Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Задачи линейной алгебры биоинженерной направленности. Учебное пособие
.pdf
41
Определим обобщенный показатель здоровья 2-го пациента (60
лет):
Таким образом, несмотря на одинаковые исходные показатели
плетизмограммы, состояние сердечно-сосудистой системы пациентов
отличается: у 1-го пациента оно находится в пределах допустимой
нормы, т.е. присутствуют незначительные нарушения, требующие наблюдения в динамике, а 2-й пациент здоров.
Задачи для самостоятельного решения
1. Оценить состояние сердечно-сосудистой системы пациента 44
лет, автокорреляционная матрица которого, соответствующая плетизмограмме пальца руки, имеет вид
2. Автокорреляционная матрица пациента 76 лет имеет вид
.
Определить состояние его сердечно-сосудистой системы.
42
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
называется система вида:
где
числа - свободными членами,
В матричной форме система имеет вид , где
ных членов.
– столбец неизвестных,
, называются коэффициентами системы,
- неизвестные.
- матрица коэффициентов,
– столбец свобод-
Расширенной матрицей системы называется матрица сис-
темы
столбец свободных членов равен нулю.
вместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной,
если она не имеет ни одного решения.
зывается определенной, если она имеет только одно решение, и
неопределенной, если она имеет более одного решения.
, дополненная столбцом свободных членов:
Система линейных уравнений называется однородной, если
Система линейных алгебраических уравнений называется со-
Совместная система линейных алгебраических уравнений на-
43
Ступенчатой системой линейных алгебраических уравне-
ний называется система вида:
где .
Обратная матрица. Ранг матрицы
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее оп-
ределитель не равен нулю: Если определитель мат-
рицы равен нулю, то она называется вырожденной.
Матрица называется обратной матрице , если выполня-
ется условие
Обратная матрица находится по формуле
.
где – алгебраическое дополнение элемента
.
Теорема: любая невырожденная матрица имеет обратную.
Рангом матрицы называется наибольший из порядков мино-
ров данной матрицы, отличных от нуля. Обозначается
Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называ-
ется базисным. У матрицы базисных миноров может быть несколько.
Свойства ранга матрицы:
1) транспонирование не меняет ранг матрицы;
2) при вычеркивании из матрицы нулевой строки или столбца ранг
не меняется;
3) элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.
данной матрицы
,
44
BAX
1
Теорема Кронекера – Капелли: система линейных алгеб-
раических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг
расширенной матрицы равен рангу основной матрицы системы,
причем если ранг матриц и
шений; если
, то система имеет единственное решение; если
, то система имеет бесконечное множество ре-
, то система решений не имеет.
Формулы Крамера
Если , то решение СЛАУ находится по формулам:
,
где определитель , , получается из заменой -го столбца
столбцом свободных членов.
Матричный метод
Если матрица системы линейных уравнений невырожден-
ная, т.е. , то матрица имеет обратную и решение систе-
мы совпадает с вектором
Метод Гаусса
Сущность метода состоит в том, что посредством последова-
тельных исключений неизвестных система уравнений превращается в ступенчатую систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а
расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Этот метод имеет существенное преимущество перед рассмотренными: он применим и в том случае,
если определитель основной матрицы равен нулю!
равен числу ненулевых строк
,
,…
,
.
Элементарными преобразованиями являются:
1) перестановка местами 2-х строк;
2) умножение строки на любое число ;
3) прибавление строки, умноженной на число , к другой строке.
45
Пример 9
Три вида бактерий выращивают в пробирке.
Матрица питания имеет вид
субстрата потребляемого одной бактерией -го ви-
да. Ежедневно в пробирку вносят 2300 единиц первого субстрата, 2600 единиц второго и 1900 единиц
третьего. Сколько бактерий каждого вида выращивают в пробирке?
Составим систему уравнений, соответствующую условию задачи:
- количество единиц -го
Решение
но.
ричным методом и методом Гаусса.
- количество бактерий 1-го, 2-го, 3-го вида соответствен-
Решим данную систему тремя способами: методом Крамера, мат-
Первый способ
Найдем количество бактерий каждого вида методом Крамера.
Вычислим определитель системы:
Вычислим вспомогательные определители:
По формулам Крамера получим:
количество бактерий 1-го вида
количество бактерий 2-го вида
количество бактерий 3-го вида
46
Второй способ
;
;
.
Запишем условие задачи в матричной форме: , где
- матрица питания,
ных, т.е. количество бактерий 1-го, 2-го и 3-го вида,
столбец свободных членов.
Решение системы будем искать в виде
- столбец неизвест-
Определитель системы
но, матрица имеет обратную матрицу
Для нахождения матрицы
нения:
вычислим алгебраические допол-
следователь-
.
–
Тогда обратная матрица имеет вид
Найдем решение системы:
47
.
Найдем количество бактерий каждого вида методом Гаусса.
Составим расширенную матрицу системы
пенчатому виду с помощью элементарных преобразований:
венное решение.
Составим систему уравнений, соответствующую полученной по-
сле преобразований расширенной матрице:
Третий способ
, следовательно, система имеет единст-
и приведем ее к сту-
Таким образом, все методы решений дали один и тот же резуль-
тат: в пробирке выращивают 500 бактерий 1-го вида, 600 бактерий 2-го
вида, 200 бактерий 3-го вида.
48
Пример 10
Суточный рацион послеоперационного питания пациента состав-
ляется из 4 видов продуктов с учетом требований к содержа-
нию жиров – 60 грамм, белков – 100 грамм, углеводов – 300 грамм и
калорийности – 1700 ккал. Рассчитать необходимое количество каждого продукта, чтобы полностью удовлетворить суточные потребности
пациента, если содержание жиров, белков, углеводов и килокалорий в
100 граммах продукта А соответственно равно: 7 г, 12 г, 66 г, 350 ккал,
в 100 граммах продукта B: 5 г, 15 г, 18 г, 105 ккал, в 100 граммах продукта С: 17 г, 13 г, 24 г, 188 ккал, в 100 граммах продукта D: 4 г, 7 г,
14 г, 84 ккал.
Решение
Представим данные о содержании жиров, белков, углеводов и ка-
лорийности в каждом из четырех продуктов питания в виде матрицы
а суточные нормы их потребления в виде матрицы
Пусть
каждого вида.
– столбец неизвестных, т.е. количества продуктов
,
.
Найдем объем каждого продукта методом Гаусса. Составим рас-
ширенную матрицу системы
ваний приведем ее к ступенчатому виду:
и с помощью элементарных преобразо-
49
50
В нашем примере
тема имеет единственное решение. Составим систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице, и решим ее «снизу
вверх»:
По условию 1 единица соответствует 100 граммам продукта, сле-
довательно, при составлении суточного рациона питания пациента
необходимо использовать 300 грамм продукта А, 200 грамм продукта
В, 100 грамм продукта С и 300 грамм продукта D.
Суточный рацион питания лабораторного кролика весом 4 кг
должен содержать 12 грамм протеина, 1,6 грамма фосфора и 1,5 миллиграмма каротина. В кормлении кроликов используют три вида кормов. Содержание питательных веществ и микроэлементов (строки) в
продуктах питания (столбцы) представлено матрицей:
Пример 11
, следовательно, сис-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]