Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методология и практика планирования эксперимента в России. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1918 19 > Следующая >>>

матрица M–1 = (XTX)–1 – ковариационная матрица, или матрица дисперсий-ковариаций. В ней элементы главной диагонали – дисперсии оценок коэффициентов регрессии, недиагональные элементы – ковариации. Ковариации – количественные меры взаимной зависимости при определении коэффициентов регрессии.

Критерии оптимальности

Критерии оптимальности разработаны для количественной характеристики свойств планов, что важно на практике при выборе того или иного плана. Они формулируются в терминах свойств матрицы M или матрицы M критерии, связанные со свойствами оценок коэффициентов регрессии; критерии, связанные с предсказательными свойствами уравнения регрессии; прочие критерии. Для первых двух групп критериев возможны алгебраическая и статистическая интерпретации (в первой группе к ним добавляется еще геометрическая интерпретация).

Из первой группы наиболее распространены критерии D-, A-, E- оптимальности, мизирует дисперсии всех коэффициентов регрессии, рассматриваемых как вектор (обобщенная дисперсия). Алгебраически минимум обобщенной дисперсии характеризуется минимумом определителя матрицы дисперсий-ковариаций: min det M дисперсии – это вариант статистической интерпретации критерия Dоптимальности. Для геометрической интерпретации требуется введение понятия пространства параметров. В нем координатные оси задаются значениями коэффициентов регрессии. В случае одного фактора и линейного уравнения регрессии получается двумерное пространство, так как в уравнение входят два коэффициента (b Для линейного уравнения с k факторами пространство параметров имеет размерность k + 1. Каждой точке в таком пространстве соответствует вектор оценок коэффициентов регрессии. Определитель матрицы M

–1

параметров. Центр эллипсоида совмещен с МНК-оценкой. Эллипсоид – это многомерный аналог доверительного интервала и для одномерного пространства представляет собой отрезок. Для двух параметров на плоскости получается эллипс. Такая форма доверительного интервала определяется предпосылкой регрессионного анализа о нормальном распределении.

–1

. Здесь рассматриваются три группы критериев:

ортогональность. Критерий D-оптимальности мини-

–1

. Минимум обобщенной

и b1).

пропорционален объему эллипсоида рассеяния оценок

171

Алгебраическая трактовка критерия A-оптимальности – минимум

следа матрицы дисперсий-ковариаций: min tr M

–1

. Статистически этот критерий интерпретируется как минимум средней дисперсии оценок коэффициентов, а геометрически – минимум суммы квадратов длин осей эллипсоида рассеяния и минимум длины диагонали параллелограмма, описанного вокруг эллипсоида. В случае А-оптимальности объем эллипсоида увеличен по сравнению с D-оптимальным планом, но соотношение между дисперсиями оценок более равномерно. Эллипс становится ближе к окружности, а в случае превращения эллипса в окружность точность оценок всех коэффициентов станет одинаковой. Экспериментатор оказывается перед выбором: либо получать минимальную обобщенную дисперсию при возможной резкой асимметричности величин дисперсий коэффициентов, либо иметь оценки коэффициентов с близкими дисперсиями, но с большим объемом эллипсоида рассеяния.

Критерий E

минимакс собственного значения матрицы дисперсий-ковариаций:

min max λ(M

-оптимальности алгебраически интерпретируется как

–1

). В статистической интерпретации это минимакс дисперсии оценок коэффициентов, в геометрической – минимум максимальной оси эллипсоида рассеяния. Этот критерий налагает ограничение на вытянутость эллипса. В некоторых случаях эллипсоид может получить вытянутую, бананообразную форму. Соответствующие коэффициенты будут иметь большие ошибки. Критерий E-оптимальности позволяет избежать таких вариантов, так как

минимизирует самую

длинную ось эллипсоида рассеяния.

