Приближение многочленами и представление рядами в гильбертовом пространстве. Учебное пособие для студентов и аспирантов механико-математического факул-1

с постоянной C = 2δ .

3) ) 1). Пусть C – постоянная в неравенстве из 3). Тогда kLx Lx0kE2 = kL(x x0)kE2 Ckx x0kE1 < ε

при kx x0kE1 < δ = εC 1.

Определение 8. Нормой ограниченного линейного оператора L : E1 ! E2 называется число

kLkE1!E2 = sup kLxkE2 .

kxkE1 1

Норма kLkE1!E2 совпадает точной нижней гранью множества постоянных C > 0, для которых выполняется неравенство из утверждения 3) теоремы 2.

Пространство L(E1,E2), состоящее из всех ограниченных (или, что равносильно, непрерывных) линейных операторов L : E1 ! E2, является нормированным пространством.

Пример 5. Всякий линейный оператор L : Rn ! Rm ограничен. Оператор интегрирования V f (t) = r0t f (s) ds ограничен в пространстве C[0,1]:

и при этом kV kC!C = 1.

или, что то же самое, если limn!∞ kxn xkE = 0.

Определение 10. Последовательность fxng∞n=1 E называется фундаментальной (или последовательностью Коши), если

8ε > 0 9n0 8n,m n0 kxn xmkE < ε.

Определение 11. Нормированное пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится, называется полным. Полное нормированное пространство называется также банаховым пространством.

11

Замкнутым шаром с центром в точке x0 2E радиуса r > 0 называется множество

B(x0,r) = fx 2E : kx x0kE rg.

Теорема 3. В банаховом пространстве E каждая последовательность вложенных замкнутых шаров

B(x1,r1) B(x2,r2) ... B(xn,rn) ...

что означает фундаментальность последовательности fxng∞n=1. Ввиду полноты пространства E существует предел limn!∞ xn = x 2E. Поскольку при

и limn!∞ xn = x следует, что x2F. Множество G E называется открытым, если для каждой его точки x0 2 G существует окрестность Oδ(x0) = fx 2

2E : kx x0kE < δg, δ > 0, целиком лежащая в этом множестве: Oδ(x0) G. Замыканием cl X множества X называется пересечение всех замкну-

тых множеств, включающих в себя X. Внутренностью int X множества X называется объединение всех открытых множеств, включенных в X.

Множество X называется всюду плотным, если cl X = E. Множество X называется нигде не плотным, если int cl X = 0/.

Теорема Бэра. Банахово пространство E нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.

множество Xn нигде не плотно. Сразу заметим, что для произвольного нигде не плотного множества X его замыкание cl X не может целиком заполнить внутренность произвольного замкнутого шара B, а потому найдется x 2int B такой, что x 2/ cl X. Так как дополнение E ncl X открыто, то найдется замкнутый шар B(x,r) B, лежащий в E n cl X, т.е. непересекающийся с замыканием cl X. Теперь повторим это рассуждение последовательно для

12

что противоречит предыдущей теореме 3.

1.4. Компактность. Теорема Хаусдорфа

Определение 12. Множество K E называется компактом, если из лю-

Предложение 1. Всякий компакт K E в нормированном пространстве E является замкнутым множеством.

Доказательство. Пусть y 2/ K. Тогда для каждого x 2 K найдется окрестность Oδ(x)(x), δ(x) > 0, не содержащая y. Из открытого покрытия

K Oδ(x)/2(x)

x2K

выделим конечное подпокрытие K Oδ(x1)/2(x1) [... [Oδ(xn)/2(xn). Для каждого x 2 K найдется такое k, 1 k n, что kx xkkE < δ(xk)/2. С другой стороны, имеем ky xkkE δ(xk) согласно выбору окрестности. Отсюда

ky xkE ky xkkE kx xkkE δ(xk) δ(xk)/2 δ > 0

при δ = minfδ(x1)/2,..., δ(xn)/2g. Итак, получили неравенство

ky xkE δ > 0, x 2K.

Пусть последовательность fxng∞n=1 K сходится к y. Если бы y 2/ K, то полученное неравенство противоречило бы соотношению kxn ykE ! 0 при n ! ∞. Поэтому y 2 K и по определению K является замкнутым множеством.

Определение 13. Множество X E называется предкомпактным, если его замыкание cl X – компакт.

Теорема Больцано–Вейерштрасса. Пусть множество X E является предкомпактным в нормированном пространстве E.

Тогда из всякой последовательности fxng∞n=1 X можно выделить сходящуюся подпоследовательность fxnk g∞k=1.

