6 Декабря 2021 Лекция №14 по релятивистской квантовой теории
“Только те ученые, кто предпринимает абсурдные попытки, смогут достичь невозможного.” Альберт Эйнштейн
Тормозное излучение мягких фотонов в процессе рассеяния электронов кулоновским полем ядра. “Инфракрасная катастрофа”
Наиболее важным механизмом замедления электронов высоких энергий служит тормозное излучение – процесс, сопровождающий любое изменение состояния движения заряженных частиц.
Из рассмотрения классической электродинамики очевидно, что заряженная частица, испытывающая взаимодействие в каком-либо физическом процессе, должна излучать электромагнитные волны. На квантовом языке это означает испускание тормозных фотонов, которые должны сопровождать любой процесс КЭД c участием заряженных частиц. Чем меньше энергия заряженного фотона, тем легче его испустить.
Рассмотрим тормозное излучение фотона при рассеянии электрона кулоновским полем ядра.
e- +Z e-+Z +
Две
диаграммы Фейнмана в низшем порядке
теории возмущений изображены на Рис.1.
Рис.1.
Амплитуда процесса по правилам Фейнмана записывается в виде:
iT = (-i/(2E12E22)1/2){u2(-ie)*[-(p̑2+k̑+m]/[(p2+k)2-m2+i](-ie0)A0(q)u1 +
+ u2(-ie0)A0(q)[-(p̑1-k̑+m]/[(p1+k)2-m2+i](-ie)*u1}(2)(E1-E2-)
Здесь A0(q) = -Ze/q2. (q=p2+k-p1)
После некоторого упрощения амплитуда запишется в виде:
iT = [i/(2E12E22)1/2](Ze3/q2){u2[̑ *(p̑2+k̑+m)0/(2p2k)]u1] +
+ u2[0(p̑1-k̑+m)̑ */(-2p1k)]u1}2(E1-E2-) (1)
Упростим полученное выражение с учетом того, что испускаемый фотон – мягкий, имеет малую энергию <<m и импульс |k|=<<m. При упрощении амплитуды использованы перестановочные соотношения pk( + ) = (p̑k̑ + k̑p̑) = 2gpk =2pk, отсюда p̑k̑ = -k̑p̑ +2pk. Использованы также уравнения Дирака для биспиноров u и u: (p̑-m)u=0 или p̑u=mu и u(p̑-m)=0 или up̑=mu.
u2̑ *(p̑2+k̑+m)0u1 =u2(-p̑2̑ * + 2p2* + ̑ *k̑ + m̑ *)0u1 u2(2p2)0u1,
u20(p̑1-k̑+m)̑ *u1 =u20(-̑ *p̑1+2p1* - k̑̑ * + m̑ *)u1 u2(2p1)0u1.
После учета малости энергии и импульса тормозного фотона амплитуда примет вид:
iT = (iZe3/q2(2E12E22)1/2){u2 [(p2*)/(p2k) – (p1*)/(p1k)]0 u1}(2)(E2-E1) (2)
iT = {(iZe2/q2(2E12E2)1/2) [u20u1](2(E2-E1)}{e[(p2*)/(p2k) – (p1*)/(p1k)]} =
= i TeZT . (3)
qp2-p1
Амплитуда процесса в пределе мягких фотонов равна произведению амплитуд процесса рассеяния электронов в кулоновском поле ядра и процесса излучения тормозного фотона. Говорят – амплитуда излучения тормозного фотона факторизуется (распадается на произведение амплитуд независимых процессов). Следовательно, факторизуется и сечение.
Дифференциальное сечение, определяющее излучение тормозного фотона, запишется в форме:
d = e2[(p2*)/(p2k) – (p1*)/(p1k)]2 [|k|2d|k|dk/((2)32)] ~ d/, (4)
так как (p1k)~, (p2k)~, |k|=
Сечение процесса логарифмически расходится. Эта логарифмическая расходимость сечения при энергии тормозных фотонов, стремящейся к нулю, называется “инфракрасной катастрофой”.
Можно ввести обрезающую расходимость частоту min, которая обычно находится за пределами чувствительности приборов, и сделать искусственно интеграл хорошо определенным.
~ ln(/min). (5)
В действительности никакой катастрофы не происходит. Анализ показывает, что причина появления расходимости связана не с физикой, а с использованием теории возмущений. Эта расходимость в сечении компенсируется такой же расходимостью в высших порядках теории возмущений.
