и воспроизводимым ресурсом являются денежные инвестиции. Предположим, что экономическая система может использовать n технологических способов (например, предприятий) в течение T периодов (лет). В начале планового периода система создает

инвестиционный фонд K0 д. е. В начале года t 

каждое предприятие k 

получает из этого фонда инвестиции в размере xtk, вследствие чего генерирует к концу года прибыль gtk(xtk). За использование инвестиций года t 

пред-

приятие k обязано в конце года внести (из прибыли) сумму htk(xtk) в инвестиционный фонд. Оставшуюся часть прибыли года t (всю прибыль при t = T ) предприятие потребляет в конце года.

Для реализуемости описанной схемы необходимо предположить, что

Нужно так распределить инвестиции каждого года, чтобы максимизировать суммарное (за плановый период) приведѐнное потребление. Это один из вариантов задачи Вентцель25.

Предположение 3.1. Весь инвестиционный фонд распределяется

Предположение 3.1 выполняется, если один из участвующих в задаче технологических способов (например, первый) «передает» средства из года t в год t + 1 c некоторой доходностью rt: gt1(xt1) = ht1(xt1) = (1 + rt)xt1. При этом предположении инвестиционный фонд года t > 1 равен сумме взносов, сделанных предприятиями (способами) в году t – 1.

Положим x = (xtk | t  ент дисконтирования, Kt для t 

См.: Вентцель Е. С. Исследование операций (М.: Сов. радио, 1972, с. 154–162); Гимади А. Х., Гле- бов Н. И. Математические модели и методы принятия решений (Новоcибирск: НГУ, 2008, разд. 1.9); Павлов В. Н. Математическая экономика (Новоcибирск: Изд-во СО РАН, 2005, с. 16).

, k 

). Пусть λ  (0, 1] – годовой коэффици-

– величина инвестиционного фонда в

конце года t (после отчислений года t, но до распределения средств на год t + 1).

.)(λ)]()([λ

1 1

 





 



TkTk

tktktktk

xgxhxg

f(x) =

 





 





TkTk

tktktktk

xgxhxg

1 1

)(λ)]()([λ

→ max при условиях



nk

= K

t – 1

для t 

T,1

, xtk ≥ 0 для всех t и k,

(3.34)

Kt =



nk

tktk

)(

для t 

.1,1 T

(3.35)

T,1

n,1

.,1 n

t 0

= 0, H

t k

= H

t,k –1

+ h tk(x

t k

) для всех k и t 

,1,1 T

T,k

= 0 для всех k.

(3.36)

1,0

= K0, K

t 0

= H

t –1,n

для t 

,,2 T

Ktk = K

t,k –1

– xtk для всех t и k.

(3.37)

)0,(

1,*nTTn

)0,(

, nTnT

1,1 n

)0,(

1,*kTTk

)0,(

1, TkkTkT

xKZ 



1,1 T

Сумма, потребляемая в конце года t, дисконтируется с коэффициентом λt. Поэтому суммарное приведѐнное потребление описывается следующим образом:

С(x) =

Исключив из С(x) множитель , запишем математическую модель задачи:

Чтобы перейти к методу ДП, условимся, что на этапе t 

распределение инвестиционного фонда в году t, т. е. вектор x(t) = (xtk | k 

выбирается

В отличие от ранее рассмотренных задач, здесь управление каждого этапа является вектором, поэтому этап t разобьем на шаги (t, k), k 

На шаге (t, k)

определяется значение xtk. Состояние системы в начале шага (t, k) опишем двумя параметрами: величиной K фонда в начале этапа t) и суммой H

нераспределенных инвестиций (Kt0 – размер

t,k –1

вкладов в инвестиционный фонд года

t,k –1

t + 1, обеспеченных выделением средств на шагах (t, 1), … (t, k – 1). Понятно,

что

Формулы (3.36) и (3.37) указывают начальное состояние (K

1,0

, H

1, 0

) = (K0, 0)

и уравнения перехода. Множество допустимых управлений шага (t, k) имеет вид

Xtk = [0, K

t,k –1

Уравнение Беллмана для шага (T, n) (последний шаг процесса)

= max{g

T,n(xT, n

) | x

T,n

 X

T,n

При естественном предположении, что gTn – неубывающая функция, имеем

= g

T,n(KT,n –1

Уравнение Беллмана для шага (T, k), k 

(не последний шаг послед-

него этапа):

= max{g

T,k(xT,k

Уравнение Беллмана для шага (t, n), t 

) +

| x

T,k

 X

T,k

(последний шаг не послед-

него этапа)

