Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы Монте-Карло для параллельных вычислений. Учебное пособие
.pdf
В настоящем разделе, во-первых, произведен подбор аналитической оценки ρ(·) загрузки, во-вторых, изучена зависимость загрузки системы от параметров случайной среды, параметров входных потоков
первичных и вторичных требований, средних длительностей обслуживаний и переналадок, выбранного управления, и в-третьих, выбрано оптимальное управление (функция переключения h(·)), минимизирующее
величину Ji(h) или величину среднего времени пребывания произвольного требования в системе в стационарном режиме. Из сказанного ясно,
что для достижения поставленной цели необходимо прежде всего построение и изучение математической модели процесса обслуживания с
разделением времени и переналадками с целью получения условий существования стационарного режима функционирования системы. Приведем здесь некоторые результаты такого изучения.
В имитационной модели получили конкретизацию распределения
длительностей обслуживания и переналадок, и распределения размеров
групп и распределения вероятностей потоков вторичных требований.
Последовательно опишем имитационную модель системы и применявшиеся методы расчета характеристик системы. Рассмотрим случайные
величины и случайные элементы τ0= 0, τi, i = 1, 2, . . . — последовательные моменты окончания обслуживаний и переналадок, κ
— число
j,i
требований в очереди Ojв момент τi, Γ0— состояние обслуживающего
устройства в момент 0, Γi— состояние обслуживающего устройства на
промежутке (τ
ке (τi, τ
]. Состояния внешней среды либо образуют апериодический
i+1
, τi], χi— состояние случайной среды на промежут-
i−1
класс, либо распадаются на конечное число циклических подклассов.
Положимed = 1 в случае апериодического класса, в противном случае
пустьed равно числу циклических подклассов. Обозначим через C1, C2,
. . . , C
му подклассу, и положим для удобства C0= C
множества номеров состояний среды, соответствующих каждо-
e
d
e
d
, C
= C1. Будем
e
d+1
считать, что приed > 1 подклассы пронумерованы таким образом, что
внешняя среда совершает переходы по пути
(k)
{e
; k ∈ C1} → {e
(k)
; k ∈ C2} → . . . → {e
(k)
; k ∈ C
}.
e
d
Тогда при нечетном˜d состояния цепи
{(Γi, κ
1,i
, κ
, . . . , κ
2,i
, χi); i = 0, 1, . . .}
m,i
образуют самое меньшее единственный класс
{(Γ
(s)
, x, e
(k)
): s = 1, 2, . . . , n; x ∈ X; k = 1, 2, . . . , d} (6.2)
131
сообщающихся состояний, а при четном˜d — два класса:
{(Γ
{(Γ
(j)
(j)
, x, e
∪ {(Γ
, x, e
∪ {(Γ
(k)
): j = 1, 2, . . . , m; x ∈ X; k ∈ C1∪ C3∪ . . . ∪ C
(n)
(k)
): j = 1, 2, . . . , m; x ∈ X; k ∈ C2∪ C4∪ . . . ∪ C
(n)
, x, e
, x, e
(k)
): x ∈ X; k ∈ C2∪ C4∪ . . . ∪ C
(k)
): x ∈ X; k ∈ C1∪ C3∪ . . . ∪ C
}∪
e
d−1
}, (6.3)
e
d
}∪
e
d
}. (6.4)
e
d−1
Положим
(k)
λ
+
= λ
(k)
1
+ λ
(k)
+ .. . + λ
2
(k)
m
,
обозначим стационарное распределение вероятностей состояний случайной среды через
{al: l = 1, 2, . . . , d},
а среднее число вторичных требований, порожденных при состоянии
среды e
Or, как
и образуем матрицу π
(k)
одним требованием из очереди Ojи направленных в очередь
X
(k)
π
=
j, r
(l)
= (π
j, r
j, r)j, r=1, 2, ..., m
∞
X
(k.j)
bp
b
b=1
= (¯λ
(k)
1
(k)
∞
t dBj(t),
π = (π
˜π = (˜π
j, r)j, r=1, 2, ..., m
(k)
µ
j, 1
β
=
j, 1
(l)
=
¯
λ
Z
0
β = (β1, β2, . . . , βm),
y∈X
)
j, r=1, 2, ..., m
,¯λ
(k)
yrp
(y),
j
. Положим
d
X
=
akπ
k=1
X
=
k∈C2∪C4∪...∪C
(k)
¯
,
λ
j
(k)
, . . . ,¯λ
2
¯
β
j, 1
¯
β = (¯β1,¯β2, . . . ,¯βm).
