Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Mathematics (Математика). Учебное пособие
.pdf
211
Section 3. Differential calculation
of multi-variable functions
Topic 12. Multi-variable function.
Derivatives and differentials
of multi-variable functions
To prepare papers on the topic with the obligatory analysis of the solution of example.
212
Section 4. Integral calculation
(
)
sin21
x
ò
(
)
ò
-
of single-variable functions
Topic 13 Indefinite integral
Variant 1.
Calculate the integrals:
æ
2
ç
ç
ò
è
а)
x
ò
г)
ж)
Variant 2.
Calculate the integrals:
ò
а)
г)
ж)
Variant 3.
Calculate the integrals:
ò
а)
2
31
+
x
æ
4
ç
x
ç
è
æ
4
ç
è
2
+- dx
xx
;
dx
;2sinòdxx
x
xx
+× dx
;5sinòdxx
32
xx
3
x
2
x
ö
÷
÷
x
ø
23
-+- dx
3
;4737
-+- dx
2
dx
1
-
cos
б)
д)
з)
ò
- x
cos
ò
ò
ò
x
x
3
3
dx
+x
;
dx
ö
+ dx
÷
ø
dx
1
- x
2
x
31
+
x
dx
31
+ x
;
3
в)
;
е)
;1
и)
;
dx
3
;
2
в)
;
е)
и)
в)
;
ö
÷
ø
ò
б)
ò
д)
æ
ç
ò
è
з)
ö
;11
÷
÷
ø
;3
б)
x
ò
31
+
-
x
dx
ò
- x
ò
e
ò
-
e
x
ò
( )
41
-
x
41
xdx
2
x
+
2
3
x
;
dx
2
3
;2xdxe
;
2
;
2
15
+x
x
;4dx
;3òdxxtg
;
dx
2
213
dxx
3
sin
1
x
ò
з)
(
)
(
)
x
(
)
ò
(
)
3
x
sin31
x
ò
(
)
(
)
ò
г)
ò
ж)
Variant 4.
Calculate the integrals:
æ
ç
ò
è
а)
ò
г)
ж)
Variant 5.
Calculate the integrals:
æ
ç
ò
è
а)
ò
г)
ж)
Variant 6.
Calculate the integrals:
æ
ç
ò
ç
è
а)
;
2
5
+x
3
x
;
dxa
7
+- dx
x
4
x
xarctg
;
dx
2
2
;
dxxe
1
3
+- dxxxx
2
д)
;22xdx
3
+- dxe
x
dx
2
3
21
2
41
+
x
3
-
x
4
;
+
-
x
7
x
ò
в)
е)
и)
ò
ò
ò
-
2
x
3
+ x
e
-
ò
ò
ò
- dxx
2
lncos
xdx
x
e
dx
2
1
x
×
xdxe
2
x
3cos
2
dxx
- x
dx
;
x
;
dx
;
3
;21dx
;
x
;
3
;2dxe
;
2
4cos
x
;51
3cos
x
;
ò
+
д)
+ dxx
ò
ö
;
÷
ø
б)
д)
dx
ò
+ x
2
x
ò
41
+
dx
е)
;2sin2
и)
;
21
;
dx
3
x
е)
в)
;2sinòdxx
з)
ö
;3
÷
ø
ö
x
;
÷
÷
ø
ò
1
ò
ò
+ x
+
- dxx
б)
з)
ò
б)
+ x
xdx
cos
2
31
;
5
2
x
dx
и)
;
;3sin1
dxx
;
3
3
в)
ò
214
2
ò
(
)
2
sin
1
x
ò
5
(
)
5
x
ln
4
xxx
ò
(
)
xarctg
;
ò
1
г)
-
ж)
Variant 7.
Calculate the integrals:
ò
а)
ò
-
г)
-
ж)
Variant 8.
Calculate the integrals:
æ
2
ç
ò
è
а)
dx
ò
-
г)
ò
ж)
Variant 9.
