Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы Монте-Карло для параллельных вычислений. Учебное пособие
.pdf
Часть II
П
Глава 5. Решение уравнений телеграфного типа
5.1. Пуассоновский процесс и его моделирование
Напомним, что случайным процессом называется семейство случайных величин {X(t, ω); t ∈ T}, зависящих от параметра t ∈ T . Часто
роль параметра t играет время. Если множество T конечное либо бесконечное счетное, говорят о процессе с дискретным временем. Если,
напротив, множество T несчетно, говорят о процессе с непрерывным
временем. При обращении с процессом с непрерывным временем важную роль играет понятие сепарабельного процесса. Согласно известной
теореме Дуба, для любого случайного процесса возможно построить его
сепарабельную модификацию. Поэтому сепарабельность в дальнейшем
будет предполагаться и не будет специального оговариваться.
Обратимся к определению того типа случайных процессов, свойствам которых посвящен этот раздел.
Определение 5.1. Семейство случайных величин {N(t); t > 0}
называется однородным пуассоновским процессом с интенсивностью
λ > 0, если
1) N (0) = 0 с вероятностью 1;
2) для любого натурального m и любых 0 6 t16 t26 . . . 6 t
приращения N (t1) −N (0), N(t2) −N (t1), . . . , N (tm) −N (t
m−1
независимые случайные величины;
3) приращение N (t0)−N (t) при t < t0имеет распределение Пуас-
сона с параметром λ(t0− t):
P({N(t0) −N (t) = k}) =
λk(t0− t)
k!
k
−λ(t0−t)
e
, k = 0, 1, . . . .
Определение 5.2. Пусть T0= 0, и случайные величины T1, T2,
. . . независимы и имеют показательное распределение с параметром
λ > 0. Определим семейство случайных величин
m
) суть
N(0) = 0, N (t) = sup{n : T0+ T1+ .. . + Tn< t}, t > 0.
Семейство {N (t); t > 0} называется однородным пуассоновским процессом с интенсивностью λ.
В теории случайных процессов доказывается, что определения 5.1
и 5.2 эквивалентны. Из определения 5.1 виден вероятностный смысл параметра λ: M N (t) = λt. Из определения 5.2 следует, что однородный
102
пуассоновский процесс обладает кусочно-постоянными непрерывными
T
1
t
T1+ T
2
T1+ T2+ T
3
N(t)
O
1
2
3
справа траекториями. Типичная траектория изображена на рис. 5.1.
Разрывы траектории процесса имеют место в случайных точках T1,
Рис. 5.1. Типичная реализация пуассоновского процесса (вспомогательные
пунктирные линии для удобства чтения значений)
T1+ T2, . . . . Однородный пуассоновский процесс имеет обширные при-
ложения при моделировании разнообразных реальных систем. При этом
величины T1, T1+ T2, . . . задают на временной оси моменты наступления некоторых событий. Например, в теории массового обслуживания
это моменты поступления требований в систему обслуживания, в теории радиоактивного распада это моменты попадания частиц в счетчик,
в теории страхования это моменты наступления страховых случаев и
т. д. В связи с наличием непосредственной физической интерпретации
случайную величину N (t) называют числом событий, наступивших за
промежуток времени [0, t). Из определения 5.1 следует также, что однородный пуассоновский процесс является однородным марковским про-
цессом со счетным числом состояний: для любого натурального числа
m и действительных чисел 0 6 t1< t2< . . . < tmусловное распре-
деление величины N(tm) при заданных значениях N(t1), N(t2), .. . ,
N(t
данном N (t
) совпадает с условным распределением при единственном за-
m−1
),
m−1
Поэтому для моделирования случайного вектора
нужно воспользоваться общими методами получения значений случайных величин с пуассоновским законом распределения, изложенными в
P({N(tm) = km}|{N(t1) = k1, . . . , N (t
= P({N(tm) = km}|{N(t
= P({N(tm) −N (t
(N(t1), N (t2), . . . , N (tm))
103
m−1
m−1
) = k
) = k
m−1
}) =
m−1
) = km− k
m−1
}) =
m−1
}).
разделе 3.1.