= λ
=
(k)
j
(k)
T
)
m
∞
Z
t d¯Bj(t),
0
(k)
d
µ
e
,
akπ
(k)
j, 1
(k)
,
Имеют место следующие утверждения.
Теорема 6.1. Пустьed нечетно и пусть выполнено одно из двух
условий:
132
1) максимальное по модулю собственное число R матрицы π
больше или равно 1;
2) R < 1 и
d
X
(β +¯β)(Im− πT)
−1
l=1
(l)
¯
a
λ
> 1.
l
Тогда для всех состояний
(Γ
(s)
, w, e
(k)
) ∈ Γ × X × {e
(1)
, e
(2)
, . . . , e
(d)
}
и независимо от распределения случайного элемента (Γ0, κ0, χ0) имеет место предельное соотношение
(s, k)
lim
i→∞
Q
(n)
(y
i
) = 0. (6.5)
Теорема 6.2. Пустьed четно и пусть выполнено одно из двух
условий:
1) максимальное по модулю собственное число˜R матрицы ˜π
больше или равно 1;
2)˜R < 1 и выполнено неравенство
(β +¯β)(Im− ˜πT)
+ (β +¯β)(Im− ˜πT)
Тогда для всех (Γ
×
×
X
j=1
X
j=1
(s)
, w, e
−1
m
m
¯
β
β
X
j, 1
j=1
X
j, 1
j=1
(k)
) из множества (6.3) и независимо от
X
l∈C1∪C3∪...C
m
(β
+¯β
j, 1
−1
l∈C2∪C4∪...C
m
(β
+¯β
j, 1
j, 1
X
j, 1
e
d−1
)
)
2a
−1
d
−1
(l)
¯
λ
×
l
+
(l)
¯
2a
λ
×
l
e
> 1.
распределения (Γ0, κ0, χ0) имеет место предельное соотношение (6.5).
Теорема 6.3. Пустьed нечетно, наибольшее по абсолютной величине действительное собственное число R неотрицательной матрицы π меньше единицы и
d
(β +¯β)(Im− πT)
−1
X
l=1
(l)
¯
a
λ
< 1.
l
133
Тогда последовательность
m
nM
X
j=1
κ
; i = 0, 1, . . .
j, i
o
ограничена.
Чтобы конкретизировать имитационную модель, сделаем следующие предположения. В изучаемую систему обслуживания поступают
m 6 5 первичных входных потоков. Условия формирования потоков
определяются средой с d 6 5 состояниями. При состоянии среды e
(k)
k = 1, 2, . . . , d, по потоку Πjпоступают потоки групп требований так,
что размер группы задается следующим распределением: одна заявка с
вероятностью 1 −b
(k)
, две заявки с вероятностью
j
,
(k)
b
j
(1 −q
(k)
), (6.6)
j
три заявки с вероятностью
(k)
b
j
(1 −q
(k)
j
(k)
)q
, (6.7)
j
ϑ заявок с вероятностью
Здесь 0 6 b
(k)
b
j
(k)
6 1, 0 6 q
j
(1 −q
(k)
(k)
ϑ−2
)(q
)
j
j
(k)
< 1. Длительность обслуживания произ-
j
, ϑ = 2, 3, . . . . (6.8)
вольного требования из очереди Ojзадается функцией распределения
Bj(t), а длительность переналадки после акта обслуживания очереди O
задается функцией распределения¯Bj(t). В имитационной модели приняты длительности обслуживаний и переналадок одного из трех типов:
показательного, эрланговского второго порядка и равномерного. Если
выбрана система с показательно распределенным временем обслуживания и переналадок, то
(
Bj(t) =
¯
Bj(t) =
0 при t 6 0,
1 −exp{−tβ
(
−1
} при t > 0;
j,1
0 при t 6 0,
1 −exp{−t¯β
−1
} при t > 0
j,1
j
134
для всех j = 1, 2, . . . , m. Если выбрана система с эрланговским законом
распределения длительностей обслуживания и переналадок, то
(
Bj(t) =
¯
Bj(t) =
0 при t 6 0,
1 −2tβ
(
−1
exp{−2tβ
j1
−1
} − exp{−2tβ
j,1
−1
} при t > 0;
j,1
0 при t 6 0,
1 −2t¯β
−1
exp{−2t¯β
j,1
−1
} − exp{−2t¯β
j,1
−1
} при t > 0
j,1
для всех j = 1, 2, . . . , m. Для равномерного распределения
0 при t < 0,
Bj(t) =
¯
Bj(t) =
t(2β
1 при t > 2β
0 при t < 0,
t(2¯β
1 при t > 2¯β
j,1
j,1
−1
)
при 0 6 t < 2β
−1
)
при 0 6 t < 2¯β
j,1
j,1
,
j,1
;
,
j,1
.
