Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы Монте-Карло для параллельных вычислений. Учебное пособие
.pdf
Оценка среднего времени пребывания
Время пребывания
произвольного требования
0
1000
2000
3000
4000
5000
номер такта
0 1000 2000 3000 4 000 5000 6000 7000 8 000
Начальные очереди пусты
Начальные очереди непусты
Рис. 6.4. Изменение оценки среднего времени пребывания при оценках загрузки
систем 0,986 в изначально пустой системе (сплошная линия) и 1,000 в изначально непустой системе (пунктирная линия)
X
×
j=1
m
β
j,1
m
X
j=1
(β
j,1
+¯β
j,1
−1
)
.
Например, для набора параметров m = 3, d = 3, a
3
3
β = (
3
,
,
8
),¯β = (
4
2
λ
1
1
,
8
4
π
(2)
π
(3)
π
(1)
= 0,145, λ
1
1
,
),
2
(1)
=
=
0 0,1 0
0 0 0,1
=
0,1 0 0
0,1 0,1 0,1
0,1 0 0
0,125 0,125 0
0,5 0 0,2
0,3333 0 0
0,125 0,125 0
(1)
= 0,13, λ
2
141
,
(1)
3
,
= a
1,3
,
= 0,125,
2,3
= 1, a
3,3
= 0,
Оценка загрузки системы
в зависимости от интенсивнойстей потоков
и параметров среды
Оценка загрузки
0,2
0,4
0,6
0,8
интенсивность групп по первому потоку
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
набор 1 - опыт
набор 1 - прогноз
набор 2 - опыт
набор 2 - прогноз
набор 3 - опыт
набор 3 - прогноз
Рис. 6.5. Оценка загрузки системы в зависимости от интенсивности входного
потока и переходных вероятностей для среды
(1)
(1)
b
= b
1
3
(2)
λ
= 0,0125, λ
1
(2)
b
(2)
= b
1
3
(3)
b
(3)
= b
1
3
= b
= b
= b
(1)
2
(2)
2
(3)
λ
1
(3)
2
= 0,5, q
(2)
2
= 0,5, q
(3)
= λ
2
= 0, q
(1)
(1)
= q
1
2
= 0,0105, λ
(2)
(2)
= q
1
2
(3)
= λ
3
(2)
1
= 0,05,
(2)
= q
2
= q
(2)
3
= q
= q
(1)
= 0,
3
= 0,025,
(2)
= 0,
3
(2)
= 0,
3
значение a
0,3, 0,5, 0,7, 0,9, 0,95, 0,995, 0,975. Экспериментальная и аналитическая
оценки загрузки приведены на рис. 6.7.
Напомним, что структура оптимального управления в общем случае неизвестна. При некоторых дополнительных ограничениях на входные потоки и внешнюю случайную среду можно доказать оптимальность следующего алгоритма назначения приоритетных индексов очередям. Пусть матрицы π
= {1, 2, . . . , m}, cr(D1) = cr. Далее пусть {ϑr(Ds): r ∈ Ds} есть
последовательно принимало значения 0,01, 0,05, 0,1, 0,2,
3,1
(1)
= π
(2)
= . . . = π
(d)
= π. Положим D1=
решение системы
X
ϑr(Ds) =
j∈D
ϑj(Ds)π
s
r, j
+ β
142
r, 1
+¯β
, r ∈ Ds.
r, 1
Зависимость загрузки системы
от вероятности малоинтенсивного потока
оценка загрузки
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
вероятность малоинтенсивного потока
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
наблюдения
прогноз
Рис. 6.6. Оценка загрузки системы в зависимости от стационарной вероятности
малоинтенсивного потока
Введем величины
r(Ds) = arg min{cj(Ds)/ϑj(Ds): j ∈ Ds}, D
cr(D
) = (cr(Ds)/ϑr(Ds) −min{cj(Ds)/ϑj(Ds): j ∈ Ds})ϑr(Ds).
