Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимальных решений. Нелинейное программирование. Учебное пособие
.pdf
Моделирование – это исследование объекта посредством изучения его
3
ОПЕРАЦИЯ
Управляемые
параметры
Неуправляемые
параметры
ЦЕЛЬ ОПЕРАЦИИ
Исход
операции
модели. Модель объекта – искусственная или естественная система, которая
находится в объективном соответствии с исследуемым объектом, способна замещать его в интересующих исследователя отношениях и в результате исследования дает информацию о моделируемом объекте3.
Математическая модель операции – это такая модель, которая описана
на языке математики и может быть исследована средствами математики.
Метод – построение и анализ математической модели операции.
1.2. Анализ математической модели
Построение и анализ математической модели операции осуществляется в
ходе операционного исследования. Этим занимаются, как правило, специалисты
по исследованию операций (операционисты) по заказу ЛПР и с участием представителей заказчика. Операционное исследование – творческий процесс, который трудно и, вероятно, не следует унифицировать. Однако структуризация
этого процесса возможна и полезна. Перечислим основные этапы операционного исследования.
1.2.1. Этап 1: содержательное описание операции
Схема содержательного описания операции представлена на рис. 1.2.
Рис. 1.2. Схема содержательного описания операции
На этом этапе участники операционного исследования изучают систему, в
рамках которой выполняется операция, выявляют факторы, определяющие
состояния объекта и внешней среды, формулируют цель операции. Описание
операции должно дать ответ на следующие основные вопросы:
– какие неуправляемые параметры (внешние воздействия) влияют на операцию и какие значения они могут принимать?
– какие управляемые параметры можно использовать для воздействия на
объект управления?
– какие параметры описывают состояние объекта до операции и после ее
завершения?
– как связаны между собой управляемые, неуправляемые и результирующие параметры?
Формулировка А. А. Ляпунова, приведена в работе [3].
11
– как оценить степень достижения цели операции при фиксированных
РЕЗУЛЬТАТ
ОПЕРАЦИИ
ОГРАНИЧЕНИЯ
Переменные
Параметры
модели
Результирующие
показатели
значениях результирующих параметров?
1.2.2. Этап 2: построение математической модели
На этом этапе операционист строит математическую модель, которая
формализует полученное на предыдущем этапе содержательное описание операции. В математической модели операции управляемым параметрам
соответствуют переменные, значения которых должны быть определены в результате анализа модели. Неуправляемым параметрам соответствуют парамет-
ры модели. Совокупность значений параметров модели описывает состояние
внешней для объекта управления среды. Состояние объекта после выполнения
операции (исход операции) модель описывает набором значений результирую-
щих показателей.
Как правило, математическая модель операции включает ограничения, которые указывают множества возможных значений параметров модели, переменных и результирующих показателей, а также соотношения между этими значениями. Для описания множества желательных состояний нужен способ оценки
исхода операции, позволяющий выяснить, в какой степени достигается цель операции. Оценку исхода операции будем называть результатом операции.
Из сказанного следует, что математическая модель операции обычно
имеет структуру, представленную на рис. 1.3.
Рис. 1.3. Структура математической модели операции
Учитывая предположение 1.1, будем считать, что исходное состояние
объекта управления определено и известно ЛПР. Исходное состояние объекта и
состояние внешней для него среды определяют возможности управления объектом, в первую очередь – множество решений, обеспечивающих выполнение
операции.
Определения и обозначения
A – множество всех возможных состояний внешней (для объекта управления) среды.
Множество допустимых решений X(a), где a A, – это множество всех
наборов значений переменных, которые обеспечивают выполнение операции в
состоянии a внешней среды (при фиксированном исходном состоянии объекта
управления).
12
При данном исходном состоянии объекта управления и известном состо-
4
янии внешней среды допустимое решение определяет состояние объекта
управления после выполнения операции (т. е. исход операции).
S – множество всех возможных состояний объекта управления.
Функция реализации s = (a, x) для любой пары (a, x), где a A и x
X(a), указывает состояние s S, в которое переходит объект управления (из ис-
ходного состояния), если в состоянии a внешней среды применить к нему
управление x.
Правильно построенная модель должна описывать: множества A и S;
множества X(a) для всех a A; функцию реализации s = (a, x), определенную
для всех a A и x X(a). Далее мы будем рассматривать только такие модели.
Из целенаправленности операции (см. разд. 1.1) следует, что ЛПР имеет
цель. В соответствии с этой целью модель должна описывать множество желательных состояний объекта управления при каждом возможном состоянии
внешней среды (и фиксированном исходном состоянии объекта).