Заметим, что математические ожидания длительностей обслуживаний
и переналадок в обоих типах систем совпадают, в то время как дисперсии для эрланговского распределения в два раза меньше, а для равномерного распределения в три раза меньше, чем для показательного
распределения. После акта обслуживания производится акт переналадки. Если по окончании переналадки очереди пусты, то на обслуживание
поступает первое пришедшее требование. Если же по окончании переналадки длины очередей описываются ненулевым вектором x, то начинается обслуживание из очереди с номером j = h(x). При имитационном
моделировании изучались m! возможных способов назначения относительных приоритетов очередям, а также обслуживание самой длинной
очереди. В последнем случае
h(x) = min{j : xj= max{xr: 1 6 r 6 m}},
так что из нескольких очередей наибольшей длины выбирается очередь с наименьшим номером. При состоянии среды e
требование из очереди Ojс вероятностью π
(k)
поступает на повторное
j,r
(k)
обслуженное
обслуживание в очередь Or, а с вероятностью
m
= 1 −
X
r=1
(k)
π
j,r
(k)
π
j,n
135
покидает систему. Наконец, смена состояния среды может происходить
только в моменты окончания актов обслуживания и актов переналадки.
Вероятность перехода среды из состояния e
такт равна a
l,k
.
(l)
в состояние e
Моделирование системы производится на интервалах (τi, τ
(k)
за один
i+1
i = 0, 1, .. . . Модель системы обслуживания содержит следующие эле-
менты: случайную среду, методы формирования входных потоков первичных требований — первый тип входных полюсов для управляющей
системы обслуживания, методы формирования входных потоков вторичных требований — второй тип входных полюсов, очереди требований по каждому потоку — внешняя память, обслуживающее устройство
с (m + 1) состоянием — внутренняя память, выходные потоки обслуженных требований — выходные полюса, метод выбора требований из очередей и выбора очереди для обслуживания — устройства по переработке
информации во внешней и внутренней памяти. В ходе моделирования
программа запоминает момент поступления bτiдля первичного требова-
ния с номером i = 1, 2, . . . . Накопитель системы представлен набором
моментов bτiпоступления находящихся в нем требований. Предположим,
что состояние χiсреды на интервале (τi, τ
был узел Γi= Γ
(s)
.
i+1
] есть e
(k)
и что активным
Следующий алгоритм — последовательность действий, выполняемых программой для моделирования одного такта работы рассматриваемой системы массового обслуживания.
],
Алгоритм XIX
Моделирование процесса обслуживания с разделением времени
и переналадками
Шаг 1. Если в момент τiокончилась переналадка и накопите-
ли пусты, то разыгрываются вспомогательные независимые случайные
величины: номер потока, по которому приходит первая группа требований, — дискретная случайная величина, принимающая значение j с
(k)
вероятностью λ
(k)
/λ
; число поступивших требований в этот вызываю-
+
j
щий момент — случайная величина, имеющая распределение (6.6)–(6.8);
и, наконец, величина промежутка времени между моментом τiи моментом поступления первого требования — случайная величина, имеющая
показательное распределение с параметром λ
(k)
. В выбранный накопи-
+
тель помещаем момент поступления этого требования.
