Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод конечных элементов для моделирования устройств и систем. Учебное пособие
.pdf
2.3. Линейный тетраэдральный элемент
21
.
0000
0000
0000
00000000
00000000
00000000
44
33
2211
441
3
2211
44
33
2211
33
21
2221
4
3
21
x
N
z
N
x
N
z
N
x
N
z
N
x
N
z
N
y
N
z
N
y
N
z
N
y
N
z
N
y
N
z
N
x
N
y
N
x
N
y
N
x
N
y
N
x
N
y
N
z
N
z
N
z
N
z
N
y
N
y
N
y
N
y
N
x
N
x
N
x
N
x
N
B
(26)
Функции формы
1
N
,
2
N
,
3
N
,
4
N
определяются по следующим фор-
мулам:
),(
6
1
11111
zyx
V
N
),(
6
1
22222
zyx
V
N
(27)
),(
6
1
33333
zyx
V
N
),(
6
1
44444
zyx
V
N
где
1
,
2
,
3
,
4
,
1
,
2
,
3
,
4
,
1
,
2
,
3
,
4
,
1
,
2
,
3
и
4
находятся на основании следующих выражений:
,
444
333
222
1
zyx
zyx
zyx
,
444
333
111
2
zyx
zyx
zyx
,
444
222
111
3
zyx
zyx
zyx
,
333
222
111
4
zyx
zyx
zyx
(28)
2. Метод конечного элемента
22
,
1
1
1
44
33
22
1
zy
zy
zy
,
1
1
1
44
33
11
2
zy
zy
zy
,
1
1
1
44
22
11
3
zy
zy
zy
,
1
1
1
33
22
11
4
zy
zy
zy
(29)
,
1
1
1
44
33
22
1
zx
zx
zx
,
1
1
1
44
33
11
2
zx
zx
zx
,
1
1
1
44
22
11
3
zx
zx
zx
,
1
1
1
33
22
11
4
zx
zx
zx
(30)
,
1
1
1
44
33
22
1
yx
yx
yx
,
1
1
1
44
33
11
2
yx
yx
yx
,
1
1
1
44
22
11
3
yx
yx
yx
,
1
1
1
33
22
11
4
yx
yx
yx
(31)
Матрица
D
может быть определена по формуле:
,
2
21
00000
0
2
21
0000
00
2
21
000
0001
0001
0001
)21)(1(
E
D
(32)
2.4. Особенности применения метода конечных элементов
23
где E – модуль Юнга; v – коэффициент Пуассона.
Линейный тетраэдральный элемент имеет двенадцать степеней сво-
боды – по три в каждом узле. Таким образом, для конструкции с n узлами
глобальная матрица жесткости K будет иметь размерность
nn 33
(так как
мы имеем по три степени свободы в каждом узле).
Когда получена глобальная матрица жесткости, необходимо решить
следующее уравнение:
,FUK
(33)
где U – вектор глобальных узловых перемещений; F– вектор глобальных узловых сил. На данном шаге граничные условия задаются в основном
для векторов U и F.
В результате решения уравнения (33) определяется вектор узловых
перемещений, который затем применяется для вычисления напряжений и
деформаций в исследуемой конструкции.
После того, как посчитаны перемещения, вектор напряжения находится для каждого элемента:
,UBD
(34)
где – вектор напряжений в элементе (размером
16
), U – вектор пере-
мещений с размером
.112
Вектор записывается для каждого элемента
следующим образом:
.
T
zzyzxyzyx
(35)
2.4. Особенности применения метода конечных элементов
При практическом использовании метода конечных элементов следует учитывать точность и длительность проводимого расчета. Точность
расчета во многом зависит от размера конечных элементов. Проверка модели означает, что мы гарантируем, что уравнения модели решаются с не-
2. Метод конечного элемента
24
обходимой точностью и отражают физическую реальность. Проверку точности расчета можно проводить путем повторного расчета с элементами,
размер которых уменьшен на 20–30 % относительно разбивки в предыдущем расчете. Если отличие результатов этих расчетов меньше чем требуемая погрешность, то расчет верен. В противном случае необходимо проверить введенные данные, правильность работы программы и уменьшить конечные элементы.