),(

1,1,

 ntnttn

HKZ

= max{g

)0),((

1,1 tntnntt

xhHZ 



,1,1 T

1,1 n

),(

1,1,

 ktkttk

HKZ

))(,(

1,1,

1, tktkkttkktkt

xhHxKZ 





ki

titi

)(



ki

titi

)(

1*tt

)(

1 *TT

1,1 T

)(

1 *tt

))()(( λ

112 11 *1 tttttt

xKhxhZ 



n,1

Kt =



nk

tktk

)(



nk

tktk

для t 

1,1 T

(3.38)

t n(xt n

) – h tn(x

) + λ

t n

| xtn  X

t n

Уравнение Беллмана для шага (t, k), t 

k 

(не последний

шаг не последнего этапа)

= max{g

t k(xt k

) – h tk(x

t k

) +

| xtk  Xtk}.

Таким образом, мы получили задачу двухпараметрического динамического программирования. Чтобы решать ее перебором (считая, что инвестиции распределяются неделимыми порциями), нужно ограничить множества возможных значений параметров Ktk и Htk. Например, если gtk(xtk) ≤ αxtk для всех t, k (т. е. α – максимальная прибыльность инвестиций), то из (3.33), (3.36) и (3.37) следует, что

Htk =

Отсюда Htk ≤ αtK0 и Ktk ≤ K

≤

≤ αK

для всех t, Htk ≤ αH

t ,0

= H

t 0

t –1,n

≤ α

t –1

K0 для всех t, k.

для t > 1 и H1k ≤ αK0.

t –1,n

Частный случай 1: модель с двумя технологическими способами

Если выполняется предположение 3.1 и n = 2, то разбиение этапов на шаги оказывается излишним. Будем считать, что состояние в начале этапа t описано параметром K – это вектор x(t) = (xt1, xt2). Но x

(величина инвестиционного фонда), а управление на этапе t

t – 1

t 2

= K

t – 1

– x

по (3.33), поэтому управление этапа

t 1

t можно описать одной переменной xt1 и параметрическая оптимизация при вы-

числении функций Беллмана

становится одномерной. Фазовое уравне-

ние принимает вид Kt = h

Из x

≥ 0 следует, что x

t 2

= max{g

Уравнение Беллмана для этапа t 

= max{[g

) + h

t 1(xt 1

 [0, K

t 1

T 1(xT 1

) – h

t 1(xt 1

| 0 ≤ xt1 ≤ K

t 2(Kt – 1

t – 1

) + g

t 1(xt 1

t–1

– x

t 1

]. Уравнение Беллмана для этапа T

– x

T 2(KT – 1

) | 0 ≤ x

T 1

)]+ [g

t 2(Kt – 1

Частный случай 2: линейная модель

В рамках предположения 3.1 допустим, что все функции gtk и htk линейны:

gtk(xtk) = atk  xtk, htk(xtk) = btk  xtk.

Из (3.33) следует, что atk ≤ btk для всех t, k.

Откажемся от разбиения этапов на шаги и будем считать, что состояние в начале этапа t описано параметром K

(величина инвестиционного фонда), а

t – 1

управление на этапе t – это вектор x(t) = (xtk | k  принимает вид

– x

≤ K

T 1

) – h

t 1

T – 1

t 2(Kt – 1

– x

)T. Тогда условие (3.35)

)] +

t 1

и является фазовым уравнением.

1,1 T



nk

)(

1 *TT



nk

kTkT

)(



nk

TkTk

),1 n

n,1

)(

1 *TT

n,1

1,1 T

)(

1 ttKZ

)(

1 *tt







tktktktk

xhxg

)]()([{

)(λ







tktkt

xbZ











tktkt

tktktk

xbxba

λγ)({









tktkttk

xba

])1λγ([{

n,1

)(

1 *tt

n,1

1,1 T

n,1

T,1

Обозначение. Для t 

Mt = {x(t) ≥ 0n |

определим многогранники

= K

t – 1

Уравнение Беллмана для этапа T

= max{

| x(T )  MT} = max{

| x(T )  MT}.

Максимум линейной функции на многограннике достигается в его вершине, а вершинами многогранника Mt являются векторы y(t, k) = ( yj(t, k) | j 

k 

yk(t, k) = K

Положим T = max{aTk | k 

} = T K

T – 1

Допустим, что t 

и yj(t, k) = 0 для j  k.

t –1

}. Понятно, что

, значение 

определено и

t +1

Уравнение Беллмана для этапа t

= max

| x(t)  Mt} =

такие, что

= max{aTk K

= 

T – 1

t +1 Kt

= max

Положим t = max{atk + (λ

| x(t)  Mt} = max

– 1)btk | k 

t + 1

| x(t)  Mt}.