136
Шаг 2. К началу этого шага имеется хотя бы одна не пустая очередь. Если в момент τiзавершилась переналадка, то в соответствии с
функцией переключения ˜s = h(x) выбирается номер узла обслуживания
и устанавливается Γ
i+1
живание требования, то выбираем s из условия Γi= Γ
(˜s)
= Γ
. Если же в момент τiокончилось обслу-
(s)
, Γ
i+1
= Γ
(n)
Теперь разыгрываем длительность работы прибора, используя подходящую функцию распределения B˜s(t) для длительности обслуживания
или функцию распределения¯Bs(t) для длительности переналадки. Таким образом, определено значение t∆случайной величины ∆iи следующий момент τ
окончания такта.
i+1
Шаг 3. Для потока с номером j определяем моменты поступ-
ления первичных требований на интервале (τ
− ∆i, τi]. Для этого
i+1
генерируем число поступивших требований с пуассоновским распределением с параметром λ
(k)
t∆. Наконец, для каждого из этих требований
j
получаем момент его прихода в соответствии с равномерным распределением в промежутке (τ
Шаг 4. Если Γ
i+1
i+1
6= Γ
− ∆i, τ
(n)
и χi= e
i+1
).
(k)
, то разыгрываем перенаправ-
ление требования, то есть получаем значение d дискретной случайной
величины с вероятностями π
˜s,1
, π
(k)
, . . . , π
˜s,2
(k)
значений 1, 2, . . . , n со-
˜s,n
(k)
ответственно. Если получено значение d < n, то помещаем требование
из накопителя ˜s в накопитель d, в противном случае вычисляем время
пребывания требования в системе как разность моментов первого поступления и выхода из системы и помещаем это значение в выходной
поток.
Шаг 5. Наконец, разыгрываем смену состояния случайной среды
с набором вероятностей a
k,1
, a
, . . . , a
k,2
k,d
.
.
С целью определения стационарных характеристик функционирования системы моделирование одной реализации процесса осуществлялось в два этапа. На первом этапе определялся момент входа процесса обслуживания требований и управления потоками в квазистационарный режим. С этой целью при заданном наборе параметров среды,
входных потоков, обслуживания и перенаправления на повторное обслуживание наблюдались две системы. В начальный момент времени
очереди первой системы были пусты, а длины очередей второй системы
описывались ненулевым вектором x∗∈ X. На i-м шаге фиксировался
выход из системы некоторого заданного числа требований. Затем находились оценки γi(y
(n)
) и γi(x∗) среднего времени пребывания произ-
137
вольного требования в каждой из систем. Если выполнено неравенство
|γi(y
(n)
) −γi(x∗)| > δγi(y
(n)
),
то переходили к (i + 1)-му шагу. В противном случае, то есть при
|γi(y
(n)
) −γi(x∗)| < δγi(y
(n)
),
считалось, что система достигла квазистационарного режима. Здесь постоянное число δ выбирается исследователем из интервала (0, 1). На
практике пользовались значением δ = 0,15. Определялись длительность
переходного процесса, оценка bρ загрузки системы на момент окончания
переходного процесса. На втором этапе моделировалась работа первой
системы для нахождения оценок стационарных характеристик. По каждой реализации рассчитывались следующие величины: оценкаbJ средней стоимости пребывания заявок в системе за один такт, оценка bγ
среднего времени пребывания в системе произвольного требования. Таким образом, программа позволяет проводить численную оптимизацию
управления системой по двум критериям: критерию минимального времени пребывания произвольного требования в системе и критерию минимальной стоимости пребывания требований в системе за один такт.
Отметим, что оба критерия отличаются от критерия из работы [21].
Характер изменения оценок среднего времени пребывания на переходном процессе виден из рис. 6.2–6.4. Возможны две ситуации, в
которых критерий остановки выполняется: когда оценки для обеих систем колеблются около некоторого конечного значения (рис. 6.2, 6.3) и
когда эти оценки неограниченно возрастают (рис 6.4). Во втором случае стационарный режим отсутствует. Чтобы отличить такую ложную
ситуацию от истинного квазистационарного режима, оказалось достаточно учесть оценки загрузки обеих систем на переходном процессе.
