Лекция №2 по релятивистской квантовой теории

“Я вспоминаю, как кто-то начал мне объяснять операторы рождения и уничтожения – что данный оператор может создать электрон. И я сказал: “Как можно создать электрон? Это противоречит закону сохранения заряда.” Ричард Фейнман. Нобелевская лекция.

Релятивистские динамические уравнения

Динамические уравнения в релятивистской области – это аналоги уравнения Шредингера в нерелятивистской квантовой механике, однако их физическая суть коренным образом отличается от нерелятивистского волнового уравнения – это уравнения для соответствующих полей материи.

Первым исторически было написано уравнение Клейна - Гордона.

Уравнение Клейна – Гордона.

Уравнение написано сразу вслед за уравнением Шредингера. Получим уравнение Клейна – Гордона по “аналогии” с уравнением Шредингера в нерелятивистской квантовой механике (НКМ).

НКМ

Получим уравнение Шредингера следующим образом. Соотношение между энергией и импульсом свободной нерелятивистской частицы E=p²/2m. Заменим E оператором Ei/t, а импульс p оператором p-i (в единицах ħ=c=1), и в обе части соотношения для энергии “припишем” волновую функцию, получим уравнение Шредингера для свободной частицы:

(i/t)=(-²/2m);

плотность вероятности =||², плотность тока вероятности j=(2mi)^-1[*-*].

Поступим так же в области релятивистской квантовой теории (РКМ).

РКМ

Соотношение между энергией и импульсом релятивистской свободной частицы

E²=p²+m². Припишем с обеих сторон аналогичную  теперь уже полевую функцию (x)=(x,t) (объяснения по поводу смысла полевой функции будут даны ниже), получим:

(²/t²-²+m²)(x)=0 (1)

Это и есть уравнение Клейна – Гордона. Заметьте, что уравнение (1), в отличие от уравнения Шредингера, второго порядка по времени. Его принято записывать в ковариантной форме:

(_²+m²)(x)=0 (2)

Уравнение (2) не содержит спиновых операторов, т. е. оно описывает бесспиновые частицы с массой m. Поскольку полевая функция  является скалярной функцией, говорят: уравнение Клейна –Гордона описывает скалярные частицы (например, мезоны со спином S=0).

Ток уравнения Клейна – Гордона. Уравнение непрерывности.

Запишем уравнение (2) и комплексно сопряженное ему уравнение, первое умножим слева на *, а второе – на  и вычтем друг из друга:

*(_²+m²)=0

(_²+m²)*=0

Получим: *_²-_²*=0 (3)

Введем ток уравнения Клейна – Гордона:

j_=i(*_-_*) (4)

Тогда (3) можно записать в форме уравнения непрерывности: _j_=0. (5)

Таким образом, уравнение непрерывности, означающее сохранение числа частиц (сохранение вероятности), является следствием динамического уравнения Клейна – Гордона.

Соотношение (5) более подробно можно записать в виде:

/t+divj=0,

где =i[*(/t)-(/t)*]; j=-i[*-*]

Нетрудно понять, что величина  не является положительно определенной величиной, в то время как в НКМ эта величина всегда положительно определена (=||²). Это обусловлено тем, что уравнение (2) второго порядка по времени, и величины  и /t меняются произвольно. Благодаря этому обстоятельству уравнение (2) было на долгие годы отброшено физиками. Для выяснения отрицательных значений  рассмотрим операцию зарядового сопряжения С.

Операция зарядового сопряжения С

Наряду с дискретными операциями четности P и обращения времени T, хорошо известными в нерелятивистской квантовой механике, в релятивистской области существует еще операция замены частиц на античастицы, называемая операцией зарядового сопряжения С. Зарядовое сопряжение меняет только заряд частиц на противоположный (электрический заряд, слабый заряд, сильный цветовой заряд), но не меняет массу и спин частиц. Так для электрона античастицей является позитрон, для кварка – антикварк и т. д.

Если e – заряд рассматриваемых частиц, то

C^(e)= ^(-e)

Собственные функции и собственные значения оператора C подчиняются обычному уравнению на собственные функции и собственные значения:

C_^(e)=_^(e).

