Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод конечных элементов для моделирования устройств и систем. Учебное пособие
.pdf
3.3. Основные сведения о синтаксисе языка Python
71
5. УРАВНЕНИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЗАДАЧИ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА
Метод конечных элементов используется в различных задачах тех-
ники: в оценке прочности конструкции, в гидравлике, в электротехнике, в
исследовании теплопроводности. Численное моделирование процессов
теплопроводности методом конечных элементов в настоящее время играет
важную роль, поскольку для современных устройств и систем микроэлектроники, объектов теплоэнергетики, авиации, атомной энергетики и других
областей необходимо получить достоверный прогноз данных процессов,
так как их экспериментальное исследование очень сложный и дорогостоящий процесс, а иногда и вовсе невозможный. Численное моделирование
процессов теплопроводности является работой многих научно-исследовательских, проектно-конструкторских и производственных организаций.
Распределение температуры будет описываться уравнением тепло-
проводности, которое в векторной форме имеет вид [48]
zyxfTgradzyxkdiv
t
T
zyxCzyx ,,,,,,,,
, (44)
где
zyx ,,
– плотность;
zyxC ,,
– удельная теплоемкость;
zyxk ,,
– коэффициент теплопроводности;
zyxf ,,
– плотность ис-
точника тепла; T – температура; t – время; x, y, z – координаты.
Для решения тепловой задачи уравнения метода конечных элемен-
тов можно представить в следующем виде [7, 20, 48]:
,T[K] F
(45)
где
K
– матрица теплопроводности конструкции; T – вектор глобаль-
ных узловых температур; F – глобальный вектор нагрузки (тепловой).
Матрица теплопроводности конструкции равна сумме матриц теп-
лопроводности всех элементов конструкции:
,[K]
1
n
i
e
K
(46)
где
K
e
– матрица теплопроводности элемента.
Матрица теплопроводности элемента может быть представлена как
5. Уравнения метода конечных элементов для задачи переноса тепла
72
],][[][ BDBVK
T
e
(47)
где V – объем тетраэдра.
Матрица теплопроводности
B
зависит от координат узлов элемен-
тов так же, как и для прочностных задач. Она получает дифференцированные функции формы.
Матрица свойств материала
D
включает коэффициенты теплопро-
водности:
,0000
00
D
zz
yy
xx
K
K
K
(48)
где
xx
K
,
yy
K
,
zz
K
– коэффициенты теплопроводности в направлениях
x, y, z.
Формирование глобальной матрицы теплопроводности, т.е. построение ее суммированием из отдельных матриц теплопроводности элементов, производится аналогично задачам термоупругости.
Решением глобальной системы алгебраических уравнений (45) является поле температур, представленное в узловых точках значениями коэффициентов глобального вектора T.
В случае, когда решается задача по определению установившегося
распределения температуры (например, в случае, когда распределение источников не зависит от времени), из нестационарного уравнения выбрасывают члены уравнения, которые связаны со временем. Тогда получается
стационарное уравнение теплопроводности, принадлежащего к классу эллиптических уравнений. Так как эллиптические уравнения не зависят от
времени, то для них определяются только краевые условия.
Для стационарного случая тепловую задачу можно записать в следующем виде:
.0T[K]
(49)
3.3. Основные сведения о синтаксисе языка Python
73
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что представляет из себя математическое моделирование?
2. Когда применяются методы аналитического и численного моде-
лирования?
3. Перечислите основные методы численного моделирования задач
математической физики.
4. Приведите достоинства и недостатки метода конечных разно-
стей.
5. В чем заключаются основные особенности метода контрольных
объемов?
6. Перечислите основные особенности метода конечных элементов.
7. Перечислите, какие вам известны математические модели эле-
ментной базы микроэлектронных устройств?
8. Какое дифференциальное уравнение является эллиптическим,
параболическим и гиперболическим?
9. В чем суть пространственной задачи теории упругости?
10. Как производится описание свойств конечного элемента в ме-
тоде конечных элементов?
11. Каковы начальные данные, необходимые для выполнения рас-
чета методом конечных элементов?
12. Какие виды конечных элементов Вам известны?
13. Что такое матрица упругости в методе конечных элементов?
14. Что такое матрица жесткости в методе конечных элементов?
15. Как находится матрица жесткости элемента?
16. Как находится матрица жесткости системы?
17. Перечислите особенности составления системы уравнений мето-
дом конечных элементов для конструкций.
18. Расскажите об особенностях аппроксимации границ тел сложной
формы с помощью тетраэдральных элементов.
19. Перечислите особенности составления глобальной матрицы
жесткости для задач теории упругости.
20. В чем заключаются основные особенности программной реали-
зации напряженно-деформированных состояний конструкций?
