Приложение к лекции №15. Вычисление поляризационного оператора в однопетлевом приближении (во втором порядке теории возмущений)
Рис.1 Диаграмма Фейнмана для поляризационного оператора во втором порядке теории возмущений (виртуальный фотон с 4-импульсом k распадается на пару, которая снова аннигилирует в тот же фотон с 4-импульсом k).
Самое общее выражение для поляризационного оператора, который является симметричным тензором, зависящим от двух индексов μ и ν (в нашем распоряжении имеется симметричный метрический тензор gμν и симметричная комбинация, составленная из 4-вектора kμ, – kμkν) можно записать из соображений релятивистской инвариантности в виде:
(1) Πμν(k) = Π(1)(k2)k2gμν + Π(2)(k2)kμkν
Тензор Πμν(k) симметричен по индексам μ и ν. Требование калибровочной инвариантности Πμνkν=0 дает:
Πμνkν = (Π(1)k2 + Π(2)k2)kμ = 0, отсюда, имея в виду произвольность kμ, получим:
Π(2) = -Π(1) ≡ Π0(k2).
С учетом сказанного выше тензор Πμν приобретает вид:
(2) Πμν(k) = Π0(k2)(kμkν – k2gμν)
Теперь выведем дополнительные правила Фейнмана для вычисления фермион-антифермионной петли. Для этого рассмотрим элемент S-матрицы, соответствующий второму порядку теории возмущений:
S(2)fi = ∫d4x3d4x4f(x4)(-ieÂ(x4))S0(x4-x3)(-ieÂ(x3))i(x3)
Рис.2 Диаграмма Фейнмана, соответствующая элементу S-матрицы S(2)fi.
Чтобы получить фермион-антифермионную петлю, надо замкнуть фермионные концы диаграммы, как показано пунктирной линией на Рисунке 2. Аналитически это означает, что мы получим функцию Грина (пропагатор) с вкладом антифермионных состояний, причем при замыкании надо положить совокупность квантовых чисел f, равными i: f=in:
n{n(x3)}m{n(x4)}k = –S0mk(x3-x4)
Здесь индексы m и k – матричные, они нумеруют строки и столбцы биспиноров. Подставим S0(x3-x4) в элемент S-матрицы:
(3) S(2) = ∫d4x3d4x4{(-ieÂ(x4))S0(x4-x3)(-ieÂ(x3))}km{-S0(x3-x4)}mk =
= -∫d4x3d4x4Sp{(-ieÂ(x4))S0(x4-x3)(-ieÂ(x3))S0(x3-x4)}
Таким образом, возникают дополнительные правила Фейнмана для фермион-антифермионной петли:
A. Умножение на (-1) для каждой фермион-антифермионной петли.
B. Взятие следа при вычислении петли.
Используя эти правила, для поляризационного оператора Πμν по правилам Фейнмана получим:
(4) Πμν(k) = - Sp∫(d4p/(2π)4i)(-ieγμ)[-(pˆ+m)/(p2-m2+iε)](-ieγν)
[-(kˆ-pˆ+m)/((p-k)2-m2+iε)]
Здесь pˆ=pμγμ, kˆ=kμγμ. Oдна из дельта-функций закона сохранения энергии-импульса в вершине диаграммы Рисунка 1 использована для вычисления интеграла по р*, а другая должна присутствовать общим множителем, выражающим закон сохранения энергии-импульса всего процесса в целом, поэтому ее мы учитывать не будем.
Перемножим все множители в числителе и возьмем от них по общим правилам след, тогда (4) приобретет вид:
(5) Πμν(k) = (4e2/i)∫(d4p/(2π)4){[-2pμpν+p2gμν+pμkν+pνkμ-(pk-m2)gμν]/
/[(p2-m2+iε)((p-k)2-m2+iε)]
Дальнейшие вычисления в (5) проведем, следуя методу фейнмановской параметризации, который основан на очевидном тождестве: 1/ab = ∫01dz/(az+b(1-z))2
Действительно, ∫01dz/(az+b(1-z))2 = {(a-b)-1(-(a-b)z+b)-1}|01 = 1/ab.
