Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Автоматизированные системы управления судовых энергетических установок. Методические рекомендации для выполнения курсовой работы
.pdf
d
dz
К
d
zd
К
T
d
zd
К
T
d
d
рр
k
р
r
1
2
2
3
3
2
zz
Кd
dz
К
T
d
zd
К
T
d
dz
К
T
d
zd
К
TT
d
zd
К
TT
рр
k
р
r
р
a
р
ka
р
ra
2
2
2
2
2
3
3
2
z
Кd
dz
К
T
К
T
d
zd
К
T
К
TT
d
zd
К
TT
рр
k
р
a
р
r
р
ka
р
ra
1
2
2
2
3
3
2
01
2
2
2
3
3
2
z
Кd
dz
К
T
К
T
d
zd
К
T
К
TT
d
zd
К
TT
рр
k
р
a
р
r
р
ka
р
ra
0
32
2
1
3
0
apapapa
р
ra
К
TT
a
2
0
р
r
р
ka
К
T
К
TT
a
2
1
р
k
р
a
К
T
К
T
a
2
)1(
3
р
К
a
000 a
02
р
ra
К
TT
011 a
0
2
1
р
r
р
ka
К
T
К
TT
2
rka
TTT
0
20
31
2
aa
aa
0
30212
aaaa
01
2
2
2
р
ra
рр
r
р
ka
р
k
р
a
К
TT
КК
T
К
TT
К
T
К
T
р
ra
рр
r
р
ka
р
k
р
a
К
TT
КК
T
К
TT
К
T
К
T
2
2
2
1
22
)()()(
raрrkaka
TTКTTTTT
2222222
raрrakrкarakа
TTКTTTTTTTTTT
22222
raрkrкakа
TTКTTTTTT
характеристическое уравнение системы
–
Применим метод Гурвица для анализа на устойчивость
характеристического уравнения.
– первое условие
– второе условие
11
для упрощения записи рассмотрим данное неравенство без слагаемого
kr
TT
22
222
raркakа
TTКTTTT
22
rркkа
TКTTT
0...
1
1
10
nnnn
aaaa
, имеющего малую значимость.
или
Исследование системы методом Михайлова
В характеристическом уравнении
(1) λ является в
общем комплексной величиной λ=α±jβ и может быть представлена на ком-
плексной плоскости λ.
Любое значение λ, являющееся корнем уравнения (1) и расположенное на
мнимой оси (λ=jω) или справа от нее, определяет неустойчивость системы.
Граница устойчивости и неустойчивости — мнимая ось. Если двигаться вверх
по этой оси от ω= -∞ до ω= +∞, то область неустойчивости находится от нее
справа (заштрихована).
Рассмотрим теперь левую часть характеристического уравнения (1), в кото-
рой сделаем подстановку λ=α+jω, где α и ω произвольны. В результате получим:
u
М(λ)=a0λ
+a
n-1
λ
1
+...+an.
Тогда М(λ) может быть представлена на комплексной плоскости в виде
комплексных чисел, соответствующих различным значениям λ и ω. Плоскость
М(λ) является конформным отображением плоскости корней: любым точкам
плоскости λ соответствуют точки плоскости М(λ) и наоборот. Если же принять,
что λ=jω и задавать значения ω от -∞ до +∞ то на плоскости М(λ) получим кривую (называемую кривой Михайлова)
М(jω)=a0(jω)n+a1(jω)
n-1
+...+an, (2)
которая отображает мнимую ось плоскости λ, причем область значений
М(λ), соответствующих неустойчивым решениям дифференциального уравне-
ния также должна быть справа (заштрихована).
Рис. 3. Ось jω в комплексной плоскости λ и соответствующий годограф в плоскости М
и плоскости W: а) — плоскость корней характеристического уравнения. Значения λ с поло-
жительной вещественной частью расположены в заштрихованной области; б — плоскость М.
12
Корни характеристического уравнения, отображаются точками плоскости
0
32
2
1
3
0
apapapa
0
32
2
1
3
0
aiaiaia
λ и соответствуют началу координат плоскости М(λ). Если начало координат
оказывается в заштрихованной области, то вещественная часть по крайней мере
одного из корней положительна, а система регулирования — неустойчива. Если
начало координат попадает на кривую М(jω), то это означает, что корни харак-
теристического уравнения находятся на мнимой оси j и ω, а система — на гра-
нице устойчивости. Следовательно, необходимое и достаточное условие устойчивости формулируется как условие, при выполнении которого начало координат на плоскости М(jω) должно находиться в незаштрихованной области (кри-
терий Михайлова).
Второй вариант трактовки критерия Михайлова гласит, что, если годограф
Михайлова, двигаясь против часовой стрелки, при w от 0 до + ∞ и проходит n
квадрантов, где n — степень характеристического уравнения, то система будет
устойчива (необходимое и достаточное условие устойчивости). Если годограф
проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости.