s+1
= Ds\ {r(Ds)},
s+1
Положим по определению h∗(x) ∈ Ds, если
X
xr= 0 и
r∈D
Тогда функция h∗(·) является оптимальной. Итак, несмотря на широкий класс возможных управлений, оптимальная функция переключения h∗(·) принадлежит классу управлений с относительными приоритетами. На практике были выявлены случаи, в которых возможно воспользоваться этим алгоритмом или его модификацией, так и случаи
неоптимального назначения приоритетов. Приведем следующий числовой пример. Пусть d = 3,
(1)
(1)
p
= p
1,2
(2)
p
(3)
= p
3,1
3,2
(1)
= p
2,3
3,1
= 0,125, p
s+1
= 1, p
(3)
= 0,5, p
1,1
(2)
1,1
X
r∈D
(2)
= p
= p
1,2
(3)
= 0,2, p
1,3
143
xr> 0.
s
(2)
= 0,1, p
1,3
(3)
3,1
= p
(3)
3,2
(2)
= 0,1,
2,1
= 0,125,
Зависимость загрузки от параметра среды
Оценка загрузки
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
вероятность перехода среды
из состояния 3 в состояние 1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
наблюдение
оценка
Рис. 6.7. Оценка загрузки для четного числа циклических подклассов
β1= 0,325, β2= 0,75, β3= 1,5,
¯
β1= 0,125,
(1)
λ
= 0,145, λ
1
(1)
(1)
b
= b
1
(2)
λ
= 0,0125, λ
1
(2)
b
= b
1
(3)
λ
= λ
а вероятности смены состояний среды образуют один из следующих
1
2
(2)
2
(3)
2
= b
= b
= λ
(1)
3
(2)
3
(3)
3
q
¯
β2= 0,25,
(1)
= 0,13, λ
2
= 0,5, q
(2)
= 0,0105, λ
2
= 0,5, q
= 0,05, b
(3)
(3)
= q
1
= q
2
(3)
3
(1)
1
(2)
1
(3)
1
= 0,
= q
= q
= b
¯
β3= 0,5,
(1)
= 0,125,
3
(1)
(1)
= q
2
3
(2)
= 0,025,
3
(2)
(2)
= q
2
3
(3)
= b
2
(3)
3
= 0,
= 0,
= 0,
наборов:
a
= a
1,1
= a
1,2
a
2,1
1,3
a
= 0,1, a
1,1
= 0,2, a
= a
2,1
a
2,2
= a
1,2
1,2
= 0,7, a
= a
2,2
= a
2,3
144
= 0,8, a
2,3
= a
2,3
= a
3,1
= 0,1,
1,3
= 0,1, a
3,1
= a
3,1
3,2
= 1;
= a
3,3
= 1. (6.11)
1
=
3
(6.9)
; (6.10)
Наборы (6.9) и (6.11) отвечают непериодической цепи состояний внешней среды, а наборы (6.10) и (6.11) обладают одинаковым стационарным
распределением. Стоимости пребывания произвольного требования в
единицу времени заданы вектором c = (14, 3, 9). В таблице 6.1 приведены оценки среднего времени пребывания произвольного требования
в системе для каждого из трех наборов вероятностей смены состояний
среды. Первая строка соответствует обслуживанию самой длинной очереди, остальные содержат перечисление очередей в порядке убывания
приоритета. Таблица 6.2 содержит оценки средней стоимости пребывания всех требований в системе за такт. Устройство таблицы 6.2 такое
же, как у таблицы 6.1.
Таблица 6.1. Оценки среднего времени пребывания для различных вероятностей смены состояний среды
Порядок обслуживания набор (6.9) набор (6.10) набор (6.11)
самая длинная очередь 4,86 11,23 9,59
O1, O2, O
O1, O3, O
O2, O1, O
O2, O3, O
O3, O1, O
O3, O2, O
Таблица 6.2. Оценки средней стоимости пребывания всех требований за такт
функционирования системы для различных вероятностей смены состояний среды
3
2
3
1
2
1
4,52 10,12 11,74
5,05 11,79 12,54
4,56 10,23 8,88
5,41 12,70 8,43
5,31 12,14 9,95
5,59 12,93 8,62
Порядок обслуживания набор (6.9) набор (6.10) набор (6.11)
самая длинная очередь 11,31 20,73 17,64
O1, O2, O
O1, O3, O
O2, O1, O
O2, O3, O
O3, O1, O
O3, O2, O
3
2
3
1
2
1
10,40 18,71 20,68
8,98 12,81 13,81
11,28 20,27 17,24
16,05 33,64 22,19
10,97 15,53 13,96
15,69 32,75 21,69
Из таблиц видно, что выбор на обслуживание самой длинной очереди уступает по величине критерия хотя бы одному из приоритетных
алгоритмов. Если в качестве матрицы π взять матрицу
a1π
(1)
+ a2π
(2)
+ a3π
(3)
,
145
то алгоритм назначения приоритетов укажет последовательность O1,
O3, O2для каждого из трех наборов. Это согласуется с результатами
экспериментов в таблице 6.2. Если применить алгоритм назначения приоритетов для вектора стоимостей c = (1, 1, 1), то будет рекомендовано
обслуживание в порядке O1, O2, O3. Из таблицы 6.1 видим, что для систем с апериодической цепью состояний внешней среды этот алгоритм
действительно дает наименьшую оценку среднего времени пребывания
произвольного требования, но этот порядок не оптимальный для случая периодической цепи. Как показали наши эксперименты, это общая
ситуация для случая периодической случайной среды.