Часто для приложений важно знать не только значение процесса
N(t) в заданный момент t, но и значения процесса на некотором интер-
вале [t, t + h). Очевидно, эти значения определяются, во-первых, значением N (t) процесса в момент t, а во-вторых, положением точек разрыва
на данном интервале. В силу независимости приращений пуассоновского процесса достаточно рассмотреть моделирование его значений на интервале [0, t). Алгоритм моделирования в этом случае основывается на
определении 5.2.
Алгоритм XVII
Моделирование однородного пуассоновского процесса
Пусть λ > 0 и t > 0 даны.
Шаг 1. (Инициализация) Положим T = 0, m = 0.
Шаг 2. Получим значение случайной величины T
зательного распределения с параметром λ. Положим T ← T + T
m+1
из пока-
.
m+1
Шаг 3. Если T < t, то положим m ← m + 1 и перейдем к шагу 2.
Шаг 4. (Здесь T > t) Присвоим N (t) = m, и моменты скачков
суть T1, T1+ T2, . . . , T1+ T2+ .. . + Tm.
Наряду с однородным пуассоновским процессом часто рассматривают неоднородный пуассоновский процесс.
Определение 5.3. Семейство случайных величин {N(t); t > 0}
называют (неоднородным) пуассоновским процессом, если
1) N (0) = 0 с вероятностью 1;
2) {N (t); t > 0} — случайный процесс с независимыми прираще-
ниями;
3) распределение приращений N (t0) − N (t) при t < t0имеет вид:
P({N(t0) −N (t) = k}) =
(Λ(t0) −Λ(t))
=
k!
k
−(Λ(t0)−Λ(t))
e
, k = 0, 1, . . . .
Функция Λ(t) = M N (t) называется компенсатором пуассоновского
процесса {N (t); t > 0}.
104
Очевидно, однородный пуассоновский процесс есть частный случай этого определения с компенсатором Λ(t) = λt. Известны следующие
свойства неоднородного пуассоновского процесса:
1) процесс {N(t); t > 0} имеет с вероятностью 1 ступенчатую
траекторию;
2) компенсатор Λ(t) = M N (t) есть неубывающая функция, име-
ющая не более чем счетное число скачков;
3) при условии N(t0)−N(t) = k, то есть при наступлении k собы-
тий за промежуток времени [t, t0), моменты наступления событий суть
независимые случайные величины и вероятность появления каждого
события на отрезке [s, s0) ⊂ [t, t0) равна
Λ(s0) −Λ(s)
Λ(t0) −Λ(t)
.
Свойство 3 содержит фактически алгоритм моделирования неоднородного пуассоновского процесса, включая моменты скачков. Однако в дальнейшем будет полезным следующее утверждение.
Теорема 5.1. Пусть T0= 0, величины T1, T2, . . . — незави-
симые случайные величины, имеющие показательное распределение с
параметром 1, величины
N0(t) = sup{n: T0+ T1+ .. . + Tn< t}, t > 0,
— однородный пуассоновский процесс с параметром λ = 1, Λ(t) — неубывающая неотрицательная функция, Λ(0) = 0, имеющая обратную
V (u) = inf{t: Λ(t) > u для всех u > 0}.
Тогда случайные величины
N(t) = sup{n : V (T0+ T1+ .. . + Tn) < t}, t > 0,
образуют неоднородный пуассоновский процесс с компенсатором Λ(t).
Доказательство. Следующие события равносильны:
{N (t) = k} =
= {V (T0+ T1+ .. . + Tk) < t, V (T0+ T1+ .. . + T
= {T0+ T1+ .. . + Tk< Λ(t), T0+ T1+ .. . + T
k+1
> Λ(t)} =
k+1
) > t} =
= {N0(Λ(t)) = k}.
105
Итак, N(t) = N0(Λ(t)). Тогда независимость приращений следует из
равенств
n
n
\
P
N(ti) −N (t
i=1
i−1
n
n
\
= P
i=1
n
Y
=
P({N0(Λ(ti)) −N0(Λ(t
i=1
o
) = k
=
i
N0(Λ(ti)) −N0(Λ(t
n
Y
=
P({N(ti) −N (t
i=1
)) = k
i−1
)) = ki}) =
i−1
i
o
=
i−1
) = ki}),
а распределение приращений при t0> t имеет вид
P({N(t0) −N (t) = k}) =
= P({N0(Λ(t0)) −N0(Λ(t)) = k}) =
(Λ(t0) −Λ(t))
=
k!
k
−(Λ(t0)−Λ(t))
e
, k = 0, 1, . . . .