Контрольные вопросы
74
21. Перечислите основные этапы расчета конструкции на прочность
методом конечных элементов.
22. Перечислите основные факторы, оказывающие влияние на по-
грешность метода конечных элементов.
23. Как выполняется проверка результатов расчета методом конеч-
ных элементов?
24. Перечислите основные требования к генераторам сеток для ре-
шения задач методом конечных элементов.
25. Перечислите основные особенности применения сеточного гене-
ратора GMSH для решения задач методом конечных элементов.
26. Расскажите об основных шагах построения геометрий расчетных
областей и генерации сеток в сеточном генераторе.
27. В чем заключаются особенности алгоритмического языка Python
для реализации метода конечных элементов?
28. Как библиотека Numpy алгоритмического языка Python исполь-
зуется для реализации численных расчетов?
29. Перечислите основные функции библиотеки Numpy алгоритми-
ческого языка Python.
30. Как выглядит уравнение теплопроводности для конструкции?
31. Расскажите о применении метода конечных элементов для задач
теплопроводности.
Заключение
75
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Современный уровень развития информационных технологий дает
возможность реализовать компьютерное моделирование различных объектов для оптимизации их параметров и характеристик, сократить процесс
конструирования, а также избежать возможных ошибок на стадии проектирования и уменьшить финансовые затраты на процесс производства. Метод
конечных элементов является эффективным методом решения самых разнообразных задач механики, математической физики и техники. Он стал
фундаментальным методом механики по определению напряжённо-деформированного состояния сложных инженерных конструкций. Широкому
применению метода конечных элементов способствует то, что данный метод позволяет проводить численный анализ в областях сложной геометрической формы, принимать во внимание особенности граничных условий и
теплофизические свойства материалов. Метод конечных элементов составляет алгоритмическую основу многих пакетов прикладных программ, используемых в различных сферах человеческой деятельности.
Задачи теории упругости относятся к разделу механики деформируемого твердого тела, имеющему большое количество приложений в научных исследованиях и инженерных расчетах прочности конструкций. Определение прочности и степени разрушения отдельных элементов и конструкции в целом и с учетом всех характерных особенностей конфигурации элемента, свойств материала имеет важное значение при определении
модели взаимодействия.
Практическое применение метода конечных элементов базируется
на использовании матричной алгебры и современных вычислительных машин. Развитие компьютеров позволяет моделировать сложные физические
явления, что дает возможность варьировать базовыми параметрами исследуемой системы с целью получения оптимальных характеристик прочности и надежности. Использование метода конечных элементов и вычислительных алгоритмов дает возможность наиболее точно учитывать геометрию моделируемых объектов, для чего находят широкое применение неструктурированные сетки, построенные с помощью специальных сеточных
генераторов (например, GMSH).
Заключение
76
Алгоритмический язык Python является удобным интерпретируе-
мым объектно-ориентированным языком и интерактивной средой для
программной реализации задач при решении их методом конечных элементов.
Python имеет огромный потенциал для разработки программ, посвящённым математическому моделированию различных процессов. Особенности данного языка дают возможность создать кроссплатформенную,
легко изменяемую программу в довольно небольшие сроки. В пособии
приведена программа на алгоритмическом языке Python, реализующая все
этапы расчета прочностных характеристик конструкций методом конечных элементов.
3.3. Основные сведения о синтаксисе языка Python
77
ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Zienkiewich, O. C., Taylor, R. L. The Finite Element Method. – Butter-
worth-Heinemann, Oxford, 2000. – 690 p.
2. Wriggers, P., Nackenhorst, U. Analysis and Simulation of Contact Prob-
lems. – Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2006. – 393 p.
3. Kattan, P. I. Matlab Guide to Finite Elements. – Springer-Verlag, Berlin
Heidelberg, 2008. – 430 p.
4. Klaus-Jurgen, Bathe Finite Element Procedures in Engineering Analysis. –
Prentice-Hall, New Jersey, 1982. – 735 p.
5. Kolditz, O., Gorke, Uwe-Jens, Shao, H., Wang, W. Thermo-Hydro-Mechan-
ical-Chemical Processes in Fractured Porous Media. – Springer-Verlag,
Berlin Heidelberg, 2012. – 391 p.
6. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике [Текст] / О. Зенке-
вич. – Москва: МИР, 1975. – 271 с.
7. Овчаренко, В. А. Расчет задач машиностроения методом конечных
элементов [Текст] / В. А. Овчаренко. – Краматагорск: ДГМА, 2004. –
128 с.
8. Иванов, В. Н. Основы метода конечных элементов и вариационно-раз-
ностного метода [Текст] / В. Н. Иванов. – Москва: Изд-во РУДН, 2008.
– 198 с.