13

Доказательство. Предположим противное: не существует x 2 cl X такого, что x = limk!∞ xnk для некоторой подпоследовательности. В таком случае, для каждого x 2 cl X найдется окрестность O(x), которая не содержит ни одного члена исходной последовательности, отличного от x. (Иначе каждая сколь угодно малая окрестность O(x) содержит хотя бы один член последовательности, отличный от x, и тем самым таких членов будет сколь угодно много, из которых можно будет выбрать подпоследовательность, сходящуюся к x.) Из этих окрестностей составим открытое покры-

содержать бесконечно много членов последовательности fxngn=1 вопреки ее построению.

Определение 14. Говорят, что множество N является ε-сетью для множества X, если для всех x 2X существует y 2N такое, что kx ykE < ε.

Определение 15. Множество X E называется вполне ограниченным, если для любого ε > 0 существует конечная ε-сеть N для X.

Теорема Хаусдорфа. Для того чтобы множество X E в банаховом пространстве E было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне ограниченным.

Доказательство. Необходимость. Предположим, что X является предком-

пактным множеством, т.е. K = cl X – компакт. Фиксируем ε > 0 и рассмот-

рим покрытие K x2K Oε(x) всевозможными ε-окрестностями точек компакта K. Выделим из него конечное подпокрытие K Oε(y1) [ ... [ Oε(yn). Тогда N = fy1,..., yng – конечная ε-сеть для K и тем более для X. Таким образом, для любого ε > 0 существует конечная ε-сеть для X.

Достаточность. Предположим, что множество X является вполне ограниченным. Для каждого натурального числа k выберем конечную 1k -сеть

Nk = fy(1k),..., y(nkk)g для X. Рассмотрим счетное семейство окрестностей удвоенного радиуса

14

Из доказанной теоремы Хаусдорфа и предложения 1 вытекает

Следствие 1. Пусть E – банахово пространство и K E. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1)K – компакт;

2)K – вполне ограниченное и замкнутое множество.

Пример 6. Из курса математического анализа известны следующие критерии компактности:

множество K Rn является компактом в том и только том случае, когда оно ограничено и замкнуто;

семейство функций F C[a,b] является предкомпактным тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено

9C > 0 8 f 2F 8t 2[a,b] j f (t)j C

и равностепенно непрерывно

8ε > 0 9δ > 0 8 f 2F 8s,t 2[a,b]

js tj < δ =) j f (s) f (t)j < ε.

15

1.5. Принцип равномерной ограниченности

Определение 16. Говорят, что p : E ! R ограниченный положительный выпуклый функционал, если существует постоянная C > 0 такая, что для всех x,y 2E и всех λ 0 выполняются соотношения:

1) p(x) CkxkE ,

2) p(x) 0,

3) p(x + y) p(x) + p(y),

4) p(λx) = λp(x).

Начнем со следующего принципа равномерной ограниченности для выпуклых функционалов.

Теорема 4. Если точная верхняя грань последовательности ограниченных положительных выпуклых функционалов pn : E ! R, n = 1,2,... , на банаховом пространстве E всюду конечна:

то (положительный выпуклый) функционал p : E ! R ограничен.

Доказательство. Рассмотрим последовательность замкнутых множеств

Xk = fx 2E : p(x) kkxkE g, k = 1,2,....

По условию теоремы, каждый элемент x 2 E принадлежит некоторому Xk, т.е. E = ∞k=1 Xk. По теореме Бэра хотя бы одно из рассматриваемых множеств Xk0 не является нигде не плотным и поэтому включает в себя некоторый шар B(x0,r0). Пусть kxkE 1 – произвольный вектор из единичного шара B = B(0,1). Тогда x0 + r0x 2B(x0,r0) Xk0 , откуда

p(x0 + r0x) k0kx0 + r0xkE .

Оценим

16

Как следствие теоремы 4 получим принцип равномерной ограниченности для линейных операторов.

Теорема Банаха–Штейнгауза. Если последовательность Ln : E1 ! E2, n =

= 1,2,... , ограниченных линейных операторов, действующих из банахова пространства E1 в нормированное пространство E2, является ограниченной в каждой точке:

то она равномерно ограничена:

sup kLnkE1!E2 < ∞.

n=1,2,...

Доказательство. Применим теорему 4 к последовательности ограниченных положительных выпуклых функционалов

точная верхняя грань которых p : E1 ! R всюду конечна по условию. Получим

p(x) = sup kLnxkE2 CkxkE1 .

n=1,2,...

Отсюда kLnkE1!E2 = supkxkE1 1 kLnxkE2 C < ∞, n = 1,2,... .