Глава 7. Моделирование распространения
зондирующего излучения в многослойных
биологических тканях
В настоящее время в медицинских исследованиях, в том числе
предклинических, существует потребность в развитии новых неинвазивных и доступных методов диагностики, поскольку используемые традиционные методы (магнитно-резонансная томография — МРТ, компьютерная томография — КТ, позитронно-эмиссионная томография —
ПЭТ) имеют ряд ограничений, связанных с их небезопасностью, высокими требованиями к инфраструктуре и стоимостью оборудования.
Классом наиболее перспективных методов диагностики, которые могут применяться как в сочетании с существующими методами, так и
в некоторых случаях вместо них, являются оптические методы. Их основные преимущества — неинвазивность, сравнительно невысокая стоимость приборов и широкие функциональные возможности, обусловленные возможной вариативностью параметров зондирующего излучения
(длина волны, модуляция, длина импульса и т. д.).
Ряд методов оптической биомедицинской диагностики уже прошел стадию предклинических испытаний и успешно применяется в клинической практике. Для диагностики биологических тканей на сравнительно небольших глубинах (до единиц мм) применяются методы, использующие когерентность зондирующего излучения. Для диагностики биотканей на больших глубинах необходимо применять методы, для
которых информативным оказывается многократно рассеянное излучение. Таким методом является оптическая диффузионная томография
(ОДТ).
Широкие возможности для неинвазивной диагностики предоставляет модификация ОДТ — оптическая диффузионная спектроскопия
(ОДС), основанная на регистрации многократно рассеянного объектом
зондирующего излучения на нескольких длинах волн, определяемых
спектрами поглощения исследуемых компонент организма. Например,
применение ОДС для функциональной диагностики мозга основано на
облучении мозга человека источниками монохроматического излучения различных длин волн, выбирающихся в соответствии с различиями
спектров поглощения окси- и дезоксигемоглобина. Взаимное расположение источников и детекторов позволяет определить измерительный
объем, в то время как информация о потерях зондирующего излучения
в среде позволяет определить соотношение окси- и дезоксигемоглобина
147
в измерительном объеме.
Разработка методов применения ОДТ и ОДС в биомедицинской
диагностике требует понимания процессов распространения зондирующего излучения в биологических объектах. Из-за сложной и неоднородной структуры таких объектов использование аналитических подходов
к описанию этих процессов затруднительно. В связи с этим эффективным выглядит использование компьютерного моделирования распространения зондирующего излучения в объектах со сложной геометрией, а применение метода Монте-Карло, имеющего высокий потенциал к
распараллеливанию, позволяет существенно ускорить расчеты при наличии доступа к вычислителям с параллельной архитектурой.
Описанный здесь алгоритм основан на работе [54], однако содержит ряд отличий, связанных с учетом с произвольной геометрии слоев
среды и вводом в рассмотрение так называемых «детекторов».
7.1. Постановка задачи на физическом уровне
Пусть имеется некоторая среда, заполняющая данный объем пространства. При этом считается, что среда состоит из нескольких слоев,
каждый слой представляет свой тип биологической ткани. Например, в
голове человека как биологической среде можно выделить следующие
слои: кожа головы, череп, цереброспинальная жидкость, серое вещество
головного мозга, белое вещество головного мозга. При построении модели каждый слой задается своими границами, одной или несколькими.
