4 Октября 2021 Лекция №6 по релятивистской квантовой теории

“Ученый, по сути, единственный человек, которому есть, что сказать, но именно он – единственный человек, который не знает, как это донести до простого слушателя.” Сэр Дж. Барри

Электромагнитное поле. Фотоны

Мы переходим к описанию полей, создаваемых заряженными частицами материи.

Считается, что фундаментальными полями природы являются спинорные поля (лептоны и кварки) и калибровочные поля (электромагнитное, слабое и глюонное – сильное цветовое поле). Наиболее изученным является, очевидно, электромагнитное поле, создаваемое частицами, обладающими электрическим зарядом или магнитным моментом. Электромагнитное поле, создаваемое зарядами или внутренней электромагнитной структурой частиц (дипольными, квадрупольными, магнитными моментами и т. д.), необходимо, чтобы ввести взаимодействие между ними.

Будем пользоваться хэвисайдовской системой единиц. В этой системе постоянная тонкой структуры

 = e²/4  1/137. (1).

Фотон, квант электромагнитного поля, обладает спином S=1 и масса его строго равна нулю.

Фотон, как и любое электромагнитное поле, описывается системой уравнений Максвелла, которые в хэвисайдовской системе имеют вид:

(а) divH = 0; (б) rotE = -H/t; (2)

(в) divE = ; (г) rotH = j + E/t.

Уравнение (а) свидетельствует об отсутствии магнитных зарядов. Уравнение (б) выражает закон Фарадея – изменение магнитного поля ведет к возникновению электрического поля. Уравнение (в) выражает теорему Гаусса – Остроградского – полный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности, можно получить интегрированием нормальной составляющей вектора E по этой поверхности (поток вектора E). Уравнение (г) выражает закон Ампера rotH = j, в который Максвеллом введен дополнительный член E/t, учитывающий, что изменение электрических полей приводит к возникновению магнитных полей.

Введем 4-потенциал электромагнитного поля A_ = (U, A), где U – скалярный потенциал, а A – векторный потенциал электромагнитного поля. Напряженности магнитного и электрического поля выражаются через потенциалы:

H = rotA; E = -gradU - A/t. (2`)

Уравнения (а) и (б) будут удовлетворяться автоматически, так как div(rotB)  0, rot(gradB)  0, где В – произвольный вектор, зависящий от координат.

Введем также тензор электромагнитного поля:

F_=_A_-_A_ (,=0,1,2,3) (3).

Здесь F_0i = -E_i, F_ij = -_ijkH_k. (i,j,k=1,2,3).

Где _ijk – абсолютно антисимметричный тензор Леви – Чивиты.

Неоднородные уравнения Максвелла (в) и (г) в ковариантной форме запишутся в виде:

_F_ = j_ , (4)

где j_ = (, j).

Как хорошо известно, электродинамика калибровочно инвариантна: замена 4-потенциала

A_A_ - _(x) (5)

не меняет уравнений Максвелла и всех наблюдаемых величин, т. е. напряженностей полей E и H, а также тензора электромагнитного поля F_ (здесь (x) – произвольная скалярная функция координат и времени). Таким образом, потенциалы определены неоднозначно и на них можно наложить дополнительное условие. Обычно на потенциалы накладывается ковариантное условие – условие калибровки Лоренца:

_A_=0. (6)

Говорят, мы работаем в лоренцевой калибровке.

При таком выборе калибровки (6) уравнение (4) принимает вид:

 A_  _²A_  (²/t² - ²)A_ = j_ (7)

Иногда удобнее пользоваться кулоновской калибровкой: divA=0.

Фотоны являются решениями уравнений Максвелла в вакууме =0, j=0. Обозначим 4-импульс фотона k_ = (k₀=, k). С учетом условия Лоренца (6) уравнение (4) для полевой функции фотонов, т. е. 4-потенциала A_(x), приобретает вид:

_²A_(x)=0 (7`)

Решениями уравнения (7`) являются полевые функции фотона:

A_(x) = _^()exp(-ikx)/(2)^1/2. (8)

Полевая функции фотона (частицы со спином S=1) A_ представляет 4-вектор. Поэтому частицы со спином S=1 – фотоны, глюоны, калибровочные бозоны слабого взаимодействия – называют векторными частицами.

Мы уже говорили о том, что фотон – это истинно нейтральная частица, т. е. он не имеет внутренней электромагнитной структуры и является собственным состоянием оператора зарядового сопряжения C. Поэтому действие на его полевую функцию оператора зарядового сопряжения снова дает полевую функцию фотона. Но оператор зарядового сопряжения всегда меняет положительно-частотное решение на отрицательно-частотное: оператор C обязательно содержит операцию комплексного сопряжения. Поэтому полевая функция A*(x) тоже описывает фотон:

A_*(x) = _^()*exp(ikx)/(2)^1/2 (8`)

Здесь _^() - единичный 4-вектор поляризации, описывающий поляризационные состояния  фотона ( описывает тип поляризации).

Поскольку электромагнитное поле в вакууме поперечно, то для реального (наблюдаемого) фотона с k_²=0 существуют два состояния поляризации, ортогональные по отношению к направлению импульса фотона k. Если ось z направить по импульсу фотона k, то плоскостью поляризации будет плоскость (xy), в которой можно ввести два взаимно ортогональных орта, вектора поляризации, направленные по осям х (=1) и y (=2). У реального фотона, таким образом, существуют два типа поляризации =1,2 – это так называемые физические (наблюдаемые) поляризации.

Для реального фотона k__^(=1,2) = 0.

У виртуального фотона (ненаблюдаемого на опыте k_²0), который испускается одной частицей и поглощается другой, т. е. его время жизни ограничено (обычно в электродинамике оно составляет ~10^-16-10^-19 сек), в 4-пространстве Минковского можно ввести 4 независимых взаимно ортогональных вектора:

⁽¹⁾ = (0,1,0,0) – физическая поперечная поляризация по оси x; (9)

⁽²⁾ = (0,0,1,0) – физическая поперечная поляризация по оси y;

⁽⁰⁾ = (1,0,0,0) – нефизическая скалярная поляризация;

⁽³⁾ = (0,0,0,1) – нефизическая продольная поляризация по оси z.

В случае реального фотона состояния с продольной и скалярной поляризацией отсутствуют. Кстати, их всегда можно исключить, используя калибровочную инвариантность 4-потенциала электромагнитного поля.

В дальнейшем при выводе правил Фейнмана и расчете сечений физических процессов нам понадобится формула суммирования по поляризациям фотона:

_ _^()_^() = _⁽¹⁾_⁽¹⁾ + _⁽²⁾_⁽²⁾ +_⁽³⁾_⁽³⁾ - _⁽⁰⁾_⁽⁰⁾ = -g_. (10)

Уравнение для массивных калибровочных векторных бозонов – уравнение Прокá

Массивные поля со спином 1 – это калибровочные бозоны W^ и Z⁰, кванты слабого взаимодействия, описываются уравнением Прокá.

Обозначим векторное поле массивных калибровочных бозонов B_. Уравнение Прока (без вывода):

(_² + m²)B_ = 0 (11)

Выполняется условие Лоренца _B_=0.