При повторном применении операции С античастица снова переходит в частицу, поэтому ²=1, а =+1 либо =-1. Очевидно, что собственными функциями оператора С являются только нейтральные частицы с e=0. Истинно нейтральной частицей с отрицательной зарядовой четностью (=-1) является фотон (не содержит внутренней электромагнитной структуры) и ⁰-мезон с положительной зарядовой четностью =1.

Операция зарядового сопряжения для уравнения Клейна – Гордона

Введем в уравнение Клейна – Гордона электромагнитное поле, так как именно оно различает заряд, т. е. различает частицы и античастицы.

Электромагнитное поле в НКМ вводится по правилу pp-eA(x), где p=-i – оператор импульса, А – векторный потенциал электромагнитного поля. В РКМ запишем обобщение нерелятивистской структуры: i_i_-eA_(x); здесь A_(U,A) – 4-потенциал электромагнитного поля (U – скалярный потенциал, A – векторный потенциал). Запишем уравнение Клейна – Гордона (2) в виде:

[-(i_)²+m²](x)=0 и введем в него электромагнитное поле.

Для частиц с зарядом e уравнение примет вид:

[-(i_-eA_)²+m²]^(e)=0 (6)

Для античастиц с зарядом (-e):

[-(i_+eA_)²+m²]^(-e)=0 (7)

Уравнение (6) переходит в (7) при операции комплексного сопряжения (K=*). Действительно:

[-(-i_-eA_)²+m²]^(e)*=0 (6`)

^(e)* и ^(-e) подчиняются одному и тому же уравнению и, следовательно, с точностью до нормировочного множителя совпадают друг с другом. Таким образом, операцией зарядового сопряжения С для уравнения Клейна – Гордона является комплексное сопряжение.

Для нейтральных частиц с e=0 ^(e=0)*=^(e=0), т.е. для нейтральных частиц полевая функция оказывается вещественной.

При A_0 уравнения (6) и (7) совпадают, поэтому одно и то же уравнение (2) описывает как частицы, так и античастицы. Важно понимать, что все квантовые динамические уравнения (в дальнейшем мы рассмотрим уравнение Дирака и уравнение Прока) в релятивистской области по своей природе не являются одночастичными, каковым является уравнение Шредингера, их решения нельзя трактовать как волновые функции, все уравнения в релятивистской области описывают соответствующие поля.

Решение уравнения Клейна – Гордона для свободных частиц

Для свободных частиц с массой m (при отсутствии сил) сохраняется импульс p=const. Введем 4-импульс p_(p₀,p). Обозначим пока нулевую компоненту 4-импульса p₀. Решения для свободных частиц представляются в виде плоских волн:

_p(x)=Nexp{-i(px)}=Nexp{-i(p₀t-px)}. (8)

Здесь и в дальнейшем (px)=p_x_=p₀t-px; N – нормировочный множитель.

Подставим (8) в уравнение (2):

(_²+m²)_p=(-p₀²+p²+m²)_p=0. Отсюда p₀²=p²+m²=E²; p₀=E.

Итак, в релятивистской области существуют решения как с положительной, так и с отрицательной (!) энергией.

Рассмотрим решения с положительной энергией p₀=+E:

_p⁽⁺⁾=Nexp{-iEt+ipx}. (9)

Если энергию и импульс устремить к нерелятивистским значениям, то (9) будет соответствовать обычной плоской волне для нерелятивистской частицы. Поэтому естественно назвать это решение решением для частиц. Но уравнение (2) содержит также решения для античастиц, которые получаются из решений для частиц с помощью операции зарядового сопряжения – для уравнения Клейна – Гордона это операция комплексного сопряжения. Определим решения для античастиц:

_p^(-)=Nexp{iEt-ipx}=Nexp{-i(-E)t+i(-p)x} (10)

Из (10) следует, что решения для античастиц (впервые эта интерпретация дана Ричардом Фейнманом и Штюкельбекером) можно представить как решения для частиц, но (чисто формально!) с отрицательной энергией и импульсом, направленным в противоположную сторону по отношению к движению частиц.