Вычисленный нами результат получен в предположении, что излучение одного мягкого фотона более вероятно, чем излучение двух и более фотонов. В случае излучения длинноволнового фотона теория возмущений КЭД оказывается неправомерной, когда параметр ln(E/) становится больше единицы. Множественное излучение мягких фотонов и учет высших порядков теории возмущений к процессу рассеяния снимают проблему “инфракрасной” катастрофы.
Образование мюонных пар в электрон-позитронных столкновениях
(Задача рассмотрена на семинарах)
На электрон-позитронных коллайдерах, на встречных электрон-позитронных пучках, чрезвычайно важным становится процесс образования пар частиц, когда электрон и позитрон сталкиваются, в результате образуется фотон (а при высоких энергиях наряду с фотоном образуется Z0-бозон – такой процесс обусловлен слабым взаимодействием), а затем фотон распадается на пару любых частиц и их античастиц. Такого рода процесс с образованием пар новых частиц является одним из самых важных в физике высоких энергий. Он служит фундаментальной основой для поиска и открытия новых частиц, в том числе бозонов Хиггса, для исследования новой физики за пределами Стандартной модели на e+e- -коллайдерах.
Мы вычислим подробно в низшем порядке теории возмущений сечение процесса КЭД
e+ + e- + + -
Диаграмма Фейнмана процесса в низшем порядке теории возмущений изображена на Рис.2.
Рис.2.
Масса электрона m, масса мюона M.
iT = (d4k/(2)4i){[v2(p2)/(2E2)1/2][-ie(2)4(4)(p1+p2-k)][g/(k2+i)][u1(p1)/(2E1)1/2]}
{[u`1(q1)/(2E`1)1/2][(-ie)(2)4(4)((k-q1-q2)][v`2(q2)/(2E`2)1/2]} (6)
После взятия интеграла с помощью одной из дельта-функций и простых упрощений получим:
iT=[ie2/(2E12E22E`12E`2)1/2][v2(p2)u1(p1)][1/k2][u`1(q1)v`2(q2)](2)4(4)(p1+p2-q1-q2) (7)
Здесь k2=s=(p1+p2)2=(q1+q2)2
Эрмитово сопряженная амплитуда:
-iT+ = [-ie2/(2E12E22E`12E`2)1/2][u1(p1)v2(p2)][1/k2][v`2(q2)u`1(q1)](2)4(4)(p1+p2-q1-q2) (7`)
Квадрат модуля амплитуды, усредненной по поляризациям начальных частиц и просуммированный по поляризациям конечных частиц (эти процедуры приводят к следам, шпурам) примет вид:
<|T|2> = [e4/(2E12E22E`12E`2)1/2][1/k4]{1/4Sp(p̑2-m)(p̑1+m)}{Sp(q̑2-M)(q̑1+M)}
(2)4(4)(p1+p2-q1-q2) (8)
Теперь надо вычислить оба следа – первый след связан с поляризациями электрон-позитронной пары, второй – с поляризациями мюонной пары.
Общее правило. От каждой фермионной (антифермионной) линии, идущей от начала одной внешней линии до конца другой внешней линии в диаграмме Фейнмана, в квадрате модуля амплитуды возникает след.
Вычислим след от электрон-позитронной пары:
Sp(e) =Sp(p̑2-m)(p̑1+m) = Sp(p̑2p̑1 -m2) = p2p1Sp() – m2Sp() =
= 4p2p1(gg + gg - gg) - 4m2g = 4{p2p1 + p2p1 - ((p1p2) + m2)g}.
След от мюонной пары вычисляется полностью аналогично следу Spe:
Sp() = Sp(q̑2-M)(q̑1+M) = 4{q2q1 + q2q1 - ((q1q2) + M2)g}.
Перемножим оба следа:
Sp(e)Sp() = 32{(p2q1)(p1q2) + (p1q1)(p2q2) – (p1p2)((q1q2)+M2) – (q1q2)((p1p2)+m2) +
+ 2((q1q2)+M2)((p1p2)+m2)} (9)
Рассмотрим кинематику процесса в системе центра.