Calculate the integrals:
æ
ç
ò
è
а)
dx
2
+
x
x
2cos
2
3
x
x
;
32
д)
;22xdx
33
32
+-
3
x
x
;
dx
;2
xdx
3
+- dx
2
x
д)
2
;2cos
dxxx
5
4
+- dx
x
x
e
ò
x
e
dx
ò
з)
xxx
;
dx
ö
;1
÷
ø
1
ö
;
÷
3
x
ø
ò
ò
x
sinòdx
ò
ò
-
æ
- dx
ç
ò
è
- x
б)
д)
з)
б)
з)
ò
б)
+ x
+
2
2
21
x
2
x
+ dxx
dx
sin1
xdx
31
;4dx
е)
;
3sin
x
dxx
3
dx
34
-
;
и)
;
2
в)
;
е)
и)
;32
;
x
ö
;
÷
5
ø
;
5
2
в)
ò
ò
ò
ò
в)
е)
и)
ò
12x
ò
2sin
x
xdx
+
3cos
x
dx
2
+
x
- dxx
;2cos
xdxe
;2òxdxtg
;
;3sin
xdxe
;
3cos
x
x
41
x
2
-;3
;
dx
2
2
xdxxe
;2òxdxctg
;21
215
2
ò
ò
(
)
ò
cos21
x
ò
(
)
(
)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
i)
a)
b)
c)
d)
e)
x
4
1
+
f)
+
1
x
ò
21
+
г)
ж)
Variant 10.
Calculate the integrals:
æ
ç
ò
è
а)
3
dxx
ò
41
+ x
г)
x
ò
ж)
Variant 11.
Calculate the integrals
ò
a)
ò
+
x
+ ;1
+
91
;
dx
3
д)
xx
;53 dx
1
3
2
-- dx
xx
x
;
4
2
dxe
2
dxx 14
2
3arctgxx
2
2
x
e
ò
2
x
e
x
ò
sin
з)
ö
;
÷
2
ø
б)
- xdxx
sin
ò
+
д)
з)
;
dx
+
3
3
dx
42
x
5
x
xx
dx
;sinòdxee
е)
;
и)
;2cos2sin1
;
dx
ò
- 41 x
4
x
dx
ò
5
x
51
+
ò
в)
е)
и)
ò
ò
3
-;2
x
2
ò
2
+
x
+
4
dxxe
2cos
x
cossin
×
xdx
1
- x
3
-;22
x
x
22
x
)5(
2
6
x
2
dx
xx
dxx
dx
;
dx
;
;3cosòxdx
+
x )1ctg(
ò
Variant 12.
Calculate the integrals:
æ
5
x 5
ç
ò
è
ò
4
dx
x
1
2
x
x
dx
2
+
x
dxx ×
h)
ö
dx
+-
÷
ø
ò
ò
dx
+ )15sin( x
2
x
dx
3
5cos
ò
ò
2
xdx2sin
dx
ò
- 1x
3arctgxx
ò
2
2
216
g)
dx
h)
i)
(
)
b)
c)
d)
xdx2
e)
x
3
sin
1
f)
e
1
+
i)
x
3
x
3
9
x
cos51
ò
2
1
+
a)
x
2
4
1
x
c)
ò
f)
1
10
x
g)
x
ò
i)
2
ò
Variant 13.
Calculate the integrals
ò
a)
ò
+
2
x
3
ò
g)
Variant 14.
Calculate the integrals
3
ò
а)
ò
г)
sin
ò
ж)
+
Variant 15.
Calculate the integrals
ò
- )15(sin
x
x
2
+-
×× dxx
2
23
-+
- dxx )4sin(
x
dx
2
xx
-+
2
- dxx )35sin(
d)
x ln
ò
dx
2
x
1
+
ò
dxex
13
dx
ò
ò
+
xx
+ 32x
x
3cos
dx
dx
23
)13(
-+
2
ò
-
e
dxln2
ò
× xx
2
dx
3
xx 1
x
dx
x
2ò
dx
dx
-
dxx )8(tg
+
x 15
dxe
x24
×× dxxe
dx
-
-
x 22
dxe
2
x
×× dxxe
ò
h)
xx
dx
543
dx
б)
д)
з)
b)
e)
h)
ò
ò
ò
ò
в)
е)
и)
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
2
dx
- x
x
2
9
dx
x
dx
2
2
-
)2(sin2x
3
dxx
-
2
21
dx
x
2
2
- 39
-
x
dx
2
x
41
217
Topic 14. Methods of integration
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Variant 1.
Calculate the integrals:
2ò-
1.
Variant 2.
Calculate the integrals:
1.
Variant 3.
Calculate the integrals:
1.
Variant 4.
Calculate the integrals:
x
2.
;
dxxe
2
x
2.
+ dxex
ò
x
;3
2. ;5arcsin
;òdxxe
2
ò
ò
;ln
dxxx
;arccosòdxxx
dxxx
1.
Variant 5.
Calculate the integrals:
1.
Variant 6.
Calculate the integrals:
1. ;2cos
Variant 7.
Calculate the integrals:
1. ;3sin
Variant 8.
Calculate the integrals:
1.
Variant 9.
Calculate the integrals:
1.
