Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Mathematics (Математика). Учебное пособие
.pdf
191
Section 2. Basics of calculus
x
4
-
Topic 9. Limits
To calculate limits of functions
Variant 1.
45
249
+-
lim
¥®
x
а)
lim
2
®
x
б)
lim
1
®
x
в)
lim
x
0®
г)
Variant 2.
lim
x
¥®
а)
lim
2
®
x
б)
lim
2
®
x
в)
x
0×®
г)
Variant 3.
lim
¥®
x
а)
xx
5
2
2
x
x
3
2
2
x
x
4
123
--
xx
;
5112
+-
xx
+-
xx
-+
--
lim
5
®
x
107
;
345
112
;
xarctg
;
23
xx
647
+-
23
xxx
5103
++
;
7132
--
xx
+-
xx
lim
7
®
x
149
;
2
314
-+
;
xctgx
52lim
;
24
23
+-
xx
235
--
xx
2
2
2
2
5112
+-
xx
107
+-
xx
xx
;
7132
--
xx
149
+-
;
192
8
lim
x
8
x
x
3
10
x
10
x
x
3
sin
2
®
x
б)
lim
4
®
x
в)
lim
0
x-®
г)
Variant 4.
lim
x
¥®
а)
lim
1
®
x
б)
lim
8
x
®
в)
2
lim
x
0®
г)
Variant 5.
lim
¥®
x
а)
lim
0
®
x
б)
lim
x
®20
в)
lim
x
0-®
г)
2
-
x
2
4
x
2
2
x
3
-
128403
+-
xx
-
321
-+
x
2
;
3cos1
x
lim
x
;
;
23
xx
64
+-
23
xxx
5102
++
;
12
--
xx
xx
-+
x
x
5arcsin
lim
4
-®
x
43
-+
3
;
31
;
®
2
8
2
--
xx
2
-+
xx
128403
+-
xx
-
;
12
43
;
;
23
23
+-
xx
4
2
x
+
2
685
-+
xx
;
10
2
10515
+-
xx
-
;
10515
+-
xx
-
-+
39
xx
;
xx
53
lim
®
x
;
;
193
Variant 6.
x
2
lim
¥®
x
а)
lim
2
®
x
б)
lim
5
®
x
в)
lim
x
0®
г)
Variant 7.
lim
x
¥®
а)
lim
5
®
x
б)
3
lim
2
-®
x
в)
lim
x
0-®
г)
Variant 8.
lim
¥®
x
а)
lim
1
®
x
5
б)
lim
3
®
x
в)
25
136
+-
xx
5
2
2
x
x
8
323
+-
xx
;
®
2
2
3
352
--
xx
65
+-
xx
;
352
--
xx
xx
--
--
lim
x
65
+-
;
21
312
;
xarctg
;
23
xx
64
+-
23
xxx
4103
++
;
2
2
x
3
x
2
3
2
2
x
x
5143
--
xx
+-
xx
+-
8
+
x
5cos1
xxtg
xx
23
xx
xx
xx
-+
--
lim
x
56
;
26
;
;
24
--
135
-+
;
372
+-
3165
+-
;
332
12
;
®
lim
®
x
2
2
1
2
2
3
5143
--
xx
56
+-
xx
;
372
+-
xx
3165
+-
xx
;
194
x
x
x
sin
()(
)
x
4
2
x
4
2
x
x
4
arcsin
x
2cos1
;
г)
lim
x
0-®
Variant 9.
33
11
-++
sin
3
xx
3
1
+
x
-+
xx
-+
xx
;
253
lim
x
232
;
2
2
2
-®
253
-+
xx
232
-+
xx
;
xx121
;
xtgx
;
а)
б)
в)
г)
lim
x
lim
®
x
lim
lim
x-®
¥®
2
2
5,0
0+-®
0
x
Variant 10.
4
23
-
x
8
3
8
-
x
-
;
x
1
x
5
43
++
xx
;
3
8
-
x
lim
0
®
x
-+
-+
-
;
132
25
;
xarctg
;
а)
б)
в)
г)
lim
x
lim
x
lim
x
lim
x
®
¥®
2
-®
0®
Topic 10. Derivative and differential of a function
Variant 1.
1. To find the derivative:
a)
2
3
1
3
xxy
3
+-+=
2
,
195
b)
3
-
2
dx
dx
x
x
x
cos
sin
c)
d)
e)
f)
g)
h)
y
y
y
=
3
=
1
arccos
=
2=
cosxxx
3
-
1
2
x
3
1
xyln
,
xarctgxy ×= sin
,
,
,
1
+
xtgxxtgy +-=
,
12
x
,
3
2
,
)sinln1( xy +=
,
-
ee
x
ectgy = .
xarctgxy =
,
xx
,
i)
j)
k)
l)
xeysin
=
y
-
=
2. To find the derivative
3. To find the derivative
Variant 2.