Длительность расчета и требуемая память компьютера пропорцио-
нальны квадрату числа узлов, следовательно, при сокращении размера элементов (т.е. увеличении числа элементов и узлов) возможна недостаточность
ресурсов компьютера или получение ответа через долгое время.
Для экономии времени и памяти компьютера для производимого
расчета возможно:
‒ использование неравномерной сетки при разбивке на конечные
элементы. Элементы могут быть меньше в местах сосредоточения концентрации напряжения, приложения сил и точечных закреплений;
‒ исследование части симметричной детали. Не учитываемые ча-
сти детали рассматриваются в виде граничных условий;
‒ использование более простых конечных элементов.
Критерии устойчивости, сходимости и точности главным образом
рассчитываются погрешностями операций, выполняемых в методе конечных элементов. Вместе с обычными ошибками округления и погрешностью
приближенных методов линейной алгебры, используемых в методе конечных элементов, существуют также ошибки, непосредственно связанные с
методом конечных элементов. Поскольку деление области на конечные
элементы не будет единственным, то производимый пользователем выбор
сетки конечных элементов и трудность оценки точности получаемых результатов относятся к главным недостаткам данного метода.
Таким образом, погрешности метода конечных элементов связаны с
ошибками дискретизации, которые возникают из-за разницы между действительной геометрией исследуемой области и ее аппроксимации конечными элементами, а также ошибками аппроксимации, которые возникают
из-за различий между действительным распределением искомых функций
в пределах конечного элемента и их представлением с помощью аппроксимирующих функций. Универсального метода оценки погрешности метода
2.4. Особенности применения метода конечных элементов
25
конечных элементов пока не существует, поэтому наиболее часто для
оценки погрешности проводят серию расчетов при различных разбиениях
области конечного элемента, по результатам данных исследований получают зависимость рассчитанных напряжений (перемещений, деформаций)
от размера элемента, а также осуществляют экстраполяцию на случай размера элемента, стремящегося к нулю.
При исследовании методом конечных элементов часто не видно, от
каких параметров зависит результат и что именно необходимо сделать для
его улучшения. Для ответа на данные вопросы, как правило, необходимо
провести новые расчеты с измененными данными, что во многом неэффективно. Однако по аналитическому уравнению хорошо виден физический
смысл исследуемого процесса и переменные, от которых зависит результат.
Приближенный быстрый расчет с помощью аналитического метода может
позволить проверить реальность результатов, выполненных с помощью метода конечных элементов, установить наличие каких-либо ошибок, если
они имеются в данном расчете.
Таким образом, аналитический метод и численный метод конечных
элементов дополняют друг друга. Метод конечного элемента следует применять для точного окончательного расчета и численного эксперимента,
заменяющего натуральный. Аналитические методы необходимо использовать для понимания физического смысла исследуемого процесса, выполнения предварительных оценочных расчетов и для оценочного контроля численного метода конечных элементов.
26
3. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННЫХ
СОСТОЯНИЙ КОНСТРУКЦИЙ
Для метода конечных элементов свойственны особенности, которые
необходимо принимать во внимание при выборе и разработке программы
расчета. Такими особенностями являются большие объемы исходных данных, промежуточных и окончательных результатов расчета. Таким образом,
расчет по методу конечных элементов состоит из трех основных этапов:
‒ разработка расчетной конечно-элементной схемы и подготовка
исходных данных;
‒ проверка проводимого расчета;
‒ обработка результатов расчета.
Программы для определения напряженно-деформированного состояния конструкций строятся, как правило, по модульному принципу. К основным модулям относят ввод исходных данных, формирование матрицы жесткости конструкции, ввод граничных условий, решение разрешающей системы уравнений, вычисление внутренних сил и напряжений.