Электрон и позитрон сталкиваются с одинаковыми энергиями E и с одинаковыми, направленными в противоположные стороны, импульсами p0. Оба мюона разлетаются в разные стороны тоже с одинаковыми энергиями E` и одинаковыми, направленными в противоположные стороны, импульсами p0`. Угол рассеяния, угол между импульсом p0 начального электрона и импульсом конечного мюона p0` обозначим .
p1 = (E, p0), p2 = (E, -p0); q1 = (E`, p0`), q2 = (E`, -p0`).
Из закона сохранения энергии следует 2E=2E`, то есть энергии всех участвующих в процессе частиц одинаковы и равны E.
(p1p2) = E2+p02, (q1q2) = E2+p0`2, (p1q1) = E2 – p0p0`cos, (p1q2) = E2 +p0p0`cos,
(p2q1) = E2 +p0p0`cos, (p2q2) = E2 – p0p0`cos. (10)
Диаграмма Рис.2 – s-канальная. k2=s=(p1+p2)2= 4E2 (11)
Дифференциальное сечение процесса:
d = (1/)<|T|2> /jнач d3q1/(2)3d3q2/(2)3 (12)
E1E2jнач = v1E1E2 (л.с.) =|p1|E2 (л.с) =m|p1|=((p1p2)2 - p12p22)1/2 – лоренц-инвариантное выражение.
В системе центра имеем: ((E2+p02)2-m4)1/2 =[(E2+p02+m2)(E2+p02-m2)]1/2 = (2p022E2)1/2 =2p0E. (13)
В лабораторной системе (электрон налетает, позитрон покоится): ((p1p2)2-p12p22)1/2 =
=((mE1)2-m4)1/2 = m|p1|
Подставляем произведение следов (9), кинематические соотношения (10), (11) и (13) в усредненный по поляризациям квадрат амплитуды (8), получим после интегрирования по импульсу q2 с помощью трехмерной дельта-функции, по энергии E1 – с помощью дельта-функции от энергии, записав
d3q1=|q1|2d|q1|d=|q1|E1dE1d, d=2d(cos)
получим выражение для дифференциального сечения в зависимости от угла рассеяния :
d/d = [e4/((2)264E6)][p0`/p0][E4 +p02p0`2cos2 + E2(m2+M2)] (14)
Введем константу =e2/4 - постоянную тонкой структуры. Введем скорость начального электрона
v0 = p0/E, m2/E2 = (E2-p02)/E2 = 1 – v02,
а также скорость конечного мюона
v0` = p0`/E, M2/E2 = (E2-p0`2)/E2 = 1 – v0`2.
Подставим полученные соотношения в дифференциальное сечение:
d/d = [2/16E2][v0`/v0][(3 – v02 – v0`2) + v02v0`2cos2] (15)
Полное сечение процесса равно:
= [2/4E2][v0`/v0][(3-v02-v0`2) + v02v0`2/3] (16)
В ультрарелятивистском случае E>>M, когда v0~1 и v0`~1, дифференциальное сечение имеет вид:
d/d = 2/4s (1 + cos2) (17)
Формулы (15) и (17) для дифференциального сечения процесса содержат cos2. Операция четности P (замена r -r) меняет угол -, при этом cos -cos. Но формулы (15) и (17) остаются неизменными. Это еще раз подтверждает тот факт, что КЭД сохраняет четность.
Действительно, операция четности для дираковских частиц имеет вид P=0, причем 0, 0, Векторный потенциал электромагнитного поля A меняет знак при операции четности, поэтому лагранжиан взаимодействия КЭД Lint = eA остается инвариантным относительно операции четности – сохраняет четность.
Полное сечение в ультрарелятивистском случае принимает вид:
= 42/3s (18)
Современные электрон-позитронные коллайдеры, работающие на встречных пучках, обладают достаточно высокой энергией ~103 ГэВ. При таких энергиях превалирует механизм процесса, обусловленный в столкновении e+e--пары обменом Z0-бозоном, квантом слабого взаимодействия. Механизм такого процесса обусловлен слабым взаимодействием. Слабое взаимодействие не сохраняет четность. Этот факт приводит к тому, что дифференциальное сечение суммарного процесса, c обменом фотоном и Z0-бозоном, содержит наряду с квадратом косинуса угла рассеяния cos2 линейную зависимость от cos. Экспериментально наблюдается асимметрия вылета конечных частиц вперед-назад. По асимметрии вылета можно экспериментально искать Z0-бозон.