1. To find the derivative:
a)
4 -+-=
xxy
1
35
4
b) xxy sin= ,
c)
y
=
tgx
-
,
dy
: 0)1()(
2
yd
: xxy 2cos=.
2
3
3
3
,
3
y
=-++ xyearctgx
.
196
d)
2
+
=
x
=
dx
=
dx
x
2
+
-
=
e)
f)
g)
1
)
sin2( xctgy =
,
2
)arcsin(arccos xxy +=
,
,
)32ln(
xarctgy
x
e
tgy
=
,
h) xxy 5cos3sin
i) )11ln(
j)
k)
xy 10×= ,
l)
2
xtgy 26
x
sin
exy
+= .
2
x
-= ,
x
,
-+= xy ,
2. To find the derivative
3. To find the derivative
Variant 3.
1. To find the derivative:
a)
b) tgxey
c)
d)
10
x
= ,
=
y
=
tgy
2 +--=
2
+
xx
1
-
x
1
x
1
xxy
,
,
dy
: xyxy cossin
2
yd
2
4
2
.
:
2
1 xy += .
,
e)
f) )21ln( xy
g)
,
xx
y
sin
32sin += ,
2
1arcsin xxxy -+= ,
197
x
y ln
=
dx
dx
=
x
3
x
ln
-
x
2
cos
5
-
h)
1
=
x
,
2
i)
j)
= ,
k)
y 10= ,
l) xxy 5cos3sin
2
xey-
xtgx
xxarctgy ln×=
,
.
2. To find the derivative
3. To find the derivative
Variant 4.
1. To find the derivative:
a)
b) ctgxey
c)
d)
7
x
= ,
3
y
=
cos -=
7 24
7
x
+
3
xx
-
1
1
xxy
,
xxy 2sin
dy
e
:
2
yd
: )ln( xtgy
2
7
+--=
4
x
yx=-
.
y
.
,
,
x
e)
f)
g)
h)
i)
y
y
1
=
x
2
exy
= ,
2
6 -= ,
sin
ln=
arcsin
=
xy
,
1
x
extgy
x
,
12
x
,
198
j) )1)(1(
dx
dx
x
xarctgx
y
=
x
sin
e
x
ln
2
+
k)
-
y
=
1
eey ++=
,
x
earcctg
l) xxxxy )2(arcsin3
2. To find the derivative
3. To find the derivative
Variant 5.
1. To find the derivative
5 43
38 +--=
a)
xxy
2xx
,
23
++= .
dy
: yxyx arcsin
2
yd
:
2
1
3
3
2
2
= .
2
axy
= .
,
x
b)
c)
d)
e)
y
y ln=
=
,
x
,
+=
xtgy
x
,
x
f) xxy lnarcsin ×= ,
g)
h) )13(
i)
j)
xy
2
×= 9arcsin
ctgy
=
x
-
22
+-=x
10
k)
x
l)
3
cos= .
ey
1ln
)11( xy ++= ,
xxy-
,
2
1
xctg
+-= xxarctgy ,
,
,
)12(
-
199
2. To find the derivative
dx
dx
x
x
cos
-
=
214
x
2ln1
-
2
2
dx
x
dx
=
3. To find the derivative
Variant 6
1. To find the derivative:
а)
б) xey
в)
3 710
3 -+-=
x
arcsin= ,
x
e
y
=
,
1
xxy
2
dy
x
:
2
yd
:
2
3
10
y
y
,
x
=
1 x
-
0arcsin =- yx
.
.
2
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
м)
1
y
ln1
=
+
=
2
3=
ln
y
=
,
)13sin(3
xy
2
3
,
)21( xy -=
24
+=
x
xy =
xarctgy3
-
xtgxtgy
,
,
xy2sin110-
,
2
1arcsin
+-= xy
x
cos2sin
,
,
xx
-
ee
.
2. To find the derivative
To find the derivative
1
,
3
dy
2
yd
2
y
=
:
: xy sinln
)( xyarctg
.
.
200
Variant 7
4
x
x
sin
1
-
=
x
+
1
2
dx
(
)
dx
1
x
1. To find the derivative:
1
5
10
а)
б)
в)
y
г)
д)
е)
ж)
з) xxy 2cos3sin
и)
к)
л)
м) xarctgxy sinln
xy -=
1
y sin
=
3
x
tgx
y =
x
cos
=
-
-
ey
arctgy
=
4
x
,
,
x
,
,
)1ln( ctgxy
xx
ln
10+=
,
x
1
-
x
ey
x
1
+
x
2
-
x
2
-= .
32
,
= ,
ln
tgy
3= ,
=
xy
,
,
arccosarcsin +=
2. To find the derivative
dy
1
,
x
:
+ yx
exy .
2ln -=
To find the derivative
Variant 8
1. To find the derivative:
5
а) 227
б) xxy cos
3
= ,
3
2
+-= xxy ,
yd
y
:
2
3
x
=
.
-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]