Последний из рассматриваемых в этой группе критериев оптимальности – критерий ортогональности приводит к диагональной матрице дисперсий-ковариаций (алгебраическая интерпретация):



ji ui













Статистическая интерпретация формулируется как независимость оценок параметров: cov(b

bu) = 0, j ≠ u. Геометрическая интерпрета-

ция: направление главных осей эллипсоида рассеяния совпадает с направлением координатных осей пространства параметров. Другие критерии оптимальности первой группы вместе с рассмотренными критериями приведены в руководствах [71, 151].

172

Критерии оптимальности второй группы интерпретируются в



терминах факторного пространства и функции отклика. Если ставится задача предсказания отклика с помощью модели, то оказывается важной ошибка предсказания. Критерий G-оптимальности обеспечивает минимум максимального значения дисперсии оценки поверхности отклика d(x). Это статистическая интерпретация. В алгебраической интерпретации: min max d(x,ε), d(x) = f

(x)Df(x).При применении

G-критерия в области планирования не останется точек с низкой

точностью оценки поверхности отклика.

Критерий

Q-оптимальности в статистической интерпретации

обеспечивает минимум средней дисперсии оценки поверхности отклика в области планирования v. В алгебраической интерпретации

этот критерий записывается так:

min d , dxx





. К критериям оп-

тимальности второй группы относятся ротатабельность и униформность. Ротатабельность обеспечивает постоянство дисперсии предсказания на равных расстояниях от центра эксперимента, а униформность – постоянство дисперсии предсказания в некоторой области вокруг центра эксперимента.

Критерии оптимальности третьей группы довольно многочислен-

ны и здесь приведены только некоторые из них:

Простота вычислений. Она обеспечивается симметричностью,

равноповторностью (одно и то же число повторений для каждого опыта), ортогональностью плана.

Композиционность. Это такое добавление опытов к исходному

плану при введении новых факторов, уровней факторов, усложнении модели, при котором нет потери опытов исходного плана. Например, от полуреплики 2 менту 2

Близость выбранного плана к насыщенному. Выбор плана с

небольшим числом опытов.

4–1

можно перейти к полному факторному экспери-

В насыщенном линейном плане число

опытов N = k + 1, где k – число факторов. Если добавить к такому плану условие ортогональности, то можно применять дробные факторные планы. Так, полный факторный эксперимент имеет 2 опытов, а дробный факторный план 2

Исключение влияния неоднородностей экспериментального

материала или внешней среды.

7–4

= 8 опытов.

Это достигается разбиением плана

= 128

на блоки, выбором плана, ортогонального к дрейфу и пр.

173

Теория критериев оптимальности планов стала развиваться американским математиком Дж. Кифером с сотрудниками в1950–1960-х годах. Сначала была создана теория непрерывного планирования эксперимента. Для линейных по параметрам моделей были предложены критерии оптимальности на основе представлений об эффективности в математической статистике. На первом этапе исследова-

ний выделена группа критериев разных значений параметра «р»

-эффективности, включающая для

D-, A-, E-критерии. При обобщении

понятия плана и создании непрерывных планов, задаваемых вероятностной мерой (не приводящей после умножения на число опытов к целочисленным значениям), была доказана теорема: план оптимален только тогда, когда он

G-оптимален и когда максималь-

D-

ная дисперсия предсказанного значения функции отклика равна числу неизвестных параметров.

Теорию Кифера можно рассматривать как продолжение теории эффективных оценок Фишера – одного из основных направлений современной математической статистики. У Фишера эффективность оценок определяется оптимальным способом обработки результатов наблюдений. В теории Кифера эффективность задается еще и оптимальным расположением точек в пространстве независимых переменных. Для разных типов моделей были разработаны аналитические и численные методы построения оптимальных непрерывных

Ф-

планов, в которых минимум функционала ковариационных матриц оценок параметров сводится к последовательности задач поиска экстремума в пространстве небольшой размерности.

Теория Кифера встретила трудности при практическом примене-

D-оптимальные планы включали большое число опытов.