Зависимость загрузки от параметров входных потоков и параметров среды носит нелинейный характер. На рис. 6.5 представлены оценки
величины загрузки системы при различных значениях параметров потоков при m = 3, d = 2. Средние длительности обслуживаний и перена-
3
3
ладок, а также вероятности перенаправления следующие: β = (
1
1
¯
β = (
Также для j = 1, 2, 3 взяты значения b
1
,
,
8
),
4
2
π
(k)
=
1
2
131
13131
1
0
2
0
3
, k = 1, 2.
3
(1)
j
= 0, q
(1)
j
= 0, b
(2)
j
,
8
3
,
4
2
= 0,1,
),
138
Оценка среднего времени пребывания
Время пребывания
произвольного требования
0
20
40
60
80
100
120
140
номер такта
0 20 40 60 80 100 120
Начальные очерели пусты
Начальные очереди не пусты
Рис. 6.2. Изменение оценки среднего времени пребывания при оценках загрузки
систем 0,114 в изначально пустой системе (сплошная линия) и 0,124 в изначально непустой системе (пунктирная линия)
(2)
q
= 0,9. Для набора 1 приняты значения λ
j
и 3 — λ
набора 3 a
(2)
= 0,004. Наконец, для наборов 1 и 2 a
j
= 0,1, a
1,1
= 0,8. Всюду величины λ
2,2
(2)
= 0,0075, для наборов 2
j
= 0,2, a
1,1
(1)
принимают после-
j
= 0,5, а для
2,2
довательно значения 0,0025, 0,005, 0,008, 0,01, 0,016, 0,02 и 0,022. Видно, что загрузка системы как функция интенсивностей входных потоков является возрастающей функцией, обращенной выпуклостью вверх.
Заметим, что в наборах 2 и 3 при λ
(1)
¯
λ
j
интенсивность первичных потоков сохраняется при любом состоянии
среды, то загрузка системы также сохраняется. Для определения влияния параметров среды на оценку загрузки были выбраны потоки с
резко различной интенсивностью. Так, при λ
(1)
b
j
бований меньше при состоянии среды e
роятность a1= a
вательно 0, 0,05, 0,1, 0,2, 0,4, 0,6, 0,8 и 1, получили оценки загрузки,
(2)
=¯λ
= q
и оценки загрузок совпадают. Можно заключить, что если
j
(1)
j
= 0, b
(2)
= 0,1, q
j
2,1(a1,2
(2)
j
+ a
)−1состояния среды e
2,1
(1)
= 0,008 имеет место равенство
j
(1)
= 0,0005, λ
j
(2)
= 0,004,
j
= 0,9 интенсивность поступления тре-
(1)
. Положив стационарную ве-
(1)
равной последо-
139
приведенные на рис. 6.6.
Оценка среднего времени пребывания
Время пребывания произаольного
требования
0
100
200
300
400
500
номер такта
0 200 40 0 600 800
Начальные очереди пусты
Начальные очереди не пусты
Рис. 6.3. Изменение оценки среднего времени пребывания при оценках загрузки 0,830 в изначально пустой системе (сплошная линия) и 0,866 в изначально
непустой системе (пунктирная линия)
Хорошей аналитической оценкой для экспериментальных значений загрузки в случае нечетногоed оказалась величина
d
ρ = (β +¯β)(Im− πT)
X
На рис. 6.5, 6.6 предсказываемые значения лежат на прямых линиях.
Аналогично для случая четногоed и множества состояний (6.3) хорошей
аналитической оценкой оказывается величина
ρ = (β +¯β)(Im− ˜πT)
−1
X
×
j=1
m
¯
β
j,1
m
X
j=1
+ (β +¯β)(Im− ˜πT)
k=1
X
l∈C1∪C3∪...C
(β
+¯β
j,1
−1
l∈C2∪C4∪...C
a
j,1
X
k
e
d−1
)
(k)
¯
λ
.
(l)
¯
2a
λ
×
l
−1
+
(l)
¯
2a
λ
×
l
e
d
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]