Обозначения. При фиксированном состоянии a внешней среды
S *(a) для a A – множество желательных состояний объекта управления,
X *(a) = {x X(a) | (a, x) S *(a)} – множество целесообразных реше-
ний.
Поскольку ЛПР стремится выбрать целесообразное решение (см. разд.
1.1), общая модель операции – это задача выбора решения, определенная ниже.
Определение. Задача выбора решения имеет вид: для данного a A
найти x X *(a).
Для описания множества желательных состояний в задаче выбора решения обычно используют оценочную функцию.
Определение. Функция h(a, s) является оценочной для рассматриваемой
операции, если выполнены следующие условия:
а) функция определена для всех a A и s S;
б) если s S и s′ S, то h(a, s) ≥ h(a′, s′) тогда и только тогда, когда при
состоянии a внешней среды и состоянии s объекта управления цель операции
достигается не хуже, чем при состоянии a′ внешней среды и состоянии s′ объекта управления.
Предположение 1.2. Оценочная функция h(a, s) определена.
Следствие 1.14. При каждом состоянии a внешней среды желательными
состояниями объекта управления являются те, в которых функция h(a, s) достигает максимума по s на множестве S,
Доказательство очевидно (использует определения и предположение 1.2).
13
*
f(x) → max при условии x X.
(1.1)
F(a, x) → max при условии x X(a).
(1.2)
5
S
(a) = {s S | h(a, s) ≥ h(a, s′) для всех s′ S}.
От оценки состояний объекта управления легко перейти к оценке решений.
Определение. Подставив функцию реализации вместо второго аргумента
оценочной функции, получим целевую функцию (ЦФ) F(a, x) = h(a, (a, x)).
Из определений следует, что чем лучше достигается цель, тем больше
значение ЦФ. Другими словами, значение целевой функции F(a, x) является по-
казателем эффективности (качества) решения x при состоянии a внешней
среды.
Следствие 1.25. Множество решений, целесообразных при состоянии a
внешней среды, состоит из точек максимума функции F(a, x) по x на множестве
X(a):
*
X
(a) = {x X(a) | F(a, x) ≥ F(a, x′) для всех x′ X(a)}.
Заметим, что функция реализации, оценочная функция и целевая функция
обычно описываются формулами, но могут быть заданы и другими способами
(таблично или алгоритмически).
Определения
Если множество X
*
(a) описано в соответствии со следствием 1.2, его эле-
менты (целесообразные решения) называют оптимальными решениями в со-
стоянии a внешней среды.
Задача максимизации функции f(x) на множестве X записывается следу-
ющим образом:
Решением задачи (1.1) является любой элемент x* X такой, что f(x*) ≥
f(x) для всех x X.
Если x* – решение задачи (1.1), то f(x*) – оптимальное значение целевой
функции.
При сделанных предположениях для любого a A задача выбора решения, она же модель операции, является задачей максимизации:
Определение. Задача (1.2) – это задача параметрической оптимизации
(параметром является состояние внешней среды a A).
Мы обсудили моделирование операции, которая имеет единственную
цель. Однако реальные операции часто являются многоцелевыми. Такие опера-
Легко выводится из следствия 1.1.
14
ции можно моделировать задачами многокритериальной оптимизации6. Чтобы
6
упростить модель и сделать ее однокритериальной, часто моделируют выбор
решения, целесообразного в отношении одной из целей, которую считают основной, при ограничениях, обеспечивающих приемлемые уровни достижения
других целей.
1.2.3. Этап 3: исследование математической модели операции
В соответствии с разд. 1.2.2 математической моделью операции является
задача параметрической оптимизации (1.2), в которой значения неуправляемых
параметров ограничены условием a A. На этапе 3 операционист анализирует
эту задачу. Основное содержание анализа – выбор (или разработка) методов
решения прямой и обратной задач исследования операций.
Прямая задача исследования операций отвечает на вопрос «что будет, если в состоянии a внешней среды реализовать решение x?». Понятно, что если
x X(a), то операция невыполнима, если же x X(a), то объект перейдет в со-
стояние s = (a, x). Следовательно, чтобы решить прямую задачу, нужны алгоритмы, позволяющие для выбранной модели проверять допустимость решения
и вычислять функцию реализации.
Обратная задача исследования операций отвечает на вопрос «как при состоянии a внешней среды перевести объект управления в одно из желательных
состояний?». Решением обратной задачи является любое целесообразное
управление. Следовательно, обратная задача исследования операций совпадает
с задачей выбора решения.
