Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ статических и динамических характеристик простой гидравлической системы. Методические указания к расчётной работе по дисциплинам «Моделирование
.pdf
Так как система конечных уравнений (9) включает 11 независимых
уравнений (в дальнейшем используется последовательная нумерация
уравнений от 1 до 11), она может быть решена относительно любых 11
переменных, которые называются определяемыми переменными. Все
остальные переменные системы (9), соответствующие числу степеней свободы,
должны задаваться.
Кроме этого, должны быть специфицированы коэффициенты (например,
коэффициенты пропускной способности клапанов – вектор ), а также
постоянные в системе уравнений (9) – геометрические высоты ёмкостей , ,
давление в незаполненной жидкостью ёмкости и плотность жидкости ρ.
Исходя из физических соображений, при гидравлическом расчете систем
трубопроводов, представляющем собой решение системы 11 уравнений (9),
определяемыми переменными являются:
- расходы жидкости на всех участках: 5 компонентов вектора ;
- промежуточные давления в системе р5, р6, р7, р8: 4 компонента
вектора ;
- уровни жидкости в двух ёмкостях: 2 компонента вектора .
Всего 11 компонентов.
Давления на входе в систему p1 и р2, а также давления на выходе из
системы р3 и р4 задаются, и их количество соответствует числу степеней
свободы системы уравнений (9), которое определяется как разность числа
переменных – числа независимых уравнений: 15 – 11 = 4. Эти четыре
переменные могут задаваться независимо в соответствии с физическим
смыслом решаемой задачи. Это означает, что если предполагается движение
жидкости по стрелкам, изображенным на рис. 1, то давления на входе в систему
р
и р2 должны быть больше давлений на выходе р3 и р4.
1
Система 11 конечных уравнений (9), решаемая относительно следующих
11 определяемых переменных:
11
, , , , , , , , , , , (10)
является системой нелинейных уравнений.
Для её решения наиболее целесообразно использовать метод
математической декомпозиции, который позволяет существенно снизить
размерность решаемой задачи и определять все искомые переменные путём
решения системы (или систем) уравнений значительно меньшей размерности,
чем размерность исходной системы.
2.3. Выбор моделирующего алгоритма
Размерность исходной системы уравнений (9) равна 11. Для выбора
алгоритма математической декомпозиции, который позволит определить 11
искомых переменных (10) путем последовательного решения одного
нелинейного уравнения размерностью 1 и одного квадратного уравнения,
необходимо построить и проанализировать информационную матрицу системы
уравнений (9).
Информационная матрица системы уравнений представляет собой
квадратную матрицу (табл. 1), строки которой соответствуют номерам
уравнений, а столбцы – обозначению определяемых переменных.
Информационная матрица формируются следующим образом: на пересечении
i-й строки, соответствующей i-му уравнению, с j-м столбцом ставится знак
плюс, если i-е уравнение включает j-ю определяемую переменную. Эта
процедура повторяется для всех независимых уравнений и определяемых
переменных системы.
Информационная матрица системы уравнений (9), описывающей
стационарный режим гидравлической системы (рис. 1), представлена в табл. 1.
В табл. 1, соответствующей информационной матрице, включен правый
дополнительный столбец, который имеет обозначение номера (№). В этом
столбце будет отражаться последовательность вычислений согласно
выбираемому алгоритму расчётов.
12
Для выбора оптимального алгоритма расчётов при решении системы
п/п
№
1
+
+
3
2
+
+
7
3
+
+
4
4
+
+
8
5
+
+
+
6
6
+ + +
5
7
+ +
+
9
8
+ + +
2 9
+ +
1
10
+ + +
10, 11
11
+ +
10, 11
уравнений (9) необходимо проанализировать информационную матрицу (табл.
1).
Каждое уравнение системы (9) содержит несколько определяемых
переменных: как минимум две. Начальные приближения для итерационных
расчетов при решении нелинейных уравнений следует задавать в тех
уравнениях, где наименьшее число определяемых переменных (в данном
случае две) и оно может быть хорошо обосновано из физических соображений.
Например, значение приближения h1 может быть задано в интервале [0, ], так
как высота емкости задана в условии задачи.