Положим в интеграле (5) a(p-k)2-m2; bp2-m2 и воспользуемся формулой предыдущей строки. (Малую добавку i пока опустим.) В результате получим:
(6) Πμν(k) = (4e2/i)∫01dz∫(d4p/(2π)4)[-2pμpν+p2gμν+pμkν+pνkμ-(pk-m2)gμν]/
/[((p-k)2-m2)z+(p2-m2)(1-z)]2
Преобразуем выражение в знаменателе, дополнив его до полного квадрата:
((p-k)2-m2)z+(p2-m2)(1-z) = (p2-2pkz+k2z-m2)+k2z2-k2z2 = (p-kz)2+k2z(1-z) –m2.
Введем новую переменную интегрирования p`=p-kz.
С помощью этой переменной выражение (6) преобразуется к виду:
(7) Πμν(k) = (4e2/(2π)4i)∫01dz∫d4p`[-2p`μp`ν+p`2gμν+m2gμν+2kμkνz(1-z)-k2gμνz(1-z)+F]/
/[p`2+k2z(1-z)-m2]2
Здесь буквой F обозначены слагаемые, линейные по p`:
F = -2p`μkνz-2p`νkμz+p`μkν+kμp`ν+p`k(2z-1)gμν
Интегралы, содержащие в числителе слагаемые, линейные по p`, обращаются в ноль, так как являются интегралами от нечетной функции по всему 4-пространству импульсов:
(8) Iν = ∫d4p`p`ν/(p`2+R)2, где R = k2z(1-z)-m2.
Интеграл от первого слагаемого в числителе (7) можно упростить. Поскольку выражение p`μp`ν симметрично по индексам μ и ν, то результат интегрирования должен содержать симметричный тензор, причем единственным симметричным тензором в пространстве Минковского является метрический тензор gμν. Поэтому Iμν = ∫d4p`p`μp`ν/(p`2+R)2 = I0gμν. Умножая обе стороны этого соотношения на gμν (gμνgμν=4), получим: ∫d4p`p`2/(p`2+R)2 =4I0, и Iμν = (1/4)∫d4p`[p`2/(p`2+R)2]gμν
С учетом сказанного выше, (7) приобретает вид:
(9) Πμν(k) = (4e2/(2π)4i)∫01dz∫d4p`[(p`2/2)gμν+m2gμν+2kμkνz(1-z)-k2gμνz(1-z)]/(p`2+R)2
Потребуем калибровочной инвариантности Πμν, то есть потребуем, чтобы Πμνkν=0.
(10) Πμνkν = (4e2/(2π)4i)∫01dz∫d4p`{[p`2/2+m2-k2z(1-z)]gμνkν+2k2z(1-z)kμ}/(p`2+R)2
Запишем последнее слагаемое в числителе (10) в виде 2k2z(1-z)kμ=2k2z(1-z)gμνkν. Тогда (10) примет вид:
(11) Πμνkν = (4e2/(2π)4i)∫01dz∫d4p`[p`2/2+m2+k2z(1-z)]gμνkν/(p`2+R)2 = 0
Из произвольности kν следует, что
(12) ∫d4p`[p`2/2+m2+k2z(1-z)]gμν/(p`2+R)2 = 0
Благодаря калибровочной инвариантности исчезает квадратично расходящееся слагаемое, пропорциональное ∫d4p`p`2/(p`2+R)2! Линейная расходимость также не возникает (см. соотношение (8)) – остается только логарифмическая расходимость. В КЭД вообще не существует расходимостей выше логарифмических. Расчет петлевых диаграмм представляет громоздкую, но хорошо разработанную процедуру. Наряду с изложенным здесь методом фейнмановской параметризации существуют и другие способы вычисления расходящихся интегралов, например, метод размерной регуляризации, процедура вычитания бесконечностей и пр.