нии. Например, при числе независимых переменных k = 5 требовалось более 1000 опытов. Непрерывные

Ф-оптимальные планы даже для

стандартных симметричных областей планирования при практическом использовании требуют округления, что приводит к потере эффективности. Округленные планы не обладают свойством симметрии и другими полезными свойствами. Для полиномиальных моделей второго и выше порядков многие критерии несовместимы друг с другом.

В межфакультетской лаборатории статистических методов МГУ было проведено численное сравнение эффективности планов по нескольким критериям. В частности, на основе критерия

D-

оптимальности проведено сравнение композиционных планов второ-

174

го порядка. Планы типа 2к оказались D-, G-, A-, E- оптимальными, ортогональными и ротатабельными. Для этих планов

XTX = NE, где

E – единичная матрица. Матрица X, состоящая из +1 и –1, при таком

условии называется матрицей Адамара. Матрицы полного факторного эксперимента и некоторых дробных реплик входят в такой класс планов [13].

В ряде случаев критерии оптимальности оказываются противоречивыми, и тогда появляется задача поиска компромиссных планов. Можно выбрать или генерировать на ЭВМ оптимальный план для одного критерия и

квазиоптимальный для других критериев.

175

Приложение 2

Цитирование статей В. В. Налимова

по математической статистике и планированию эксперимента

В 1960-е годы были написаны шесть статей, в том числе первый обзор по планированию экстремального эксперимента в химии (Успехи химии, 1960, № 11), две статьи в журнале «Заводская лаборатория» («Методы кибернетики – в практику работы лабораторий», 1962, № 7; «Кибернетика в координации научно-исследовательских работ», 1964, № 3), статья в сборнике «Кибернетика и документалистика» (Информационная римента, 1966), статья в информационных материалах Совета по кибернетике («Применение кибернетики и вычислительной техники в химии», 1967, № 6) и статья в коллективной монографии «Новые идеи в планировании эксперимента» (1969). На эти публикации получены 12 ссылок: на три статьи по одной ссылке, на две статьи по две ссылки,

явились в Информационных материалах Совета по кибернетике («Химическая кибернетика», 1970, 1972; секция «Математическая теория эксперимента», 1977), три статьи появились в журнале «Заводская лаборатория» («Влияние математической статистики и кибернетики на методологию научных исследований», 1970, № 10; « планирования эксперимента: достигнутое и ожидаемое», 1977, № 10; «Анализ трудностей, связанных с построением нелинейных по параметрам моделей в задачах химической кинетики», 1978, № 3). Были опубликованы также статья в журнале Technometrics (1970, № 4) по практическому применению концепции ле «Природа», 1970, № 11 («Наука и биосфера, опыт сравнения двух систем»). Семь статей из этого списка получили по одной ссылке и одна статья – две ссылки.

одна статья по информационной системе получила пять ссылок.

В 1970-х годах были опубликованы восемь статей. Три статьи по-

система по математической теории экспе-

Теория

D-оптимальности и статья в журна-

176

Приложение 3

Терминологический словарь

Основные понятия

Активный эксперимент

Эксперимент, в котором уровни всех рассматриваемых факторов для каждого опыта задаются экспериментатором

Архитектура плана Расположение точек, в которых ставится

эксперимент, в факторном пространстве

Опыт Воспроизведение исследуемого явления в

определенных условиях проведения эксперимента при возможности регистрации его результатов

Отклик Наблюдаемая случайная переменная, по

предположению зависящая от факторов

Основной уровень фактора

Пассивный эксперимент

Натуральное значение фактора, соответствующее нулю в безразмерной шкале

Эксперимент, в котором уровни факторов для каждого опыта не задаются экспериментатором, а только регистрируются