Формально позитрон с массой m, энергией E и импульсом p можно трактовать как электрон с энергией –E и импульсом –p. В данной интерпретации Фейнмана (формально!) античастица эквивалентна частице с отрицательной энергией, которая движется “вспять по времени”.

позитрон с E, p эквивалентен электрону c –E, -p 

(время течет вверх)

Откуда же берутся отрицательные плотности вероятности? Для этого вычислим _p:

_p^()=i[_p^()*(/t)_p^()-_p^()(/t)_p^()*]=2|N|²E (11)

Итак, очевидно, что отрицательные плотности вероятности соответствуют античастицам.

Решения (9) для частиц называются положительно-частотными решениями, а решения (10) для античастиц – отрицательно-частотными решениями.

Квантовые релятивистские уравнения, в отличие от уравнения Шредингера, имеют вдвое больше фундаментальных решений для свободных частиц – они соответствуют частицам и античастицам.

В заключение получим нормировочный множитель N. Условимся решения нормировать так, чтобы в единичном объеме V=1 находилась ровно одна частица.

dV|_p|=1 (интеграл берется по единичному объему). Подставляя сюда _p из (11) (эта величина не зависит от объема), найдем для N значение: N=(1/2E)^1/2.

Итак, окончательно: уравнение Клейна – Гордона имеет два типа фундаментальных решений:

_p⁽⁺⁾(x)=(1/2E)^1/2exp{-i(px)} – положительно-частотное решение, отвечающее частицам (12)

_p^(-)(x)=(1/2E)^1/2exp{i(px)} –отрицательно-частотное решение, отвечающее античастицам (13)

Положительно-частотные решения, так же, как и отрицательно-частотные решения, образуют ортонормированную систему:

_p⁽⁺⁾*₀^<sub>p`</sub><sup>(+)</sup>(x)d<sup>3</sup>x = (2)<sup>3</sup><sup>(3)</sup>(p-p`) (14)

Оператор ₀^ действует следующим образом:

A(t)₀^B(t) = A(t)(B(t)/t) – (A(t)/t)B(t).

В связи с уравнением Клейна – Гордона были обнаружены следующие трудности: (a) имелись решения с отрицательной энергией; (b) ток j_ не был связан с положительно определенной плотностью вероятности , как это было в случае уравнения Шредингера. По этим причинам мы вынуждены отказаться от интерпретации уравнения Клейна – Гордона как одночастичного уравнения. Однако скалярные частицы, частицы со спином 0, существуют (-мезоны, K-мезоны, -мезоны, бозон Хиггса и т. д.), так что, несомненно, должна быть возможна разумная интерпретация этого уравнения.

Дополнение. Каноническое квантование действительного скалярного поля Клейна–Гордона

(Дополнение не входит в экзаменационные вопросы.)

Уравнение Клейна – Гордона для действительного скалярного поля (x) описывает частицы с зарядом, равным нулю (нейтральные частицы). Поскольку классическая аналогия отсутствует, поле (x), вообще говоря, является строго квантовым полем. Рассматривая сначала это поле как классическое, мы далее поймем, что это квантовое поле и будем считать его оператором, подчиняющимся определенным коммутационным соотношениям, аналогичным соотношениям коммутации обычной квантовой механики – соотношениям для операторов рождения и уничтожения, введенных при рассмотрении вторичного квантования одномерного квантового осциллятора. Мы займемся квантованием поля, а не движением отдельной частицы, как это было в квантовой механике. В этой интерпретации величина ||² пропорциональна числу имеющихся частиц. После квантования поля отпадают трудности, связанные первоначально с уравнением Клейна – Гордона.