9. Chandrupatla, Tirupathi R., Belegundu, Ashok D. Introduction to Finite El-
ements in Engineering. – New Jersey, Prentice Hall, 2002. – 473 p.
10. Клованич, С. Ф. Метод конечных элементов в нелинейных задачах ин-
женерной механики [Текст] / С. Ф. Клованич. – Запорожье, 2009. –
400 с.
11. Сагдеева, Ю. А. Введение в метод конечных элементов [Текст] /
Ю. А. Сагдеева, С. П. Копысов, А. К. Новиков. – Ижевск: Изд-во «Удмуртский университет», 2011. – 44 с.
12. Клованич, С. Ф. Метод конечных элементов в нелинейных расчетах про-
странственных железобетонных конструкций [Текст] / С. Ф. Клованич,
Д. И. Бездушко. – Одесса: Изд-во ОНМУ, 2009. – 89 с.
13. Сычугова, Е. П. Метод конечных элементов для решения уравнения
переноса на неструктурированных тетраэдральных сетках [Текст] /
Е. П. Сычугова, Е. Ф. Селезнев. – Москва: ИБРАЭ РАН, 2014. – 21 с.
Используемая литература
78
14. Дорохова, Т. Ю. Моделирование конструкций и технологических про-
цессов производства электронных средств [Текст] / Т. Ю. Дорохова. –
Тамбов, 2013. – 44 с.
15. Трусов, П. В. Введение в математическое моделирование [Текст] /
П. В. Трусов. – Москва: Логос, 2004. – 440 с.
16. Блинов, Ю. Ф. Методы математического моделирования [Текст] /
Ю. Ф. Блинов, В. В. Иванцов, П. В. Серба. – Таганрог: ТТИ ЮФУ,
2012. – 42 с.
17. Рындин, Е. А. Методы численного решения уравнений математиче-
ской физики [Текст] / Е. А. Рындин, И. В. Куликова, И. Е. Лысенко. –
Таганрог: Изд-во ЮФУ, 2014. – 179 с.
18. Мелан, Э. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными
температурными полями [Текст] / Э. Мелан, Г. Паркус. – Москва:
ФИЗМАТЛИТ, 1958. – 165 с.
19. Розин, Л. А. Задачи теории термоупругости и численные методы их
решения [Текст] / Л. А. Розин. – Санкт-Петербург: СПбГТУ, 1998. –
532 с.
20. Тимошенко, С. П. Теория упругости [Текст] / С. П. Тимошенко,
Дж. Гудьер. – Москва: Наука, 1979. – 560 с.
21. Geuzaine, C., Remacle, J.-F. Gmsh: a Three Dimensional Finite Element
Mesh Generator with Built-in Pre- and Post-processing Facilities // International Journal for Numerical Methods in Engineering. – 2009. – № 79(11).
– P. 1309–1331.
22. Фирсов, Д. К. Метод контрольного объема на неструктурированной
сетке в вычислительной механике [Текст] / Д. К. Фирсов. – Томск,
2007. – 72 с.
23. Гаспарян, М. М. Решатель уравнения Больцмана на неструктурирован-
ных пространственных сетках [Текст] / М. М. Гаспарян, А. С. Самонов,
Т. А. Сазыкина, Е. Л. Остапов, А. В. Сакмаров, О. К. Шайхатаров // Компьютерные исследования и моделирование. – 2019. – № 3. – С. 427–447.
24. Мондрус, В. Л. Особенности численного решения краевых задач на ал-
горитмическом языке Python [Текст] / В. Л. Мондрус, Д. К. Сизов //
International Journal of Computational Civil and Structural Engineering. –
2018. – 14(1). – C. 126–136.
Используемая литература
79
25. Сысоева, М. В. Программирование для «нормальных» с нуля на языке
Python [Текст] / М. В. Сысоева, И. В. Сысоев. – Москва: Базальт СПО;
МАКС Пресс, 2018. – 176 с.
26. Бейдер, Д. Тонкости программирования для профи [Текст] / Д. Бейдер.
– Санкт-Петербург: Питер, 2018. – 288 с.
27. Буйначев, С. К. Основы программирования на языке Python [Текст] /
С. К. Буйначев, Н. Ю. Боклаг. – Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та,
2014. – 91 с.
28. Еникеева, Л. В. Основы программирования на языке Python [Текст] /
Л. В. Еникеева, В. Ф. Шамшович, Н. Ю. Фаткуллин. – Уфа: Изд-во
УГНТУ, 2018. – 81 с.
29. Dobrovinskaya, E. R., Lytvynov, L. A., Pishchik, V. V. Sapphire. Material,
Manufacturing, Applications. – New York: Springer, 2009. – 481 p.
