Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Задачи линейной алгебры биоинженерной направленности. Учебное пособие
.pdf
31
y
x
z
A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
1
2
3
1
Рис.15. Куб
Решение
Запишем координаты вершин куба в виде матрицы размера 4х8,
где первый столбец – координаты точки , второй – точки и т.д.:
.
1. Матрица перемещения на 5 единиц вправо вдоль оси OY будет
иметь вид
Координаты вершин куба после перемещения находятся путем
умножения матрицы на матрицу .
Матрица координат нового куба:
.
32
y
x
z
A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
1
2
3
1
A’
B’
C’
D’
A1'
D1'
C1'
B1'
6
7
8
5
0
3
.
Таким образом, получили координаты вершин куба после пере-
мещения (рис. 16):
.
Рис.16. Куб
2. Матрица перемещения на 8 единиц вперед вдоль оси OX, на 7
единиц вправо вдоль оси OY, на 4 единицы вниз вдоль оси OZ будет
иметь вид
.
33
A’
B’
C’
D’
A1'
D1'
C1'
B1'
y
x
z
A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
1
2
3
1
Найдем координаты вершин куба после перемещения:
.
Координаты вершин куба после перемещения (рис. 17):
.
Рис.17. Куб , полученный в результате перемещения
3. Поворот на
относительно оси OY задается матрицей
34
A’
B’
C’
D’
A1'
D1'
C1'
B1'
y
x
z
1
2
3
1
Определим координаты куба после поворота:
.
.
Таким образом, координаты вершин куба после поворота (рис.
18):
.
Рис.18. Куб , полученный в результате поворота
35
Задачи для самостоятельного решения
Для куба, изображенного на рис.15, выпол-
нить следующие преобразования:
1) переместить изображение куба на 5 единиц вперед вдоль оси OX,
влево на 3 единицы вдоль оси OY, на 4 единицы вверх вдоль оси OZ;
2) растянуть изображение квадрата в 2 раза вдоль оси OY;
3) повернуть изображение на угол
относительно оси OZ.
36
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Одной из основных численных характеристик квадратной мат-
рицы является ее определитель. Определитель матрицы обозна-
чается
столбцами или столбцы строками.
тель меняет знак.
равен нулю.
можно вынести за знак определителя.
ны соответствующим элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю.
(столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки
(столбца), умноженные на другое число.
определитель -го порядка, который получается из исходного
вычеркиванием i-й строки и j-го столбца (т.е. строки и столбца, на
пересечении которых находится элемент ). Обозначается
называется его минор, взятый со знаком «+», если сумма –
.
Определителем матрицы 2-го порядка называется число
Определителем матрицы 3-го порядка называется число
1. Определитель не изменится, если его строки заменить
2. При перестановке двух строк (столбцов) местами определи-
3. Определитель, в котором две одинаковые строки (столбца),
4. Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца)
5. Если все элементы одной строки (столбца) пропорциональ-
6. Определитель не изменится, если к элементам одной строки
Минором элемента
Алгебраическим дополнением элемента
, которое находится по формуле
Свойства определителя
Минор и алгебраическое дополнение
определителя n-го порядка называется
.
определителя
.
.
37
четное число, со знаком «–», если сумма нечетная. Обозначается
и вычисляется по формуле:
, тогда
.
.
,
.
Например,
необходимо вычислить определитель 3-го порядка. Для определителей больших порядков данный метод не подходит. В этом случае
используют один из следующих универсальных способов, применимых к определителям любого порядка.
рой строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения.
столбце получают нули, пользуясь 6-м свойством. В определителе
выбирают рабочую строку (чаще ту, в которой есть элемент, равный единице) или столбец и обращают в ноль все, кроме одного,
элементы данной строки или столбца.
уравнение вида
ственными значениями матрицы.
Правилом треугольников можно пользоваться, только когда
1. Разложение по элементам строки (столбца).
Определитель равен сумме произведений элементов некото-
Например, разложим определитель по элементам 2-й строки:
2. Метод получения нулей.
Для вычисления определителей предварительно в строке или
Характеристическим уравнением матрицы называется
Вычисление определителя
Характеристическое уравнение матрицы
, корни которого называются соб-
38
Диапазон
значений
, %
100-45
44-32
31-20
19-11
<10
Состояние пациента
Здоров
Норма
(присутствуют незначительные
изменения)
Болен
Опасное
состояние
Критическое состояние
Пример 7
Оценка состояния сердечно-сосудистой системы пациента опре-
деляется величиной выражения:
,
– максимальное и минимальное собственные
- ин-
где - обобщенный показатель здоровья,
декс напряженности регуляторных систем организма, - возраст паци-
ента в годах.
значения автокорреляционной матрицы , определяемые из уравне-
ния
.
Состояние пациента в зависимости от полученного значения
определяется из таблицы.
Плетизмограмма пальца руки пациента позволила составить ав-
токорреляционную матрицу
.
Оценить состояние сердечно-сосудистой системы пациента, если
известно, что его возраст составляет 48 лет.
Решение
Найдем собственные значения автокорреляционной матрицы.
Составим характеристическое уравнение матрицы:
,
39
Раскроем определитель и решим кубическое уравнение:
Среди найденных собственных значений выберем
и
ных систем организма:
и рассчитаем индекс напряженности регулятор-
.
Определим обобщенный показатель здоровья:
В соответствии с таблицей можно сделать вывод о критическом
состоянии сердечно-сосудистой системы обследуемого пациента.
В результате обследования пациентов у двоих из них была полу-
чена одинаковая автокорреляционная матрица
Пример 8
.
40
Оценить состояние их сердечно-сосудистой системы, если пер-
вому пациенту 34 года, а второму 60 лет.
Решение
Составим характеристическое уравнение автокорреляционной
матрицы и найдем ее собственные значения:
,
Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение:
Тогда
Индекс напряженности регуляторных систем организма обоих
пациентов одинаков:
и
.
.
Определим обобщенный показатель здоровья 1-го пациента (34
года):
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]