Квантование поля заставляет нас интерпретировать поле как квантовую систему – поле рассматривается как эрмитов оператор, разложение Фурье которого можно записать в виде:

(x) = d³p/((2)³2E_p) [a(p)e^-ipx + a⁺(p)e^ipx] (15)

где E_p=(p²+m²)^1/2. Коэффициенты a(p) и a⁺(p) являются операторами. (p_² = p₀² – p²=m²)

Полевая функция (x) играет в квантовой теории поля роль, аналогичную вектору положения x в квантовой механике. В НКМ коммутаторы задаются гейзенберговскими соотношениями:

[x_i, p_k] = i_ik, [x_i, x_k] = [p_i, p_k] = 0. (16)

Импульс p_i в лагранжевом формализме определяется канонически как L/͘x_i.

Полевой аналог импульса в непрерывном пределе (x)=L_полев/͘, (16*)

где L_полев – плотность лагранжиана скалярного поля.

Одновременные коммутационные соотношения, по аналогии с HКМ (16), в непрерывном пределе примут вид:

[(x,t), (x`,t)] =i(2)<sup>3</sup><sup>(3)</sup>(x-x`) (17)

[(x,t), (x`, t)] = [(x, t), (x`,t)] = 0. (18)

Используем эти соотношения, чтобы найти коммутационные соотношения для операторов a(p) и a(p)⁺, которые входят в выражение (15).

Плотность лагранжиана скалярного поля (подробно будем говорить об этом в последующих лекциях), которая с помощью принципа наименьшего действия приводит к правильному уравнению Эйлера – Лагранжа, а именно к уравнению Клейна – Гордона, имеет вид:

L_полев = [1/2(_)² - (m²/2)²] =1/2[(₀)² – ()² - m²²] (19)

Отсюда с учетом (16*): (x)=͘(x). (19*)

Используя ортонормированную (14) систему функций (12), мы можем разложить (x) по системе этих функций, подставив их в разложение (15):

(x) = d³p/[(2)³(2E_p)^1/2][_p(x)a(p) + _p*(x)a⁺(p)]. (20)

Обращая это разложение с помощью соотношения (14), находим:

a(p) = d³x [2E_p]^1/2_p*(x)i₀^(x), (21)

a⁺(p`) = d<sup>3</sup>x[2E<sub>p</sub>]<sup>1/2</sup><sub>p</sub>(x`)i₀^<sub>p`</sub>(x`). (22)

С учетом формул (17), (18), (19*), (21) и (22) получим коммутатор:

[a(p), a⁺(p`)] = (2)<sup>3</sup>2E<sub>p</sub><sup>(3)</sup>(p-p`) (23)

Нетрудно показать, что

[a(p), a(p`)] = [a<sup>+</sup>(p), a<sup>+</sup>(p`)] = 0. (23`)

Операторы a⁺(p) и a(p) называются операторами рождения и уничтожения квантов поля.

Можно образовать, как при вторичном квантовании осциллятора в НКМ, оператор числа частиц (или, точнее, оператор плотности числа частиц):

N(p)=a⁺(p)a(p). Вся алгебра оператора числа частиц, операторов рождения и уничтожения полностью совпадает с алгеброй квантовомеханического осциллятора.

[N, a⁺] = a⁺ (24`)

[N, a] = -a (24``)

Обозначим собственные функции оператора числа частиц |n(p)>, тогда:

N(p)|n(p)> = n(p)|n(p)> (25)

a(p)|n(p)> = n(p)^1/2|n(p)-1> a(p)|0>=0 (26`)

a⁺(p)|n(p)> = (n(p)+1)^1/2|n(p)+1>. (26``)

Зная лагранжиан L_полев, можно по общим правилам определить гамильтониан действительного скалярного поля H: H = [L/(_)]_ - L. Для гамильтониана скалярного поля, с учетом (19), отсюда получим:

H_полев = (1/2)[(₀)² + ()² + m²²]d³x (27)

Подставляя в (27) формулы (20-22), получим:

H_полев = (d³p/2E_p(2)³) [N(p) + 1/2]E_p. (28)

Очень важно отметить, что гамильтониан скалярного поля неотрицателен (N(p)0).

Таким образом, поле Клейна – Гордона эквивалентно бесконечной сумме осцилляторов. Никаких состояний с отрицательной энергией не возникает.

Состояние |0> - это вакуумное состояние, не содержащее ни одной частицы с ненулевым импульсом.