При любом другом виде годографа Михайлова система является не устойчивой.
В приведенном на рисунке 4 примере начало координат лежит в незаштрихованной области, поэтому система устойчива.
Сказанное относится к уравнениям как разомкнутых, так и замкнутых
систем.
Рассмотрим полученное характеристическое уравнение.
Заменяем p на ωi
Составление программы в Excel для расчетов и построения графика.
Крива по Михайлову имеет вид M(jw)=(a3 - a
2
·ω
) + (a2·ω - a
1
3
·ω
)j w задает-
0
ся от 0 с прибавлением шага h (шаг задается произвольно).
Для построения M(jω) используют два столбца – реальной (Re) и мнимой
части (Jm).
Рис. 4. Вид кривой Михайлова
13
Штриховка производится по правой стороне от – ∞ к +∞. В приведенном
на рис. 3 примере начало координат лежит в заштрихованной области, поэтому
система неустойчива.
Исследование системы методом Найквиста
Построим структурную схему САР скорости дизеля с указанием прямых и
обратных связей входных и выходных параметров.
Рис. 5. Структурная схема астатический регулятор прямого действия
Исследуем САР скорости дизеля на устойчивость методом Найквиста
Критерий Найквиста. Для устойчивости замкнутой системы автоматического регулирования из последовательно соединенных типовых динамических
звеньев необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф (амплитуднофазовая частотная характеристика) комплексного передаточного коэффициента
разомкнутой системы W(j
) при изменении частоты от 0 до
не охватывал
точку с координатами (-1; j0).
1 — устойчивая система
2 — неустойчивая система
Рис. 6. АФЧХ САР
На рисунке 6 показаны два годографа. Годограф 1 соответствует устойчивой системе, так как он не охватывает точку с координатами (-1, j0); годограф 2
неустойчивой системы, так как охватывает точку с координатами (-1, j0) Лю-
бую автоматическую систему можно представить в виде совокупности состав-
ных частей — звеньев, каждое из которых обладает определенными динамиче-
14
скими свойствами. Некоторые системы автоматического регулирования можно
dt
d
рассматривать как звенья с одинаковой динамикой работы. Поэтому для выяснения динамических свойств автоматической системы необходимо знать дина-
мические свойства входящих в нее элементов.
При составлении дифференциальных уравнений типовых звеньев применяется операторная форма записи, при которой символ дифференцирования по
времени
заменяется оператором р. При решении дифференциальных урав-
нений осуществляется переход от данных функций (оригиналов) к их изображениям и обратно. Указанные переходы осуществляются при помощи преобразований Лапласа. Применение преобразования Лапласа позволяет заменить
операции дифференцирования более простыми алгебраическими операциями
умножения и деления.
Введение типовых звеньев удобно для представления сложной АС в виде
параллельного и последовательного соединения входящих в нее звеньев. Для
анализа свойств звеньев вводится понятие передаточной функции, представляющей собой отношение изображения функции выходного сигнала Y(p) к изоб-
ражению функции входного сигнала Х(р) (возмущающего воздействия) того же
звена при нулевых начальных условиях, т.е.
W(p)=Y(p)X(p)
Передаточная функция получается из дифференциального уравнения после
замены в нем символа дифференцирования на соответствующую степень р и
деления образованного таким образом многочлена правой части уравнения на
многочлен левой части уравнения. Передаточная функция зависит от парамет-
ров звеньев и вида задающего или возмущающего воздействия.
При определении САР находят применение частотные методы, которые
основаны на исследовании поведения системы при подаче на вход составных
звеньев синусоидального сигнала с амплитудой Авх и угловой частотой
. Соотношения между входными и выходными колебаниями определяется с помощью частотной передаточной функции W(j
), под которой понимается отно-
шение вектора выходного колебания к вектору входного колебания. Частотную
передаточную функцию еще называют комплексным передаточным коэффициентом. Частотная передаточная функция получается из передаточной функции
путем замены оператора р на j
. Различают три вида частотных характеристик,
которые приведены ниже.
Амплитудно-частотная характеристика показывает зависимость отноше-
ния амплитуды колебаний на выходе звена или системы к амплитуде колебаний
на входе от частоты гармонических колебаний, подаваемых на вход,
А
вых/АВХ
= f().
Фазочастотная характеристика показывает зависимость сдвига фаз между
выходными и входными колебаниями от частоты колебаний:
= f()
Часто обе характеристики объединяют в одну, построенную в полярных
координатах, такая характеристика называется амплитудно-фазовой частотной
характеристикой.
15
Комплексный передаточный коэффициент можно представить графически в
виде отрезка, имеющего длину А, наклоненного к горизонтальной оси под углом
.
На основании формулы Эйлера e = cos + j sin комплексный переда-
точный коэффициент можно выразить в виде алгебраической суммы действи-
тельной и мнимой частей:
W (j) = P + j Q
где:
P = A sin — проекция передаточного коэффициента на ось действитель-
ных чисел;
Q = A sin — проекция передаточного коэффициента на ось мнимых чисел.