Теорема 5.1 позволяет одновременно получать (зависимые) реализации неоднородных пуассоновских процессов, соответствующих набору компенсаторов Λj(t), j = 1, 2, . . . , путем изменения масштаба
по оси времени из одного «стандартного» однородного пуассоновского
процесса. Частный случай этой теоремы, соответствующий компенсатору вида Λ(t) = λt, фактически использован в алгоритме моделирования однородного пуассоновского процесса на стр. 104. В этом случае
V (t) = λ−1t и величины λ−1Tiимеют показательное распределение с
параметром λ.
5.2. Связь функционалов от пуассоновского процесса
с дифференциальными уравнениями
Пусть на промежутке T = [0, t0] задана интегрируемая по Риману функция a(t) и кусочно-непрерывная функция Λ(t). Пусть далее
{N(t); t ∈ T } — неоднородный пуассоновский процесс с компенсатором
106
Λ(t) = M N (t). Рассмотрим два случайных процесса, определенные равенствами:
X(t) = (−1)
N (t)
, t ∈ T ,
и
t
Z
Y (t) =
a(s)X(s) ds, t ∈ T .
0
Легко увидеть, что процесс {X(t); t ∈ T } принимает лишь два значения: −1 и 1, в зависимости от того, четное или нечетное значение
принимает величина N (t). Заметим, что интеграл в определении величины Y (t) при сделанных предположениях относительно функций a(t),
Λ(t) существует в смысле Римана для P-почти наверное каждой траектории процесса a(t)X(t), t ∈ T . Для дальнейшего будет необходимо
следующее утверждение.
Лемма 5.1. Пусть функция Λ(t) непрерывно дифференцируема,
функция f (x, t, y) определена и непрерывно дифференцируема по совокупности переменных (x, t, y) ∈ D = Rr× T × R1и удовлетворяет
следующему условию:
0
|f
(x1, t1, y1) −f
y
0
(x2, t2, y2)| + |f
y
0
(x1, t1, y1) −f
t
0
(x2, t2, y2)| 6
t
6 K1(|x1− x2|α+ |t1− t2|α+ |y1− y2|α)
для всех (x1, t1, y1), (x2, t2, y2) ∈ D, 0 < α 6 1, K1= const; функция
a(t) непрерывна по t ∈ T . Тогда определены дифференцируемые функции
u(x, t) = M(f (x, t, Y (t))), (x, t) ∈ D1= Rr× T ,
v(x, t) = M(X(t)f (x, t, Y (t))), (x, t) ∈ D1= Rr× T ,
и в D1справедливы равенства
∂u
= M(f
∂t
∂v
= −2Λ0(t)v(x, t) + a(t) M(f
∂t
∂u
= M(f
∂x
i
0
(x, t, Y (t))) + a(t) M(X (t)f
t
0
(x, t, Y (t))),
x
i
i = 1, 2, . . . , r.
0
(x, t, Y (t))), (5.1)
y
0
(x, t, Y (t))) + M(X (t)f
y
∂v
= M(X(t)f
∂x
i
0
(x, t, Y (t))), (5.3)
x
i
107
0
(x, t, Y (t))),
t
(5.2)
Доказательство леммы содержится в работах [15, 16, 17]. Для уяснения значения этой леммы заметим следующее. Соотношение (5.1) гарантирует возможность формальной смены порядка вычисления производной и вычисления математического ожидания в выражении вида
Y (t)
M(e
). Чтобы в этом убедиться, найдем формальное выражение для
«производной» от функции exp{Y (t)}:
dt
t
exp
Z
a(s)X(s) ds= a(t)X(t) exp
0
d
t
Z
a(s)X(s) ds.
0
Полагая в равенстве (5.1) f(x, t, y) = y, получаем
Y (t)
= a(t) M(X(t)e
Y (t)
).
∂t
∂
Me
Однако аналогичная операция с кусочно-постоянной функцией X(t)
даст X0(t) = 0 для почти всех t за исключением точек скачков N(t),
откуда, кажется, должно бы следовать M X0(t) = 0. Но M X(t) =
= exp{−2Λ(t)} и формула (5.2) указывает правильное выражение для
производной:
d
M X(t) = −2Λ0(t) M X(t).
dt
Следующие теоремы описывают классы обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, интегральные представления решений которых можно дать в виде математических ожиданий от функционалов от пуассоновского процесса.