Для обозначения задания начального приближения итерационного
процесса вычисления в информационной матрице ставится знак плюс,
соответствующий задаваемой переменной в конкретном уравнении и обводится
квадратом (см. табл. 1, строка 9).
Таблица 1
Информационная матрица системы уравнений, описывающей
стационарный режим гидравлической системы (рис. 1)
13
Первым шагом вычислительной процедуры будет определение
переменной р7 в уравнении (9) (см. число 1 в правом столбце табл. 1). Для
обозначения переменной, которая определяется в уравнении (9),
соответствующий ей плюс в строке (9) обводится ромбом.
Заданное значение приближения и найденная переменная р7
справедливы для всей системы уравнений и поэтому эти величины должны
использоваться и другими уравнениями системы (см. уравнение (8) в табл. 1).
Для обозначения распространения значений переменных на все уравнения
системы соответствующие им плюсы в столбцах обводятся окружностями. В
уравнении (8) окружностями обведены плюсы, соответствующие h1 и р7, что
позволяет решить это уравнение относительно р5 на шаге 2 вычислительной
процедуры (табл. 1). Дальнейшие последовательные шаги расчетов дают
возможность определить только приближенные значения , , , p6, , ,
что связано с выбором в самом начале реализуемой процедуры вычисления
приближения величины .
Таким образом, определение корректного значения h1 приведет
соответственно к получению корректных значений и р7, р5, , , , p6, ,
, т.е. 9 из 11 искомых переменных.
Для коррекции h1 должно использоваться уравнение (7), в котором все
переменные известны из предыдущих расчетов (соответствующие им плюсы
обведены окружностями) – табл. 1, шаг 9. Когда система уравнений решена, то
уравнение (7) вида
должно превратиться в равенство. Переменная h1 в скобках в этом случае
означает, что каждое слагаемое этого уравнения зависит от переменной h1 и оно
должно быть решено относительно h1 для получения её корректного значения.
Реализацию алгоритма решения уравнения (7) можно рассматривать как
процедуру коррекции переменной h1 и соответственно определение значений
переменных р7, р5, , , , p6, и .
14
Для обозначения того факта, что уравнение (7) является корректирующим
для h1, в строке (7) информационной матрицы (табл. 1) в позиции,
соответствующей переменной h1, стоит пустой ромб.
При решении уравнения (7) в итерационном цикле на шаге 6 (табл. 1)
необходимо определить р6 из формулы (5). Так как на предыдущих этапах
расчетов может получиться как положительным, так и отрицательным,
выражение для определения р6 должно учитывать это обстоятельство –
используется функция знака sgn(x) для решения уравнения (5):
(11)
Для определения двух оставшихся переменных р8 и h2 в уравнение (10)
подставляется р8 из уравнения (11) системы уравнений (9). В результате
получается квадратное уравнение относительно h2 (р6 известно из предыдущих
расчетов – табл. 1):
. (12)
Для определения значения h2 можно использовать формулу вычисления
корней квадратного уравнения и выбирать тот из корней, который
располагается в интервале [0, ].
Общепринято для отображения последовательности вычислений и
изображения вычислительных процессов использовать блок-схемы алгоритмов
расчетов.
При этом предлагается пользоваться следующими графическими
элементами:
- терминатор: начало и (или) конец процесса обработки
данных;
- данные: ввод и вывод данных и результатов на
неопределённый носитель;
- процесс: элементарная вычислительная операция по обработке
данных;
15
- предопределенный процесс: процесс, состоящий из операций,
описанных в другом месте (подпрограмма);
- решение: операция с одним входом и несколькими
альтернативными выходами, один из которых активизируется
после проверки условия, записываемого внутри символа;
- граница цикла: символ, состоящий из двух частей,
отображает начало и конец цикла. Обе части символа имеют
один и тот же идентификатор. Условия для инициализации,
завершения и т.д. помещаются внутри символа в начале или в
конце в зависимости от расположения операции, проверяющей
условие.
В прил. 1 изображена блок-схема алгоритма расчёта стационарного
режима гидравлической системы, изображенной на рис. 1. При этом
используется стандартный алгоритм – метод численного решения нелинейного
уравнения: алгоритмические блоки (4, 11, 19) для определения h1 и
алгоритмические блоки (6, 13, 21) для определения h2 и р8.