30. Akselrod, M. S., Bruni, F. J. Modern Trends in Crystal Growth and New Ap-
plications of Sapphire // Journal of Crystal Growth. – 2012. – № 360 (1). –
P. 134–145.
31. Malyukov, S. P., Stefanovich, B. A., Cherednichenko, D. I. Study of Model of
Self-coordinated Growth of Single Crystals of Sapphire by Horizontal Directed Crystallization // Semiconductors. – 2008. – № 42 (13). – P. 1508–
1511.
32. Любов, Б. Я. Теория кристаллизации в больших объемах [Текст] /
Б. Я. Любов. – Москва: Наука, 1975. – 420 с.
33. Френкель, Я. И. Кинетическая теория жидкостей [Текст] / Я. И. Френ-
кель. – Ленинград: Наука, 1975. – С. 592.
34. Malyukov, S. P., Klunnikova, Yu. V. Physical and Technological Fundamen-
tals of Sapphire Production for Electronics. In: Nano- and Piezoelectric
Technologies, Materials and Devices // USA: Nova Science Publishers. –
2013. – P. 133–150.
35. Palkech, J., Kajan, J., Malyukov, S., Mikita, M., Medvecky, S. Numerical
Simulation of Heat Transfer in a Furnace Heating Unit for Horizontal Direct
Crystallization of Sapphire Single-Crystal // American Journal of Energy
and Power Engineering. – 2017. – № 4(6). – P. 76–83.
36. Theodore, F., Duffar, T., Louchet, F. Modelling Plastic Stress Relaxation
in Shaped Sapphire Crystal Growth // Journal of Crystal Growth. – 1999. –
№ 198. – P. 232–238.
Используемая литература
80
37. Gurarie, V. N., Ostuka, P. H., Jamienson, D. N., Prawer, S. Raman-based
Analysis of Implantation-induced Expansion and Stresses in Sapphire Crystals // Journal of Material Research. – 2005. – № 20. – P. 1131 – 1138.
38. Chenghai, X., Songhe, M., Mingfu, Z., Hongbo, Z., Guigen, W. Thermal
Stresses and Cracks During the Growth of Large-sized Sapphire with
SAPMAC Method // Chinese Journal of Aeronautics. – 2007. – № 20. –
P. 475–480.
39. Mao, W. G., Shen, Y. G., Lu, C. Nanoscale Elastic–plastic Deformation and
Stress Distributions of the C Plane of Sapphire Single Crystal during
Nanoindentation // Journal of European Ceramic Society. – 2011. – № 31.
– P. 1865–1871.
40. Wermelinger, T., Borgia, C., Solenthaler, C., Spolenak, R. 3-D Raman
Spectroscopy Measurements of the Symmetry of Residual Stress Fields in
Plastically Deformed Sapphire Crystals // Acta Materialia. – 2007. – № 55.
– P. 4657–4665.
41. Castillo-Rodrigues, M., Munoz, A., Castaing, J., Veyssiere, P., Dominguez-
Rodrigues, A. Basal Slip Latent Hardening by Prism Plane Slip Dislocations
in Sapphire (α-Al2O3) // Acta Materialia. – 2010. – № 58. – P. 5610–5619.
42. Krymov, V. M., Nosov, Yu. G., Backholdin, S. I., Maslov, V. N., Shulpina,
I. L., Shcheglov, M. P. Block Structure and Residual Stresses in Tubular
Sapphire Single Crystals Grown by the Stepanov Method // Physics of the
Solid State. – 2015. – № 57. – P. 2257–2263.
43. Knyazeva, M. A., Bronwald, I. A., Andronikova, D. A., Lityagin, G. A., Bosak,
A. A., Paraskevas, P., Roleder, K., Majchrowski, A., Fotiadi, A. E.,
Filimonov, A. V., Burkovsky, R. G. Modulated Structures in PbHfO3 Crystals
at High-pressure-high-temperature Conditions // Defect and Diffusion
Forum. – 2018. – № 386. – P. 149–155.
44. Udovenko, S. A., Chernyshov, D. Y., Andronikova, D. A., Filimonov, A. V,
Vakhrushev, S. B. The Technique of Studying X-Ray Scattering over Wide
Temperature Range in an Electric Field // Physics of the Solid State. – 2018.
– № 60 (5). – P. 963–966.
45. Bathe, K.-J. Finite Element Procedures in Engineering Analysis. – New Jer-
sey: Prentice-Hall, 2nd edition, 2014. – 1065 p.
46. Kolditz, O., Gorke, U.-J., Shao, H., Wang, W., Bayer, S. Thermo-Hydro-Me-
chanical-Chemical Processes in Fractured Porous Media: Modelling and
Benchmarking. – Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2016. – 243 p.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]