Расчет конструкции на прочность методом конечных элементов
включает следующие этапы [11, 12]:
1. Построение геометрической модели и ее разбиение на конечные
элементы. Определение действующих нагрузок и граничных условий. Формирование конечно-элементной модели.
На данном этапе создается геометрия модели конструкции с учетом
тех параметров, которые могут оказать значительное влияние на результаты
расчетов; задаются физические свойства исследуемых материалов. Область,
на которой решается задача, покрывается непересекающимися подобластями, называемыми конечными элементами. Совокупность конечных элементов, на которые разделена область, принято называть конечно-элементной сеткой. Вершины конечных элементов называют узлами. Узлы необходимы для описания геометрии элемента и для задания компонент решения
(неизвестная величина задается в узлах). Компоненты решения в узлах называются степенями свободы. В зависимости от решаемых задач число степеней свободы в узлах отличается. Так, при рассмотрении задачи теплопровод-
3. Программная реализация напряженно-деформированных состояний…
27
ности в каждой точке находится одно значение температуры, т.е. одна степень свободы. При решении двумерной задачи термоупругости относительно неизвестных перемещений, число компонент будет равно двум, так
как перемещение – векторная величина u = (ux, uy). Узлы характеризуются их
координатами, а элементы определяются их перечнем и типом их узлов. При
выборе сетки конечных элементов определяется необходимость применения
различных видов конечных элементов (оболочечных, балочных, пластин,
объемных и других). Одномерные элементы являются стержневыми элементами и могут быть с двумя (рис. 3.1,а), тремя (рис. 3.1,б) и четырьмя
(рис. 3.1,в) узлами. Двумерные элементы делятся на треугольные и четырехугольные (рис. 3.2). Наиболее часто используются трехмерные элементы в
виде тетраэдра или параллелепипеда (рис. 3.3). Разбиение одномерной конструкции на элементы не имеет трудностей. При использовании двумерных
элементов чаще всего применяются треугольные элементы. Определяется
регулярность сетки. Там, где предполагаются большие градиенты напряжений, следует применять более мелкую сетку. При учете граничных условий
необходимо рассматривать как влияние активных сил, так и наложенных на
систему связей. В настоящее время существуют специальные сервисные программы автоматизированной разбивки конструкции на конечные элементы и
рациональной нумерации узлов.
а б в
Рис. 3.1. Одномерные элементы:
а – c одним узлом; б – с двумя узлами; в – с тремя узлами
Рис. 3.2. Двумерные конечные элементы
3. Программная реализация напряженно-деформированных состояний…
28
Рис. 3.3. Трехмерные конечные элементы
2. Расчет для каждого конечного элемента матрицы жесткости и
вектора внешней нагрузки, приведенной к узлам.
Матрица жесткости элемента, соответствующая узловым степеням
свободы, строится на базе принципа свободных перемещений. Матрица
жесткости представляет собой интегральную характеристику, включающую как физические свойства материала исследуемой системы, так и геометрические свойства конечного элемента и сгенерированной для расчета
сетки. Для каждого элемента матрица жесткости уникальна.
3. Формирование необходимой системы линейных уравнений.
Объединением матриц жесткости элементов строится матрица жесткости ансамбля, учитываются граничные условия. Ансамблирование представляет собой сборку элементов в конечно-элементную сетку. Фактически
при ансамблировании объединяются матрицы жесткости отдельных элементов в одну глобальную матрицу жесткости. Для этого применяется две
системы нумерации узлов элементов: локальная (нумерация узлов для каждого элемента) и глобальная (нумерация узлов всей рассматриваемой конструкции). Между локальной и глобальной нумерацией узлов существует
взаимно-однозначное соответствие, позволяющее сформировать глобальную систему конечно-элементных уравнений. Решение уравнений математической физики предполагает поиск единственного решения. Поэтому математическая формулировка, помимо базовых уравнений (дифференциальных уравнений в частных производных), должна включать дополнительные условия (дифференциальные или алгебраические), которые описывают
данные функции на границах исследуемой области в любой момент времени и во всех внутренних точках области в начальный момент времени.
