2 Векторное поле. Векторные линии

Если в каждой точке пространственной области задан определенный вектор то говорят, что в этой области задано векторное поле. Векторное поле задается тремя скалярными функциями , являющимися проекциями вектора на координатные оси декартовой системы:

.

Примерами векторных полей могут служить поле электрической напряженности, силовое поле, поле скоростей текущей жидкости и др. Векторное поле тоже может быть плоским, например,

.

Векторной линией поля называется такая линия, касательная в каждой точке которой направлена вдоль заданного в этой точке вектора поля (рисунок 1).

Рисунок 1

Всякое векторное поле обладает семейством векторных линий. Уравнения этого семейства есть общее решение дифференциальных уравнений вида

. (4)

Задача 2. Для плоского поля найти уравнения семейства векторных линий и векторной линии, проходящей через точку

Решение. Так как то, согласно равенству (4), уравнение семейства одно и определяется общим решением дифференциального уравнения

.

Это уравнение линейное относительно как функции от . Решая его методом вариации произвольной постоянной, получим общее решение в виде

.

Выделим из этого семейства одно решение то, которое представляет собой уравнение векторной линии, проходящей через точку . Подставив в общее решение получим Итак, искомая векторная линия

3 Поток векторного поля

Пусть в поле вектора задана ориентированная поверхность . Обозначим через единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности в ее произвольной точке. Поверхностный интеграл первого рода по поверхности от скалярного произведения вектора на вектор

(5)

называется потоком векторного поля через ориентированную поверхность и обозначается . В случае замкнутой поверхности поток записывается в виде

.

Если ввести в рассмотрение вектор и обозначить его проекции на оси координат то формулу (5) можно переписать в виде

(6)

где вектор направлен по нормали к выбранной стороне поверхности . Правая часть равенства (6) является поверхностным интегралом второго рода.

Если, например, – поле скоростей текущей жидкости в области и – незамкнутая поверхность с выбранным направлением нормали , то равен количеству жидкости, проходящей в единицу времени через поверхность в направлении . Если – замкнутая поверхность, ограничивающая некоторую область с внешней нормалью , то равен разности количеств втекающей в эту область жидкости и вытекающей. Когда это означает, что в области имеются источники (где векторные линии порождаются), а если то это указывает на наличие в области стоков (где векторные линии заканчиваются).

Если ориентированная поверхность задана явно непрерывно дифференцируемой функцией то по формуле (6) можно получить следующую формулу, связывающую поверхностный интеграл по поверхности с двойным интегралом по проекции этой поверхности на плоскость :

(7)

где знак плюс берется, когда интегрирование в левой части ведется по стороне положительно ориентированной по отношению к оси - вектор нормали к ориентированной поверхности. Запись означает, что в произведении переменную следует заменить на

Если поверхность задана явно уравнением или то соответственно меняются роли переменных в формуле (7).

Замечание. Если поверхность задана уравнением которое неоднозначно разрешается относительно одной из переменных и, следовательно, поверхность неоднозначно проецируется на соответствующую координатную плоскость (например - цилиндрическая поверхность неоднозначно проецирующаяся на плоскость ), ее следует разбить на части, однозначно проецирующиеся на координатную плоскость.

Задача 3. Вычислить поток вектора через нижнюю сторону поверхности , отсеченной плоскостью (рисунок 2).

Рисунок 2

Решение. Учитывая, что имеет различный знак для правой и левой части поверхности , а – сохраняет отрицательный знак для всей поверхности, будем иметь

где – правая часть поверхности (нормаль к ней составляет с острый угол), – левая часть поверхности. Первые два слагаемых уничтожаются, так как и имеют одинаковую проекцию на Окончательно имеем :

где – проекция на имеет форму круга с границей . Поэтому, переходя к полярным координатам, получим