С использованием (12) выражение для поляризационного оператора (9) приводится к виду:
(13) Πμν(k) = (4e2/(2π)4i)∫01dz∫d4p`[2kμkνz(1-z)–2k2gμνz(1-z)]/(p`2+R)2 =
= {(8e2/(2π)4i)∫01dzz(1-z)∫[d4p`/(p`2+R)2]}(kμkν-k2gμν)
Сравнивая (13) с общим видом поляризационного оператора (2), очевидно, что выражение (13) содержит правильную тензорную структуру (kμkν-k2gμν), а оставшийся в (13) интеграл определяет Π0(k2):
(14) Π0(k2) = (8e2/(2π)4i)∫01dzz(1-z)∫d4p`/(p`2+R)2
Теперь займемся вычислением логарифмически расходящегося интеграла по p`: ∫d4p`/(p`2+R)2. Здесь p`2=p`02-p`12-p`22-p`32; d4p`=dp`0dp`1dp`2dp`3. Повернем контур интегрирования по переменной p`0 на π/2 с действительной оси против часовой стрелки в комплексной плоскости p`0, как показано на Рисунке 3. При этом повороте полюса подынтегральной функции (5) не пересекаются контуром интегрирования, поэтому такой поворот математически корректен. (На Рисунке 3 крестиками отмечены полюса подынтегральной функции (5)).
Положим p`0=ip`4, тогда d4p`=id4p, p`2=-(p`12+p`22+p`32+p`42)=-p2. Пространство для 4-вектора p стало евклидовым. Соотношение (14) для Π0 запишется в виде:
(15) Π0(k2) = (8e2/(2π)4)∫01dzz(1-z)∫d4p/(p2-R)2
Интеграл I=∫d4p/(p2-R)2 вычисляется в сферических координатах в 4-мерном евклидовом пространстве. Обозначим 4-объем в таком пространстве V4=C4p4, тогда dV4=4C4p3dp. Чтобы найти C4, воспользуемся интегралом:
(*) ∫∫∫∫-∞∞dp1dp2dp3dp4exp{-β(p12+p22+p32+p42)}={∫-∞∞dp1exp(-βp12)}4=
=(√π/β)4=π2/β2.
С другой стороны, этот же интеграл можно вычислить в сферических координатах в 4-мерном пространстве:
(**) ∫∫∫∫-∞∞dp1dp2dp3dp4exp{-β(p12+p22+p32+p42)}=∫dV4exp(-βp2)=
=4C4∫0∞p3dpexp(-βp2)=2C4/β2
Сравнивая (*) и (**), найдем С4=π2/2. Интеграл I равен:
(16) I = ∫0∞(4π2/2)p3dp/(p2-R)2 = 2π2∫0∞p2d(p2/2)/(p2-R)2 =
= π2∫0∞(p2-R+R)d(p2)/(p2-R)2 = π2{∫0∞d(p2)/(p2-R) + R∫0∞d(p2)/(p2-R)2}
Второй интеграл в (16) не содержит расходимостей, а первый – расходится логарифмически. Заменим в нем верхний бесконечный предел квадратом большого “обрезающего” импульса L2 и ограничимся при вычислении основным, логарифмически расходящимся слагаемым:
I π2ln{L2/(-R)} = π2ln{L2/[m2-k2z(1-z)]} = π2{ln(L2/m2) – ln[1-(k2/m2)z(1-z)]}
После чего Π0 в формуле (15) запишется в виде:
(17) Π0(k2) = (e2/2π2)∫01dzz(1-z){ln(L2/m2) – ln[1-(k2/m2)z(1-z)]}
Вводя постоянную тонкой структуры α= e2/4π и проведя интегрирование по переменной z в первом слагаемом (17), окончательно получим:
(18) Π0(k2) = (α/3π)ln(L2/m2) – (2α/π)∫01dzz(1-z)ln[1-(k2/m2)z(1-z)]
a) В случае низких энергий |k|<<m
ln[1-(k2/m2)z(1-z)]≈(-k2/m2)z(1-z), и (18) принимает вид:
(19) Π0(k2) (α/3π)ln(L2/m2) + (α/15π)(k2/m2)
b) В случае высоких энергий |k|>>m
ln[1-(k2/m2)z(1-z)]=ln|-k2/m2|+lnz(1-z)≈ln|-k2/m2| (в конкретных приложениях –k2>0), и (18) дается формулой:
(20) Π0(k2) (α/3π)ln(L2/m2) – (α/3π)ln|-k2/m2|