6 Ротор векторного поля. Формула стокса

Если векторное поле имеет дифференцируемые в точке составляющие то ротором (или вихрем) векторного поля в точке называется вектор

где частные производные вычислены в этой точке.

В символической форме имеет вид:

. (14)

Векторное поле называется безвихревым в области , если в каждой ее точке

Если дифференцируемы в области и в этой области расположен некоторый замкнутый контур то для любой незамкнутой поверхности , опирающейся на контур имеет место формула Стокса.

(15)

где на берется та сторона, в точках которой вектор нормали направлен так, чтобы видимый с его конца обход контура совершался против часовой стрелки (ориентация поверхности согласована с обходом контура).

Формула Стокса позволяет свести вычисление циркуляции векторного поля по контуру к вычислению потока поля через незамкнутую поверхность , опирающуюся на контур ( - граница незамкнутой поверхности ). Заметим, что - любая поверхность, имеющая границей контур поэтому возможен наиболее простой ее выбор.

Если через контур провести две поверхности и то

Учитывая, что и ограничивают некоторую пространственную область и меняя направление нормали на поверхности на противоположное т.е. на внешнее по отношению к получим

т. е. поток вихря через замкнутую поверхность равен 0. Это означает, что поле вихря является соленоидальным.

Для плоского векторного поля формула Стокса принимает частный вид

(16)

где - замкнутая область на плоскости а - граница этой области с положительным направлением обхода. Формула (16) называется формулой Грина.

Задача 7. Вычислить с помощью формулы Стокса циркуляцию поля вектора по контуру положительно ориентированному по отношению к оси

Решение. Построим контур (рисунок 6). Этот контур - окружность радиусом 1 в пересечении параболоида и конуса

Рисунок 6

Простейшей поверхностью, опирающейся на этот контур, является плоскость Заданная ориентация означает, что с конца обход виден совершаемым против часовой стрелки. Тогда нормалью к плоскости является вектор .

Вычислим по формуле (14)

Вычисляем циркуляцию по формулам (15) и (16)

где - проекция круга радиусом 1 на плоскость .

7 Потенциальное векторное поле. Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле

Векторное поле , заданное в области , называется потенциальным, если в области существует такая скалярная функция , что вектор можно представить в виде градиента этой функции:

. (17)

Функция называется потенциальной функцией или потенциалом векторного поля. Из формулы (3.17) следует , что

и

т. е. - есть полный дифференциал потенциала этого поля. Критерием потенциальности векторного поля служит равенство

(18)

Следовательно, для того чтобы векторное поле было потенциальным необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым.

Выполнение условия (18) в области приводит не только к потенциальности векторного поля, но и к следующим результатам:

а) в области существует потенциал который может быть определен с точностью до постоянной по формуле

(19)

где - любая фиксированная точка; - переменная точка в области - произвольная постоянная. Во втором интеграле формулы (19) постоянно а в третьем - и

б) циркуляция векторного поля по любому замкнутому контуру равна нулю:

Если же хотя бы в одной точке, внутренней по отношению к контуру поле не определено, циркуляция по этому контуру может и не обратиться в нуль, хотя поле потенциально;

в) для любых двух точек и области значение линейного интеграла векторного поля

не зависит от формы кривой соединяющей точки и и расположенной в , а зависит только от положения точек и в области ;

г) линейный интеграл этого поля вдоль любого контура соединяющего точки и равен разности значений потенциала в конечной и начальной точках контура:

. (20)

Физический смысл этого результата: если - силовое поле, то разность потенциалов между точками и равна работе, которую поле совершает при перемещении материальной точки из в .

Задача 8. Доказать, что поле вектора

является потенциальным. Найти его потенциал и вычислить линейный интеграл поля от точки до точки .

Решение. Так как поле определено и дифференцируемо в любой точке пространства и (проверьте самостоятельно), то данное поле потенциально. Найдем потенциал поля по формуле (19), взяв в качестве точки начало координат:

Линейный интеграл вычислим по формуле (20)