Теорема 5.2. Пусть функция a(t) дважды непрерывно диффе-
ренцируема, a(0) 6= 0, а функция Λ(t) непрерывно дифференцируема.
Тогда функции
y1(t) = M exp{Y (t)}, y2(t) = M exp{−Y (t)}, t ∈ T
являются линейно независимыми решениями уравнения
y00(t) +2Λ0(t) −
a0(t)
y0(t) −a2(t)y(t) = 0, t ∈ T (5.4)
a(t)
и решение задачи Коши с условиями
y(0) = ¯y0, y0(0) = ¯y
1
108
(5.5)
имеет вид
y(t) =
1
¯y0+
2
¯y
1
a(0)
y1(t) +
1
¯y0−
2
¯y
1
a(0)
y2(t).
Доказательство. Непосредственное вычисление производных с
помощью леммы 5.1 дает:
0
y
(t) = a(t) MX(t)e
1
00
y
(t) = (a0(t) −2Λ0(t)a(t)) MX(t)e
1
00
y
(t) = (2Λ0(t)a(t) −a0(t)) MX(t)e
2
Y (t)
, y
0
(t) = −a(t) MX(t)e
2
Y (t)
+ a2(t)y1(t), (5.7)
−Y (t)
+ a2(t)y2(t). (5.8)
−Y (t)
, (5.6)
Подстановкой выражений (5.6)–(5.8) в уравнение (5.4) убеждаемся, что
функции y1(t), y2(t) являются его решениями. Определитель Вронского
равен
W (t) = y1(t)y
0
(t) −y
2
0
(t)y2(t).
1
При t = 0 из вида функций y1(t), y2(t) и равенств (5.6) получаем W (0) =
= 2a(0) 6= 0. Теперь, в силу известной формулы Лиувилля для опреде-
лителя Вронского,
t
W (t) = W (0) exp
Z
0
2Λ0(s) −
a0(s)
a(s)
ds
6= 0, t ∈ T ,
и функции y1(t), y2(t) являются линейно независимыми.
Аналогично доказывается следующая теорема.
Теорема 5.3. Пусть функция a(t) непрерывно дифференцируе-
ма, a(0) 6= 0, функция Λ(t) дважды непрерывно дифференцируема. Тогда функции
y1(t) = g(t) M(X (t)e
Y (t)
), y2(t) = g(t) M(X (t)e
−Y (t)
), t ∈ T ,
при произвольной дважды непрерывно дифференцируемой функции
g(t), t ∈ T , g(t) 6= 0, являются линейно независимыми решениями
уравнения
y00(t) + 2A(t)y0(t) −B(t)y(t) = 0, t ∈ T , (5.9)
109
где
A(t) = Λ0(t) −
g0(t)
g(t)
B(t) = a2(t) −2Λ00(t) + 2Λ0(t)
g(t)g00(t) −2(g0(t))
+
g2(t)
−
2
−
a0(t)
,
2a(t)
a0(t)
+
a(t)
a0(t)g0(t)
a(t)g(t)
g0(t)
g(t)
.
+
5.3. Решение уравнений телеграфного типа методом
Монте-Карло
Представление решений уравнений (5.4), (5.9) в форме математических ожиданий от случайных величин специального вида позволяет
строить алгоритмы для приближенного численного решения этих уравнений по методу Монте-Карло. Рассмотрим решение задачи Коши (5.4),
(5.5) для заданных функций Λ(t), a(t). Пусть
{Ni(t); t ∈ T }, i = 1, 2, . . . , N,
— независимые неоднородные пуассоновские процессы с ведущей функцией Λ(t), последовательность
(i)
{T
, n = 1, 2, . . .}
n
задает величины интервалов между скачками процесса {Ni(t); t ∈ T },
обозначим S
(i)
= 0 и
0
(i)
(i)
S
= T
n
(i)
+ T
1
+ .. . + T
2
(i)
, n = 1, 2, . . . .
1
Введем случайные величины
t
Yi(t) =
Z
a(s)(−1)
0
=
Ni(t)
Ni(t)
X
k=1
ds =
(−1)
k−1
(i)
S
k
Z
a(s) ds + (−1)
(i)
S
k−1
110
Ni(t)−1
S
t
Z
(i)
Ni(t)
a(s) ds.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]