Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Задачи линейной алгебры биоинженерной направленности. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Рязанский государственный радиотехнический университет
Ю.С. КОСТРОВА
ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
БИОИНЖЕНЕРНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ
Учебное пособие
Рязань 2018
УДК 512.8/514.122/517
Задачи линейной алгебры биоинженерной направленности: учеб.
пособие / Ю.С. Кострова; Рязан. гос. радиотехн. ун-т. - Рязань, 2018. –
68 с.
Содержит большое количество задач линейной алгебры, ориен-
тированных на биоинженерную специализацию студентов. Рассматриваемый в пособии материал является основой для изучения других
разделов высшей математики, а также курсов «Моделирование биологических процессов и биологических систем», «Основы моделирования в медицине и биологии», «Методы обработки биомедицинских
сигналов и данных». Наличие подборок задач для самостоятельной
работы позволяет использовать пособие также в качестве задачника по
линейной алгебре.
Предназначено для студентов направления 12.03.04 «Биотехни-
ческие системы и технологии», а также для студентов всех направлений подготовки при изучении линейной алгебры и ее приложений к
анализу и моделированию биологических процессов.
Табл. 1. Ил. 23. Библиогр.: 7 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Ря-
занского государственного радиотехнического университета.
Рецензент: кафедра высшей математики Рязанского государст-
венного радиотехнического университета (зав. кафедрой канд. физ.мат. наук, доцент К.В. Бухенский)
© Рязанский государственный
радиотехнический университет, 2018
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие………………………….……………………………………4
Матрицы………………………………………………………………..….5
Действия над матрицами…………………………………………….…..10
Матричные преобразования на плоскости и в пространстве………….21
Определители…………………………………………………………….36
Системы линейных алгебраических уравнений……………………….42
Матричная модель популяции…………………………………………..54
Библиографический список………………………………………..……67
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
В современном мире наблюдается стремительное развитие биотехнических систем и технологий, в связи с чем возрастают требования к уровню профессиональной подготовки биоинженеров. Особое
значение приобретает знание математических методов, представляющих собой мощный инструмент для исследования биологических проблем. Одним из базовых разделов высшей математики является линейная алгебра, занимающая важное место в анализе, прогнозировании и
моделировании биологических процессов.
В пособии рассматривается шесть тем: «Матрицы», «Действия
над матрицами», «Матричные преобразования на плоскости и в пространстве», «Определители», «Системы линейных алгебраических
уравнений», «Матричная модель популяции». Каждая тема содержит
краткие теоретические сведения, задачи с подробным решением и задачи для самостоятельной работы студентов. Задачи подобраны таким
образом, чтобы помочь студентам лучше усвоить теоретические вопросы линейной алгебры и научиться применять изученный материал
к решению проблем биоинженерной направленности. Кроме того, рассматриваемые в пособии задачи позволяют придать разделу «Линейная алгебра» профессиональную направленность, сформировать у студентов представление о математических методах, используемых в
биомедицине, и навыки моделирования простейших биологических
процессов.
Учебное пособие предназначено для студентов биологических,
биоинженерных, медицинских направлений подготовки, а также для
всех лиц, заинтересованных биологическими приложениями математики.
5
МАТРИЦЫ
Матрицей размером называется прямоугольная таблица,
состоящая из m строк и n столбцов:
Сокращенно матрица записывается в виде , где
– номер строки, - номер столбца,
матрицы.
Элементами матрицы могут быть числа, буквы и другие объек-
ты. Элементы
образуют главную диагональ. Вто-
рая диагональ матрицы называется побочной.
Матрицы равны между собой, если равны все их соответст-
вующие элементы, т.е.
Матрица называется квадратной, если число ее строк и столб-
цов совпадает.
Квадратную матрицу размером называют матрицей n-го
порядка.
Квадратную матрицу, у которой все элементы, кроме элементов
главной диагонали, равны нулю, называют диагональной.
Квадратную матрицу, у которой на главной диагонали стоят
единицы, а остальные элементы – нули, называют единичной.
Обозначают буквой .
Квадратную матрицу, в которой все элементы, стоящие по одну
сторону от главной диагонали, равны нулю, называют треуголь-
ной.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нуле-
вой. Обозначают букой O.
Матрица, содержащая одну строку или один столбец, называет-
ся вектор-строкой или вектор-столбцом.
Матрица – удобный для математической обработки способ
представления биологической информации.
.
- элементы
6
Пример 1
Записать второй и третий закон Менделя в матричной форме.
Решение
Согласно второму закону
Менделя при скрещивании
потомков первого поколения
во втором поколении происходит расщепление признаков
по фенотипу (по совокупности признаков) в отношении
3:1 (рис.1).
Второй закон Менделя
или закон расщепления признаков во втором поколении
по фенотипу в матричной
форме имеет вид
Рис.1. Второй закон Менделя
Согласно третьему закону Менделя при скрещивании
потомков, отличающихся по
двум парам признаков, во
втором поколении происходит
расщепление признаков по
фенотипу в отношении 9:3:3:1
(рис.2).
При скрещивании растений гороха с желтыми гладкими семенами и с зелеными
морщинистыми во втором
поколении получается расщепление:
Рис.2. Третий закон Менделя
.
7
2,4
1,4
1,9
-4,3
2,7
5,6
3,4
-0,2
-2,6
3
2 3 5
1
4
9 (желтые гладкие): 3 (желтые морщинистые):3(зеленые гладкие): 1
(зеленые морщинистые).
Третий закон Менделя или закон независимого наследования
признаков можно представить в виде вектор-столбца:
, отражающего деление 16 генотипов на 4 нерав-
Пример 2
которой опреде-
нозначные группы.
В нейробиологии с целью описания структуры связей между ней-
ронами используют весовую матрицу , элемент
ляет вес связи, идущей от элемента к элементу . Составить весовую
матрицу для заданной нейронной сети (рис.3).
Рис.3. Нейронная сеть, состоящая из 5 узлов
Решение
Вес связи, идущей от 1-го элемента ко 2-му, равен 1,4. Следова-
тельно, элемент . От 2-го элемента идет связь к 3-му элемен-
ту, ее вес составляет 3. Получаем . Так как элемент 1 не пере-
дает сигнал сам себе, то вес связи равен нулю. Аналогично, определив
8
-5,3
3,2
7,4
1,6
3,9
4,1
-0,6
2 3 1
4
3,4
вес связи всех элементов нейронной сети, получаем весовую матрицу
заданной нейронной сети:
Задачи для самостоятельного решения
1. Составить нейронную сеть для заданной весовой матрицы
2. Составить нейронную сеть для заданной весовой матрицы
3. Составить весовую матрицу для заданной нейронной сети
(рис.4).
.
Рис.4. Нейронная сеть, состоящая из 4 узлов
9
1,2
4,3
-2,3
2,7
7,1
3,4
3,2
-0,5
3,6
7,1
3,5
5,2
-6,1
1,1
-1,6
2 3 5 1 4 6 7
4. Составить весовую матрицу для заданной нейронной сети (рис.
5).
Рис.5. Нейронная сеть, состоящая из 7 узлов
10
ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
Пусть заданы матрицы
Транспонирование
Транспонирование – операция, в результате которой строки
матрицы становятся ее столбцами. Обозначается верхним индек-
сом
:
Сумма и разность матриц
Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковых
размеров.
Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы (т.е. элементы, стоящие на одинаковых
местах):
Аналогично, чтобы найти разность матриц, необходимо найти
разность соответствующих элементов.
Умножение на число
Для того чтобы умножить матрицу на число, необходимо умножить каждый ее элемент на это число:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]