}. Рассуждая, как при t = T,

получим

= t K

t – 1

Заметим, что для рекуррентного вычисления значений t (начиная с t = T) ис- пользуются только параметры задачи (atk и btk).

t 

Пусть UT = {k 

. Теперь можем сформулировать результаты параметрической оптими-

| aTk = T)}, Ut = {k 

| atk + (λ

– 1)btk = t} для

t + 1

зации: на этапе t весь инвестиционный фонд следует произвольным образом распределить между технологическими способами с номерами из множества Ut.

Применив это правило на этапе 1, найдем оптимальное распределение исходного фонда K0. Затем по формуле (3.38) вычислим К1 и распределим его по тому же правилу. Продолжая процедуру, найдем оптимальное решение.

3.10.2. Использование возобновляемого природного ресурса

Предположим, что n фирм намерены использовать природный ресурс в течение T лет. Исходный запас ресурса равен R0 (соответствующих единиц).

Если фирма k 

в течение года t 

использует xtk единиц ресурса, то по-

лучает условно чистый годовой доход gtk(xtk) д. е. и должна заплатить htk(xtk) д. е. за использование ресурса, htk(xtk) < gtk(xtk); прибыль фирмы, следовательно,

равна gtk(xtk) – htk(xtk). Указанные платежи фирм поступают равномерно в тече-

T,1

n,1

T,1

.)]()([λ

1 1

 

 



tktktktk

xhxg

 

 



1 1

)]()([λ

tktktktk

xhxg



nk

,,1 T



nk

tktk

)(

1,1 T

T,1

n,1

.,1 n

,,2 T

,1,1 n

)0,(

1,*nTTn

ние года и направляются на восстановление запаса ресурса. Сумма Kt, вложенная в возобновление ресурса в течение года t, обеспечивает к началу года t прирост запаса rt(Kt). Нужно определить объемы использования ресурса фирмами

(xtk) так, чтобы максимизировать их суммарную приведѐнную прибыль.

Положим x = (xtk | t  ент дисконтирования, Kt для t 

запаса ресурса в течение года t, R

, k 

). Пусть λ  (0, 1] – годовой коэффици-

– средства, вложенные в восстановление

– запас ресурса в начале года t. Мы предпо-

t–1

лагаем, что в последнем году планового периода затраты на возобновление ресурса осуществляются для обеспечения работы в послеплановом периоде. Прибыль года t дисконтируется с коэффициентом λt. Поэтому суммарная приведѐнная прибыль описывается следующим образом:

F(x) =

Исключив из F(x) множитель , запишем математическую модель задачи:

≤ R

f (x) =

для t 

t – 1

Kt =

→ max при условиях

для t 

, Rt = R

+ rt(Kt),

t – 1

xtk ≥ 0 для всех t и k.

Чтобы перейти к методу ДП, условимся, что на этапе t 

определяется

потребление ресурса в году t, т. е. вектор x(t) = (xtk | k  шаги (t, k), k 

На шаге (t, k) определяется значение xtk. Состояние системы

в начале шага (t, k) опишем двумя параметрами: величиной R ванного ресурса (Rt0 – запас ресурса в начале года t) и суммой K

). Этап t разобьем на

неиспользо-

t,k –1

отчислений

t,k –1

на возобновление ресурса в году t, обеспеченных использованием ресурса в этом году фирмами 1, …, k – 1. Тогда

= R0, R

1,0

Эти формулы указывают начальное состояние (R

= R

t 0

t –1,n–1

Rtk = R

= 0, K

– x

t,k –1

t k

+ r

t–1,n

t–1(Kt–1,n–1

– xtk для всех t и k 

= K

t,k –1

+ h tk(x

t k

+ h

t–1,n(xt–1, n

)) для t 

) для всех k и t.

, K

1,0

) = (R0, 0) и урав-

1, 0

нения перехода. Множество допустимых управлений шага (t, k) имеет вид

Xtk = [0, R

t,k –1

Уравнение Беллмана для шага (T, n) (последний шаг процесса):

= max{g

T,n(xT, n

) – h

T,n(xT,n

) | x

T,n

 X

T,n

Уравнение Беллмана для шага (t, n), t 

1,1 T

),(

1,1,

 ntnttn

KRZ

)0)),(((

`1,1,

1,1 tntnntttnntt

xhKrxRZ 



,,1 T

1,1 n

),(

1,1,

 ktkttk

KRZ

))(,(

1,1,

1, tktkkttkktkt

xhKxRZ 





уyx

него этапа)

(последний шаг не послед-

= max{[g

Уравнение Беллмана для шага (t, k), t 

t n(xt n

) – h tn(x

)] + λ

t n

k 

| xtn  X

t n

(не последний шаг

этапа)

= max{[g

t k(xt k

) – h tk(x

)] +

t k

| xtk  Xtk}.