Конечно, нет единого метода решения задачи в столь общей постановке.
Мы будем изучать модели, для которых обратная задача исследования операций решается известными методами, что позволяет находить целесообразные
решения во многих ситуациях.
Математическая модель операции является, в сущности, гипотезой о
свойствах системы управления, объекта управления и операции, поэтому параллельно с анализом происходит проверка адекватности (верификация) модели для устранения возможных противоречий с теоретическими представлениям
и эмпирическими данными.
Невозможно дать «рецепт» теоретической проверки модели. Исследователь должен выводить из модели следствия и сопоставлять их с теоретическими
представлениями о моделируемом объекте. Такими следствиями являются, в
частности, свойства модели, выявляемые при анализе модели. Часто теория
способна указать целесообразное решение при некоторых (например, очень
больших или очень малых) значениях неуправляемых параметров. Полезно
проверить, согласуются ли с этими теоретическими выводами решения, полученные с помощью модели.
О многокритериальной оптимизации и ее приложениях в экономике см. [4].
15
Укажем некоторые возможности проверки модели в случае, когда она записана в виде задачи параметрической оптимизации (1.2).
Определения и обозначения
A0 – множество всех a A, при которых задача (1.2) имеет решение.
Если a A0 и x X
*
(a), то положим V(a) = F(a, x) (функция максимумов,
оптимальное значение целевой функции при состоянии a внешней среды).
В некоторых случаях удается проверить, подтверждает ли теория, что при
a A0 оптимальное решение отсутствует. Проверка облегчается тем, что только
следующие три причины могут вызвать неразрешимость задачи.
1. X(a) = , нет допустимых решений, задача несовместна.
2. X(a) и целевая функция на множестве X(a) принимает сколь угодно
большие значения, задача неограниченна.
3. X(a) , множество значений целевой функции {F(a, x) | x X(a)}
имеет точную верхнюю границу, которая не принадлежит этому множеству, не
достигается ни при каком допустимом решении, задача незамкнута.
Множество допустимых решений X(a) для каждого a и функция реализации (a, x) являются элементами модели (см. разд. 1.2.2). Во многих случаях
модель позволяет найти множество A0 состояний внешней среды, при которых
оптимальное решение существует, и функцию максимумов V(a). Это позволяет
использовать для верификации модели заслуживающий доверия сценарий или
прогноз, утверждающий, что при состоянии a0 внешней среды может быть достигнуто состояние s объекта. Если a0 A0, то можно предположить, что мо-
дель недостаточно согласована со сценарием. Если же a0 A0, уравнение
(a0, x) = s имеет решение x0 и V(a0) F(a0, x0), то можно считать, что модель не
противоречит сценарию.
Для эмпирической проверки модели можно использовать ретроспективную информацию. Если когда-то, при состоянии a0 внешней среды, было реализовано решение x0, то при a0 A0 должны выполняться соотношения
x0 X(a0) и V(a0) F(a0, x0); если же решение x0 при состоянии a0 внешней среды не удалось осуществить, то x0 X(a0).
Проверка модели может выявить ее несоответствие тем представлениям
об операции, которые были сформированы на этапе 1. В таком случае придется
вернуться к этапам 1 и 2, чтобы уточнить описание операции и/или модифицировать модель.
1.2.4. Этап 4: разработка рекомендаций
На этапе 3 операционист исследует задачу параметрической оптимизации
(1.2), которая является моделью операции. На этапе 4 в модель подставляют
значения неуправляемых параметров, соответствующие состоянию a0 внешней
среды в период выполнения операции (см. разд. 1.3). Операционист решает
полученную задачу максимизации P(a0), интерпретирует результаты, разраба-
16
тывает рекомендации для принятия решений и составляет отчет об операционном исследовании.
Важная часть этапа 4 – послеоптимизационный анализ, содержание которого зависит от того, разрешима ли задача (1.2) при a = a0.
Если задача P(a0) неразрешима, a0 A0, то в ходе послеоптимизационного
анализа следует выявить причину неразрешимости (используя результаты этапа
3) и, по возможности, указать пути ее устранения.
Если задача P(a0) разрешима, то послеоптимизационный анализ заключается в проверке единственности решения и анализе его устойчивости. Следует
выяснить, существуют ли оптимальные решения, отличные от найденного, и,
если существуют, описать их как можно полнее. Это важно, так как исход операции, как правило, можно оценивать по разным критериям и целевая функция
задачи P(a0) выражает лишь один из них. Множественность оптимальных по
этому критерию решений позволяет провести дополнительную оптимизацию по
критериям, которые отражены только в ограничениях модели или совсем в ней
не учтены. Операционист может предъявить ЛПР все найденные оптимальные
решения с указанием их сравнительных достоинств и рекомендовать предпочтительное решение; окончательный выбор остается, конечно, за ЛПР.