Эти дополнительные условия называются граничными и начальными условиями. Например, решение уравнения равновесия или теплового баланса
обязательно должно удовлетворять граничным условиям решаемой задачи.
Для уравнения равновесия граничными условиями являются указанные
3. Программная реализация напряженно-деформированных состояний…
29
значения перемещений на части границы тела (обычно данные перемещения указывают на условия закрепления тела), для уравнения теплового баланса – заданные значения температуры на поверхности рассматриваемого
объекта.
4. Решение данной системы, определение перемещений, деформа-
ций, напряжений.
Решение таких систем уравнений является основной проблемой ре-
ализации метода конечных элементов. Методы решения данной системы
зависят от размера разрешающей системы уравнений. Для метода конечных элементов характерен большой массив переменных при разрешающей
системе алгебраических уравнений, поэтому значительное внимание следует обращать на уменьшение объема хранимой промежуточной информации. Решение линейных систем обычно выполняется следующими методами: прямыми (Гаусса, Холецкого), итерационными (Гаусса-Зейделя) и
другими. В результате решения получается совокупность неизвестных параметров аппроксимации, т.е. приближенное решение задачи. Используя
данное решение, можно получить интересующие параметры системы.
5. Оценка прочности конструкции, формирование выводов и реко-
мендаций.
В большинстве случаев трехмерное представление распределения
напряжений и деформаций дает возможность оценить причины формирования зон их концентрации. В двумерном изображении напряжения удобно
представлять в виде изолиний или полей напряжений. В качестве платформы для визуализации результатов предложено применять GMSH [21],
обладающее открытым исходным кодом и необходимым набором фильтров обработки расчетных данных. При реализации метода конечных элементов результаты расчета могут оказаться неверными. Ошибки могут появляться на различных этапах конечно-элементного анализа как при постановке задачи, так и при построении конечно-элементной модели, численном решении. Тестирование программы расчета, как правило, проводится
на задачах с заранее известным точным решением. Точность решения задачи методом конечных элементов зависит прежде всего от числа перемещений и вида определенных в пределах элемента функций перемещений.
Точность расчета может быть увеличена при большем числе элементов, которые отвечают условиям сходимости.
3. Программная реализация напряженно-деформированных состояний…
30
3.1. Построение расчетной сетки с применением GMSH
для решения задач методом конечных элементов
При решении инженерных задач по моделированию установок и фи-
зических процессов следует применять сложные геометрические объекты,
геометрию которых трудно или невозможно описать структурированной
конечно-разностной сеткой. Для решения таких задач применяют неструктурированные сетки, которые состоят из треугольников и четырёхугольников в двумерном варианте; тетраэдров, призм, пирамид и шестигранников
в трехмерном случае.
Развитие вычислительной техники привело к значительному про-
грессу в теории построения неструктурированных сеток. Основными требованиями к генераторам сеток можно отнести следующие:
‒ удобный интерфейс при задании входных данных;
‒ точная аппроксимация внешних границ областей, границ раздела
сред материалов;
‒ отсутствие вырожденных элементов;
‒ наличие возможности контроля среднего размера элемента на
различных участках сетки.
Построение расчетной сетки является достаточно трудоемкой и важ-
ной задачей при численных расчетах конструкций методом конечных элементов. Одним из вариантов для решения данной задачи является бесплатный генератор сеток с открытым исходным кодом для различных операционных систем (Linux, Windows и MacOS) GMSH [21].
Следовательно, задача практической реализации метода конечных
элементов сводится к разработке вычислительного блока, дающего возможность загружать в память расчетную сетку, осуществлять построение
соответствующих матриц, выполнять решение системы линейных алгебраических уравнений, а также осуществлять постобработку полученного решения.
Интерфейс сеточного генератора GMSH представлен на рис. 3.4. Ин-
терфейс сеточного генератора дает возможность строить геометрию и
сетки, применяя графический интерфейс и скрипт-файлы.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]