Таким образом, мы получили задачу двухпараметрического динамического программирования. Чтобы решать ее перебором (считая, что ресурс потребляется неделимыми порциями), нужно ограничить множества возможных значений параметров Rtk и Ktk, например, так, как это сделано в разд. 4.6.1.

Контрольные вопросы и задания

1. Запишите общую задачу нелинейного программирования. При каком

условии она является классической задачей условной оптимизации?

2. Приведите пример экономической задачи, формализуемой в виде зада-

чи нелинейного программирования.

3. Приведите определение локального максимума функции. Чем оно от-

личается от определения глобального максимума функции?

4. Может ли целевая функция принимать разные значения в двух локаль-

ных решениях задачи? В двух оптимальных решениях?

5. Дайте определение стационарной точки функции. Верно ли, что в каж-

дой стационарной точке функция имеет безусловный локальный экстремум?

6. Рассчитайте градиент функции

f(x, y) =

в точке (1,1). Найдите стационарные точки этой функции.

7. Докажите свойства множества I(x), сформулированные в разд. 3.2.

8. В каких точках не выполнены условия гладкости теоремы Каруша –

Джона для функции F(x1, x2) = x

, если 0  a  1, 0  b  1?

не активно в ее локальном решении, может ли соответствующий множитель Лагранжа быть положительным?

10. Может ли быть отрицательным множитель Лагранжа для ограниче-

ния-неравенства? Для ограничения-равенства?

11. Чем отличаются условия Куна – Таккера от условий Каруша – Джона?

12. Сформулируйте определение регулярной точки задачи нелинейного

программирования.

13. Докажите регулярность задачи максимизации непрерывно дифферен-

цируемой функции одной переменной на отрезке.

14. Верно ли, что всякое невырожденное локальное решение задачи нели-

нейного программирования является регулярным?

15. Сформулируйте условие строгой дополняющей нежесткости.

16. Какие условия накладывает на локальное решение теорема об устой-

чивости?

17. Предположим, что оптимальное решение задачи нелинейного програм-

мирования удовлетворяет условиям теоремы об устойчивости и (1,y1,…,ym) – соответствующий ему вектор множителей Лагранжа. С какой скоростью изменяется оптимальное значение целевой функции при изменении правой части ограничения i? Запишите приближенное выражение прироста оптимального значения целевой функции через приросты правых частей ограничений.

18. Найдите нормаль к гиперплоскости 2x1 + 5x2 + 3x3 − x4 = 12.

19. Является ли вектор (7,2) конической линейной комбинацией векторов

(8,1) и (0,6)?

20. Что означает переменная xj в задаче планирования производства?

21. Разъясните смысл термина „ингредиент” в задаче планирования про-

изводства. Как интерпретируются в этой задаче левая и правая части ограничения с номером i?

22. Сформулируйте экономический смысл множителя Лагранжа для ре-

сурсного ограничения в задаче планирования производства, если целевая функция выражает прибыль.

23. Из x единиц продукта A и y единиц продукта B предприятие произво-

дит 5x

0,2y0,6

единиц продукта C. Предприятие платит 5 денежных единиц (д. е.)

за единицу продукта A и 2 д. е. за единицу продукта B. На закупку продуктов A и B выделено 20 д. е. Найдите максимальный возможный объем производства. Проинтерпретируйте множитель Лагранжа для бюджетного ограничения.

24. Что такое „оценка технологического способа”?

Комментарии

Теорема 2.2 (Вейерштрасса) является частным случаем теоремы 4 из работы [3, с. 183]. Теорема 2.3 (Каруша – Джона) доказана в работе [2, с. 154].

Пример задачи нелинейного программирования, имеющей единственное, но не регулярное решение см. в работе [6, с. 132–133]. Доказательство теоремы

2.4 и обзор других признаков регулярности локального решения см. в пособии [2, разд. 5.2]. См. также достаточное условие регулярности в работе [3, с. 242].

Теорема 2.5 доказана в [1, с. 103–104]. В связи с этой теоремой заметим следующее. Решение классической задачи условной оптимизации в совокупности с соответствующими множителями Лагранжа образует седловую точку функции Лагранжа. Но эта точка не является точкой экстремума функции. Поэтому нельзя утверждать, как это сделано в некоторых учебниках, что классическая задача условной оптимизации сводится к безусловной оптимизации функции Лагранжа.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]