+ dxxx
ò
2
x
+ dxex
ò
ò
ò
dxxx 2.
dxxx 2.
x
ò
2
- dxxx
ò
;5cos2
2. ;4arcsin
2.
;5
;cos2xdxe
2.
;3sin1
2.
ò
7
ò
2
ò
× ;dxarctgxx
ò
ò
dxx
;ln
dxxx
;2ln3
+ dxxx
2
+ ;5ln
;3òdxxarctg
dxx
218
Variant 10.
(
)
(
)
;1dx
x
-
;
dx
x
cos1;
dx
æö
ç÷
èø
Calculate the integrals:
2
-
x
1.
ò
Variant 11.
Calculate the integrals:
-
1.
ò
Variant 12.
Calculate the integrals:
1.
ò
Variant 13.
Calculate the integrals:
1.
ò
Variant 14.
Calculate the integrals:
1.
ò
Variant 15.
Calculate the integrals:
1.
ò
+
x2
××
×+ dxxx 2cos)1(
2
×+ dxxx ln)1(
×+ dxxx ln)1(
×+ dxex
;52
dxxe
dxxe
; 2.
; 2.
-
x
)1(
Topic 15. Definite integral.
Calculation of a definite integral
Variant 1.
Calculate the integrals
2.
; 2.
; 2.
; 2.
2
+ ;1sin
xdxx
ò
-
x5
× dxxx 2cos
×- dxxx 3cos)3(
××
dxxe
×+ dxex
2
×+ dxxx ln)1(
ò
ò
ò
ò
ò
;
;
x
)5(
;
;
;
2
ò
1
a)
p
2
cos
x
ò
12sin
-
b)
p
3
c)
p
2
ò
p
3
x
+
3
219
Variant 2.
;1dx
x
-
;
dx
2
;
13
dx
x
;xadx
b)
2sin2;
xdx
c)
(
)
;
dx
a)
;
arctgx
dx
;
12
dx
x
c)
3
;3xdx
a)
5
;1xdx
3
;1xdx
x
;
dx
x
;3dx
+
ò
b)
3;
xxxdx
æö
ç÷
èø
c)
;
cos4
dx
x
a)
1sin3;
xdx
edx
;3dx
+
ò
Calculate the integrals
2
ò
3
1
a)
Variant 3.
Calculate the integrals
1
3
b)
ò
0
a)
Variant 4.
Calculate the integrals
p
4
ò
14
+
0
Variant 5.
Calculate the integrals
1
ò
0
( )
Variant 6.
Calculate the integrals
2
x
1
a)
Variant 7.
Calculate the integrals
p
6
( )
ò
0
2
2
x
2
x+
-
p
4
( )
ò
0
b)
b)
3
4
ò
0
1
2
x
ò
13
0
3
x+
+
1
ò
+
0
1
2
ò
-
0
1
-+
3
2
2
21x
ò
b)
c)
c)
;
ò
å
cosln
ò
1
p
cos
ò
13sin
+
0
c)
1
+
0
x
1
ò
0
( )
x
p
4
ò
0
2
x
1
x
2
x+
2
220
Variant 8.
;
dx
xdx
c)
5
;1xdx
;xexdx
12;
xdx
æö
ç÷
èø
c)
sin2;
xdx
;
cos3
dx
x
dx
c)
;
dx
x
;5xdx
+
b)
;
dx
x
exdx
×
a)
3;
xxdx
æö
ç÷
èø
b)
;3dx
+
c)
;
dx
11;
xdx
æö
ç÷
èø
7374;
dx
c)
sin5;
xdx
Calculate the integrals
1
2
x
ò
14
0
a)
Variant 9.
Calculate the integrals
1
-
3
x+
3
2
ò
0
a)
Variant 10.
Calculate the integrals
p
ò
0
a)
Variant 11.
Calculate the integrals
2
2
ò
x
1
a)
Variant 12.
Calculate the integrals
1
23
ò
0
Variant 13.
Calculate the integrals
1
4
-+-
ò
0
a)
2
4
-+-
32
x
2
ò
1
b)
b)
2
x
3
x
1
2
x
-
2
ò
0
b)
3
-+
1
ò
12
0
p
3
cos3
ò
1sin3
+
0
7
4
x
x
e
x
e-
x
1
ò
x
0
2
xx
ò
1
b)
;
×+
1
ò
0
( )
p
4
ò
0
p
3
cos3
ò
1sin3
+
0
1
ò
c)
1
ò
14
0
( )
20x
-
x
p
4
ò
0
2
x+
x
2
2
2
3
x-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]