1.6. Теорема об открытом отображении

Определение 17. Отображение f : E1 ! E2 называется открытым, если образ f (G) каждого открытого множества G является открытым множеством.

Отображение f : E1 ! E2 называется сюръекцией, если для всех y 2E2 существует x 2 E1 такой, что y = f (x).

Теорема об открытом отображении. Пусть E1, E2 – банаховы простран-

ства. Тогда всякая сюръекция S 2 L(E1,E2) является открытым отображением.

17

имеем y0 + r0y 2B(y0,r0) и поэтому y0 + r0y = limn!∞ k0Sxn, где xn 2B1, n =

где x 2 E1 (надо учесть полноту пространства E1) и kxkE1 1 + ε. Это означает, что B2 S(r(1 + ε)B1) и в силу произвольности ε > 0 имеем

B2 S(rB1).

Для завершения доказательства возьмем произвольное открытое множество

G E1. Если x0 2G, то Oδ(x0) G. При этом Oδ/r(Sx0) S(Oδ(x0)) S(G), т.е.

S(G) содержит каждую свою точку Sx0 вместе с некоторой ее окрестностью. Это означает, что S(G) – открытое множество.

18

1.7. Теорема Банаха об обратном операторе

Отображение f : E1 ! E2 называется биекцией, если для каждого y2E2 существует и притом единственный x2E1 такой, что y = f (x). Для биекции f : E1 ! E2 корректно определено обратное отображение f 1 : E2 ! E1.

Определение 18. Говорят, что линейный оператор T : E1 ! E2 является изоморфизмом пространств E1 и E2, если выполняются следующие условия:

1)T – биекция;

2)T 2L(E1,E2) и T 1 2L(E2,E1).

Теорема Банаха об обратном операторе. Пусть E1 и E2 – банаховы про-

странства.

Тогда каждая биекция T : E1 ! E2 является изоморфизмом.

Доказательство. Нетрудно видеть, что обратное отображение T 1 : E2 ! ! E1 к линейному оператору само является линейным оператором. Требуется доказать ограниченность обратного оператора T 1.

По теореме об открытом отображении образ ε-окрестности точки x0 2 2E1 содержит некоторую δ-окрестность точки y0 = T x0:

1.8. Сопряженное пространство

Определение 19. Пространство, состоящее из всех ограниченных линейных функционалов на нормированном пространстве E, называется сопряженным пространством к E и обозначается E .

Сопряженное пространство E является нормированным пространством относительно нормы

kLkE = sup jL(x)j.

kxkE 1

19

Теорема 5. Сопряженное пространство E к нормированному пространству E является банаховым пространством.

Доказательство. Пусть fLng∞n=1 – фундаментальная последовательность в пространстве E , т.е.

8ε > 0 9n0 8n,m n0 kLn LmkE < ε.

Так как для всех x 2E имеем

jLn(x) Lm(x)j kLn LmkE kxkE εkxkE ,

то числовая последовательность fLn(x)g∞n=1 является фундаментальной, так что существует предел limn!∞ Ln(x), который обозначим через L(x). Нетрудно видеть, что L – линейный функционал на E. Ограниченность L следует из оценки

с учетом ограниченности последовательности норм fkLnkE g∞n=1, вытекающей из ее фундаментальности

jkLnkE kLmkE j kLn LmkE < ε, n,m n0.

Наконец, устремив m ! ∞ в неравенстве jLn(x) Lm(x)j εkxkE , получим jLn(x) L(x)j εkxkE , что означает kLn LkE ε, n n0. Таким образом, последовательность fLng∞n=1 сходится к L 2E .

Следующую теорему часто называют «Следствие из теоремы Хана– Банаха об экстремальном функционале».

Теорема 6. Для каждого вектора x0 2 E существует функционал L 2 E такой, что kLkE = 1 и L(x0) = kx0kE .

Доказательство. Пусть x0 =6 0. Рассмотрим одномерное подпространство E0 = fλx0g. Линейный функционал L0(λx0) = λkx0kE удовлетворяет условию jL0(x)j kxkE , x 2 E0. По теореме Хана–Банаха существует продолжение L функционала L0 с подпространства E0 на пространство E, попрежнему удовлетворяющее условию jL(x)j kxkE , x 2E. Отсюда следует, что kLkE 1 и поскольку L(x0) = L0(x0) = kx0kE , то kLkE = 1.

Из теоремы 6 следует, что

kxkE = sup jL(x)j,

kLkE 1

причем точная верхняя грань достигается на некотором линейном функционале L 2 E .

20