Отсюда = arctg Q/P
Кривая, показывающая зависимость передаточного коэффициента от ча-
стоты входных колебаний, построенная в полярных координатах, называется
годографом, или амплитудно-фазовой частотной характеристикой. Годограф
представляет собой геометрическое место точек концов отрезка А соответ-
ствующих различным значениям входной частоты от 0 до .
Звенья автоматической системы могут соединяться между собой: последо-
вательно (передаточная функция последовательно соединенных звеньев равна
произведению передаточных функций отдельных звеньев), параллельно (передаточная функция параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточ-
ных функций отдельных звеньев), встречно-паралельно (передаточная функция
равна отношению передаточной функции прямой части к передаточной функ-
ции разомкнутой системы со знаком + если обратная связь отрицательная, и если обратная связь положительная.
Запас устойчивости по критерию Найквиста определяется по расположе-
нию АФЧХ относительно критической точки с координатами (-1, j0). Запас
устойчивости по фазе измеряется по дуге окружности единичного радиуса с
центром в начале координат между точкой (-1, j0) и ближайшей к ней точкой
пересечения окружности с годографом. Частота, при которой происходит пересечение АФЧХ с окружностью, называется частотой среза. На частоте среза
модуль передаточного коэффициента равен 1.Если на частоте среза увеличить
фазовый сдвиг на
, то АФЧХ пройдет через критическую точку и система
0
станет неустойчивой. Фазовый угол 0 ,который надо внести на частоте среза в
систему, чтобы система стала неустойчивой, называется запасом устойчивости
по фазе. Точка, в которой АФЧХ пересекает отрицательную ось действительных чисел, называется критической частотой. Если на критической частоте ввести дополнительное усилие, равное отрезку U, то АФЧХ пройдет через критическую точку и система станет неустойчивой.
Дополнительное усилие, которое надо ввести в систему, чтобы система
стала неустойчивой, называется запасом устойчивости по модулю. Значения U
и 0, характеризующие запас устойчивости, устанавливаются обычно опытным
путем и составляют 10÷15 дБ по модулю и 25÷40 дБ по фазе.
16
Для анализа САР на устойчивость методом Найквиста нужно построить
1
1
)(
22
pTpT
К
pT
pW
kr
р
a
об
pTpTpTpTTpTT
К
pW
krakara
р
об
22232
)(
pTTpTTTpTT
К
pW
akrkara
р
об
)()(
)(
2232
)()()()()(
)(
2232
iwTTiwTTTiwTT
К
iwW
akrkara
р
об
iTTwwTTTiwTT
К
iwW
akrkara
р
об
)()(
)(
2232
iwTTTTwwTTT
К
iwW
raakrka
р
об
))(())((
)(
3222
22
)( wTTTА
rka
32
)( wTTTTwВ
raak
i
BA
КB
BA
КA
BA
iКBКA
iBA
iBA
iBA
К
iwW
ррррр
об
)()(
222222
сТ
А
2
20
Р
К
ено м
НОМ
НОМ
e
НОМ
на гр
d
d
d
d
сТА1
1
АФЧХ для разомкнутой системы и анализируя устойчивость разомкнутой
судим об устойчивости замкнутой.
Найдем общую передаточную функцию разомкнутой системы.
обозначим
умножаем на сопряженную единицу.
Рассмотрим устойчивость САР, задаваясь
1.
2.
3.
время разгона объекта, с
- коэффициент чувствительного элемента регулятора.
коэффициент самовыравнивания объек-
та меняется от –0,5 до +0,5
Рассмотрим случай неустойчивой работы САР.
1.
2. Тr = 0.1
3. Тk = 0.08
4.
Определение устойчивость системы методом Гурвица
17
008,108,011
1
ka
TT
0-0,11361,0201)08,0(08,01
2222
2
rркkа
TКTTT
=0
=
Система неустойчива.
Определение устойчивость системы методом Найквиста (построение
выполнена в Microsoft Excel)
Рис. 7. АФЧХ неустойчивой системы
Построение переходной характеристики по методу Рунге-Кутта.
Рис. 8. Динамический процесс
18
Рис. 9. Динамика хода рейки
сТА1
1
00658,10658,011
1
ka
TT
010,000153571,0201)0658,0(0658,01
2222
2
rркkа
TКTTT
Рассмотрим случай работы САР на границе устойчивости.
1.
2. Тr = 0.0658
3. Тk = 0.08
4.
Определение устойчивость системы методом Гурвица
Система на границе устойчивости.
Определение устойчивость системы методом Найквиста (построение
выполнена в Microsoft Excel )
19
Рис. 10. АФЧХ системы лежащей на границе устойчивости
=
=0
Построение переходной характеристики по методу Рунге-Кутта
Рис. 11. Динамический процесс
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]