Блок-схема алгоритма расчёта включает в себя три подпрограммы: ff(h1) –
расчёт 9 из 11 параметров системы; gg(h1) – расчёт по балансовому уравнению
, (13)
которая используется стандартным модулем метода численного решения
нелинейного уравнения в блоках (4, 11, 19) для определения уровня жидкости
h1 в первой ёмкости и syst(z), реализующую систему уравнений, которая
используется стандартным модулем метода численного решения нелинейного
уравнения в блоках (6, 13, 21) для расчёта h2 и p8. Блок-схемы этих
подпрограмм не приводятся в силу их очевидной простоты.
Исходные данные для расчета базового стационарного режима
гидравлической системы (рис. 1) представлены на рис. 2. Программа на языке
Scilab [3], которая реализует изображенный в прил. 1 алгоритм расчета
статической системы, приведена в прил. 2. Подпрограмма численного решения
16
нелинейного уравнения fsolve( ,gg) и определения корней квадратного
№
п/п
Наименование
Размер-
ность
Идентифи-
катор
Обозначение в
формулах
Примечание
1
Ускорение
свободного падения
м/с2 g g
Исходное данное
2
Уровни воды в баках
м
h1
h2
h1
h2
Результат
уравнения fsolve( ,syst) является встроенной в Scilab.
Статическая система
Высота ёмкости Площадь основания ёмкости
1-ой (м) 10 1-ой (м^2) 1
2-ой (м) 10 2-ой (м^2) 1
Плотность (кг/м^3) 1000 Начальное давление (МПа) 0,1
Давление (1-4) (МПа) 4 3 2 2,2
Коэффициенты пропускной способности (1-5) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Рис. 2. Образец исходных данных для расчета базового стационарного режима
гидравлической системы
Результаты некоторых вариантов расчета, позволяющих оценить
параметрическую чувствительность математической модели статической
гидравлической системы (рис. 1) к изменениям одного из входных давлений
(р1) и одного из выходных давлений (р4), представлены на рис. 3.
При этом отрицательные значения расхода свидетельствуют о том, что
поток течет не так, как изображено на схеме, а наоборот.
Основной целью расчетных исследований модели гидравлической
системы в стационарном состоянии путем анализа её статических
характеристик является определение более эффективных условий работы
реального объекта и выявление дополнительных ресурсов для решения задачи
оптимизации.
Для чтения программы весьма полезной может быть таблица
соответствия переменных, в которой в алфавитном порядке приведены
идентификаторы, использованные в программе (табл. 2).
Таблица 2
Таблица соответствия переменных
17
3
Массивы высот для
построения графиков
м
h1g
h2g
4
Высоты баков
м
h1G
h2G
Исходные данные
5
Переменная цикла
i
6
Коэффициенты
пропускной
способности кранов
k k
Исходные данные,
массив
7
Давление
Па
p1
p2
p3
p4
p1
p2
p3
p4
Исходные данные
p5
p6
p7
p8
p5
p6
p7
p8
Результат
8
Массивы давлений
для построения
графиков
МПа
p1g
p4g
p5g
p6g
p7g
p8g
9
Служебный
идентификатор
pp
10
Начальное давление
воздуха в баках
Па
pN
pN
Исходное
данное
11
Расходы
кг/с
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Результат
12
Массивы расходов
для построения
графиков
кг/с
Q1g
Q2g
Q3g
Q4g
Q5g
13
Плотность воды
кг/м3
ro
ρ
Исходное данное
14
Площадь основания
баков
м2 S S
Исходное данное
15
Служебные
идентификаторы
y z Z
18
h1=
9.544
h2=
9.543
p5=
2287470.846
p6=
2280368.662
p7=
2193842.452
p8=
2186754.762
Q1=
130.864
Q2=
169.662
Q3=
88.726
Q4=
211.799
Q5=
42.137
Рис. 3. Образец печати результата: высоты в м, давления в Па, расходы в кг/с
19
Рис. 4. Статические характеристики гидравлической системы: изменения
режимных параметров в зависимости от одного из давлений на входе – p1 и
одного из давлений на выходе – p
4
На рис. 4 видны отрицательные значения расхода , что говорит о
противоположном направлении этого потока по сравнению с указанным на
рис. 1.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]