Имеется источник зондирующего излучения и один или несколько детекторов, расположенные обычно на внешней границе среды. Источник
излучения представляет собой бесконечно тонкий луч фотонов. Пространственное расположение луча задается некоторой точкой пространства, из которой он испускается, и начальным направлением движения
фотонов. Стандартным является положение источника на внешней границе среды и направление луча перпендикулярно границе в сторону
среды. При прохождении сквозь слои луч испытывает преломление на
границах слоев и рассеяние, а часть фотонов может быть поглощена
средой. Для задания характеристик взаимодействия между средой и
фотонами каждый слой описывается набором из четырех оптических
характеристик: коэффициента преломления n, коэффициента поглощения µa, коэффициента рассеяния µsи коэффициента анизотропии g.
Детектор улавливает фотоны, покинувшие многослойную биологиче-
148
скую среду в области его действия. Сам детектор представляет собой
замкнутую область на внешней границе среды и накапливает информацию об интенсивности излучения, прошедшего сквозь эту область.
Для задания границ слоев в нашем исследовании применялся метод триангуляции. Детектор считался имеющим форму параллелепипеда, а пространственное расположение детектора задавалось с помощью
центра параллелепипеда и вектора-перпендикуляра, опущенного из центра на одну из граней параллелепипеда. Наконец, предполагалось, что
параллелепипед ориентирован по координатным осям. Рассматриваемый параллелепипед пересекается с внешней границей среды и отсекает на ней замкнутую область, которая и является областью действия
детектора.
7.2. Алгоритм моделирования распространения
зондирующего излучения в многослойных биологических
тканях
Моделирование прохождения луча зондирующего излучения состоит в построении траекторий движения отдельных фотонов внутри
биологических тканей. Для ускорения моделирования фотоны группируются по признаку близости траекторий, фотоны объединяются в так
называемый «пакет». Каждому пакету приписывается его «вес», характеризующий число составляющих его фотонов, и движение одиночного фотона заменяется движением пакета. В дальнейшем мы не будем
различать термины «фотон» и «пакет». При таких эффектах, как поглощение энергии средой или отражение от границы, «вес» фотона может меняться, а пакет может разделиться на несколько новых. Фотон
(пакет фотонов) описывается своим положением (x, y, z) в трехмерном пространстве, текущим направлением (vx, vy, vz) его движения
и «весом» w. В ходе моделирования движения одного пакета в среде определяется последовательность его пространственных положений
до момента поглощения средой или выхода пакета за ее пределы. На
интересующую исследователя подобласть среды накладывается регулярная трехмерная сетка, которая делит подобласть на ячейки. Сетка
служит для хранения информации о траекториях фотонов. Также в
каждой ячейке сетки с координатами (x, y, z) накапливается величина
A(x, y, z) интенсивности излучения, поглощенного в данной области
среды. Следует заметить, что сетки для хранения информации о траек-
149
ториях фотонов и абсорбции могут как совпадать, так и различаться.
В результате моделирования собирается следующая информация: объемное распределение поглощенной интенсивности излучения в среде —
функция A(x, y, z), интенсивность рассеянного назад излучения на
детекторах, фотонные карты траекторий фотонов для каждого детектора.
Далее приводится пошаговый алгоритм моделирования траектории одного фотона. Каждый шаг алгоритма будет содержательно раскрыт ниже.
Алгоритм XX
Моделирование распространения зондирующего излучения в
многослойных биологических тканях
Шаг 1. Инициализация фотона.
Шаг 2. Если фотон находится в абсолютно прозрачном слое, то
переходим к шагу 11.
Шаг 3. Получение длины свободного пробега (шага) фотона.
Шаг 4. Если фотон пересекает границу слоя, то переходим к
шагу 11.
Шаг 5. Перемещение фотона.
Шаг 6. Обновление траектории фотона.
Шаг 7. Обновление веса фотона.
Шаг 8. Вычисление направления движения фотона.
Шаг 9. Если вес фотона больше минимального, переходим к ша-
гу 2.
Шаг 10. Если фотон не последний, переходим к шагу 1, иначе
КОНЕЦ АЛГОРИТМА.
Шаг 11. Перемещение фотона к границе слоя.
Шаг 12. Обновление траектории движения фотона.
Шаг 13. Отражение фотона от границы слоя или его переход в
новый слой.
Шаг 14. Если фотон не вылетел за границы биологической ткани, переходим к шагу 9.
Шаг 15. Если фотон не попал на детектор, переходим к шагу 10.
Шаг 16. Обновление интенсивности излучения на детекторе.
Шаг 17. Обновление карты траекторий на детекторе.
Шаг 18. Переход к шагу 10.
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]