Планирование эксперимента

Процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью

Поверхность отклика

Регрессионная модель

_____________

При составлении словаря использовались стандарты [160, 161] из списка на с .93

Геометрическое представление функции отклика

Уравнение, получаемое с помощью регрессионного анализа

177

Модели, планы, методы

Адекватность математической модели

Соответствие математической модели экспериментальным данным по выбранному критерию

Генератор плана Алгебраическое выражение, используемое

при построении дробного факторного плана

Греко-латинский квадрат

План дисперсионного анализа, образованный наложением двух ортогональных латинских квадратов

Дисперсионный анализ

Статистический метод анализа и обработки экспериментальных данных при воздействии на отклик только качественных факторов, основанный на использовании техники статистической проверки гипотез и представлении общей вариации экспериментальных данных в виде суммы вариаций, обусловленных исследуемыми факторами и их взаимодействиями

Дробный факторный план (дроб-

План, содержащий часть комбинаций полно-

го факторного плана ная реплика полного факторного плана)

Информационная матрица

Композиционность плана

Критерий оптимальности

178

Нормированная матрица моментов плана

Свойство плана, позволяющее выполнять

эксперимент последовательно, переходя от

более простых моделей к более сложным

Мера эффективности, позволяющая из мно-

жества возможных планов выбрать опти-

мальный

Латинский квадрат

План дисперсионного анализа, задаваемый расположением некоторого числа символов в ячейках, сгруппированных в строки и столбцы так, что каждый символ встречается один раз в каждой строке и в каждом столбце

Матрица моментов плана

Квадратная симметричная матрица, элементы которой есть скалярные произведения соответствующих векторов-столбцов матрицы базисных функций

Матрица плана Стандартная форма записи условий прове-

дения экспериментов в виде прямоугольной таблицы, строки которой отвечают опытам, столбцы – факторам или функциям от них

Метод крутого восхождения

Метод экспериментальной оптимизации, сочетающий полный или дробный факторный эксперимент с движением по градиенту функции отклика

Модель дисперсионного анализа

Насыщенность плана

Зависимость отклика от качественных факторов и ошибок наблюдений отклика

Свойство плана, задающееся разностью между числом точек спектра плана и числом оцениваемых параметров модели

Область оптимума Область факторного пространства, отвеча-

ющая оптимальным результатам и условиям эксперимента

Ортогональность плана

Отсеивающий эксперимент

Свойство плана, при котором матрица моментов для заданной модели диагональна

Эксперимент для сокращения общего числа факторов за счет исключения тех из них, которые оказывают малое влияние на отклик

179

План взвешивания

План первого порядка, включающий факто-

ры на двух или трех уровнях

План главных эффектов

План при моделировании диаграмм состав–свойство

План Саттерзвайта (метод случайного баланса)

План эксперимента второго порядка

План эксперимента первого порядка

Планы Плакетта– Бермана

Полиномиальная модель

План мощности 2. Ему соответствует мо-

дель, содержащая эффекты уровней и не со-

держащая взаимодействий

План на (n – 1)-мерном правильном сим-

плексе с n вершинами при соблюдении

условий Σxi = 1, xi ≥ 0 (i = 1,..., n)

Метод планирования эксперимента, предна-

значенный для отсеивания факторов

План с более чем двумя уровнями факторов

для нахождения оценок параметров регрес-

сионной модели второго порядка

План с двумя или более уровнями факторов,

позволяющий найти раздельные оценки па-

раметров регрессионной модели первого

порядка

Класс насыщенных ортогональных планов с

числом наблюдений, кратным четырем

Модель регрессионного анализа, линейная

по параметрам, задаваемая полиномом по

факторам

Полный факторный план

Регулярный факторный план мощности d

Ротатабельность плана

180

План, содержащий все возможные комбина-

ции всех факторов на определенном числе

уровней равное число раз

Из всего множества включенных в экспери-

мент факторов для d факторов выполняется

условие пропорциональности частот

Свойство плана, при котором дисперсия

оценки функции отклика зависит только от

расстояния от центра плана

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1918 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]