Анализ устойчивости (эквивалентный термин – анализ чувствительно-
сти) решения – это исследование зависимости множества оптимальных реше-
ний и оптимального значения целевой функции от неуправляемых параметров.
Такое исследование полезно по следующим причинам.
1. Значения параметров модели часто являются средними величинами
(как, например, цена товара или удельная трудоемкость продукции); фактическое значение такого параметра может немного отличаться от значения, использованного в модели. Кроме того, возможны непредвиденные изменения
характеристик внешней среды. Анализ устойчивости позволяет выяснить,
насколько сильно влияют изменения параметров модели на оптимальное решение и оптимальное значение целевой функции. Чем сильнее это влияние, тем
точнее следует определять значение параметра. Если в математической модели
есть малозначимый параметр, то следует рассмотреть возможность упрощения
модели посредством его исключения.
2. Во многих случаях параметр, неуправляемый для рассматриваемой
операции, является управляемым в другой, предшествующей операции. Например, показатели, определяемые на этапе перспективного планирования, неуправляемы в задаче текущего планирования. Операционист может рекомендовать ЛПР пересмотреть ранее принятое решение, чтобы улучшить результат
анализируемой операции.
Оптимальное решение и результаты послеоптимизационного анализа используются при разработке рекомендаций.
Заключительная стадия этапа 4 – представление результатов исследования для заказчика и подготовка отчета. Отчет должен убедить ЛПР в том, что
результаты исследования хорошо обоснованы и рекомендации заслуживают
17
доверия. Для этого в отчете следует (без излишних технических и математических подробностей) описать все этапы операционного исследования: гипотезы,
положенные в основу модели, и их обоснования; математическую модель операции и основные свойства модели; способы и результаты проверки адекватности модели; наконец, собственно рекомендации с указанием того, каким образом они выведены из модели. Часто отчет содержит еще и план организационных мероприятий, обеспечивающих реализацию рекомендуемого решения.
1.3. Типы ситуаций принятия решений
Специфика ситуации, в которой ЛПР принимает решение, существенно
влияет на способ описания и структуру модели операции. Важнейшая характеристика ситуации – степень информированности ЛПР к моменту принятия решения о состоянии внешней среды (значениях неуправляемых параметров) в
период выполнения операции (реализации решения). Как правило, принятие и
реализация решения разнесены во времени, и нет оснований предполагать, что
ЛПР точно знает, в каких условиях будет выполняться принятое им решение. В
любой ситуации параметры, описывающие состояния внешней среды и объекта
управления, следует выбирать так, чтобы состояние внешней среды и управление однозначно определяли результат операции (см. разд. 1.2.2).
1.3.1. Детерминированная ситуация
Если значения неуправляемых параметров можно считать известными, то
ситуацию принятия решения называют детерминированной (определенной). В
этом случае ЛПР знает (прогнозирует) состояние a0 вешней среды в период реализации операции. Тогда, как показано в разд. 1.2.2, предположение 1.2 позволяет свести задачу поиска целесообразного решения к задаче максимизации
(1.2) при фиксированном а = a0. Для решения задачи используют подходящие
разделы математического программирования.
Прочие ситуации выбора различаются «степенью неопределенности»
внешних параметров. В любом случае формулировка модели может использовать только ту информацию о состояниях внешней среды, которая доступна
ЛПР в момент принятия решения.
1.3.2. Ситуация риска
Выбор в условиях риска (при стохастической, или вероятностной не-
определенности) возникает, если некоторые характеристики внешней среды
описаны как случайные величины с известными или допускающими статистическую оценку распределениями. В этом случае самый употребительный подход состоит в следующем.
Пусть состояние внешней среды описано случайной величиной ξ (вообще
говоря, векторной), принимающей значения из множества A и имеющей функцию распределения Dξ. Будем считать Dξ параметром модели. Для простоты
18
предположим, что множество допустимых решений X не зависит от состояния
9
7
8
9
внешней среды. Для каждого xX исход и результат операции зависят от случайной величины ξ и являются, следовательно, случайными величинами. Первая принимает значения на множестве S, вторая (если выполнено предположение 1.2) – на множестве действительных чисел. Тогда можно говорить об ожидаемом исходе и ожидаемом результате операции. Пусть f(ξ, x) – оценка исхода
(результат) операции в случае реализации решения x при состоянии ξ внешней
среды. Это случайная величина. Ее математическое ожидание E[ f(ξ, x)] зависит
только от Dξ и x, это ожидаемый результат операции при решении x.
Положим F(Dξ, x) = E[ f(ξ, x)]. Тогда целью ЛПР можно считать максими-
зацию функции F(Dξ, x) на множестве X. Таким образом, если в рисковой ситуации внешнюю среду описать распределением соответствующей случайной величины, а состояние объекта управления после выполнения операции оценивать величиной ожидаемого результата7, то задача поиска решения сводится к
задаче максимизации функции F(Dξ, x) на множестве X.
Этот прием называют осреднением по случайным параметрам. Риск состоит в том, что ожидаемый результат может быть получен не при каждом выполнении операции, а только в среднем, при многократном ее повторении8.
ЛПР определяет, можно ли использовать осреднение при выборе решений. Если нужно получить пусть не лучший, но надежный результат, то осреднение
недопустимо.
1.3.3. Природная неопределенность
В ситуации природной (интервальной) неопределенности для некоторых
неуправляемых параметров известны только множества возможных значений.
В этом случае возможные состояния внешней среды называют сценариями, а
решения ЛПР – стратегиями. Для выбора стратегии обычно используют модель игры с природой и применяют различные варианты принципа гарантиро-
ванного результата
.
Пусть A – множество всех возможных состояний внешней среды. Будем
считать это множество параметром модели. Допустим также, что множество X
допустимых стратегий ЛПР не зависит от состояния внешней среды. Пусть результат применения стратегии x в условиях сценария a равен f(a, x). Тогда стратегия x в худшем случае даст результат
F(A, x) = min{f(a, x) | a A}.
Заметим, что ожидаемая оценка исхода (ожидаемый результат) и оценка ожидаемого исхода не всегда
совпадают, см. [5, разд. 6.4]. Подробнее об оценке исходов операции в ситуации неопределенности см. [7, § 8
гл. II].
Точнее: среднее (по реализациям) значение случайной величины сходится по вероятности к ее матема-
тическому ожиданию (закон больших чисел, см. [6, §1 гл. 10]).
См. разд. 5. Для дальнейшего изучения рекомендуем [7, § 8 гл. II].
19
Это гарантированный результат в том смысле, что выбор стратегии x при
любом сценарии гарантирует получение результата, не меньшего, чем F(x).
Естественно считать, что ЛПР стремится максимизировать гарантированный
результат.
Таким образом, если в ситуации природной неопределенности внешнюю
среду описать множеством сценариев, а состояние объекта управления после
выполнения операции оценить величиной гарантированного результата, то задача поиска решения сводится к задаче максимизации функции F(A, x) на множестве X.
1.3.4. Субъективная неопределенность
Ситуация субъективной (игровой) неопределенности возникает, если какие-то ЛПР, преследующие собственные цели, влияют на состояние внешней
среды. Другими словами, некоторые неуправляемые параметры зависят от поведения целеустремленных агентов.
Подходы к выбору стратегии при субъективной неопределенности дает
теория игр. В моделях теории игр решение игрока называют стратегией, а его
результат – выигрышем. Модели различаются предположениями об информированности игроков и правилах игры.
Исследуя игру, обычно стремятся найти такие сочетания стратегий (всех
игроков), при которых возникает теоретико-игровое равновесие (определение
равновесия зависит от типа модели). Для этого приходится, как правило, решать задачи параметрической оптимизации. В некоторых случаях (как в анта-
гонистических играх) равновесные стратегии каждого игрока (если они существуют) максимизируют его гарантированный результат.
Контрольные вопросы и задания
1. Каково современное содержание термина „операция” в контексте ис-
следования операций? Сформулируйте главные признаки операции.
2. Что такое „решение” и кто его принимает?
3. Сформулируйте предмет и метод исследования операций.
4. Охарактеризуйте основные типы ситуаций принятия решений.
5. Какова принципиальная схема содержательного описания операции,
какие основные группы параметров участвуют в этом описании?
6. Приведите пример операции. Укажите, в какой системе выполняется
эта операция, как она изменяет состояние системы. Сформулируйте цель операции, укажите желательные состояния системы. Перечислите управляемые и
неуправляемые параметры операции.
7. Разъясните смысл терминов «моделирование», «модель», «математиче-
ская модель».
8. Перечислите основные структурные элементы математической модели
операции.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]