Оглавление

Курс “Релятивистская квантовая теория” 2

Лекция №1 по релятивистской квантовой теории 2

Лекция №2 по релятивистской квантовой теории 7

Лекция №3 по релятивистской квантовой теории 13

Лекция №4 по релятивистской квантовой теории 17

Лекция №5 по релятивистской квантовой теории 22

Лекция №6 по релятивистской квантовой теории 29

Лекция №7 по релятивистской квантовой теории 32

Лекция №8 по релятивистской квантовой теории 38

Лекция №9 по релятивистской квантовой теории 42

Лекция №10 по релятивистской квантовой теории 50

Лекция №11 по релятивистской квантовой теории 57

Приложение к лекции №11. Правила Фейнмана для вычисления элементов S-матрицы в КЭД 62

Лекция №12 по релятивистской квантовой теории 65

Лекция №13 по релятивистской квантовой теории 74

Лекция №14 по релятивистской квантовой теории 79

Лекция №15 по релятивистской квантовой теории 84

Приложение к лекции №15. Вычисление поляризационного оператора в однопетлевом приближении (во втором порядке теории возмущений) 91

Лекция №16 по релятивистской квантовой теории 95

Курс “Релятивистская квантовая теория”

Список рекомендуемой литературы

1. Бьёркен, Дрелл “Релятивистская квантовая теория”, т. 1 и 2.

2. Райдер “Квантовая теория поля”

3. Пескин, Шредер “Введение в квантовую теорию поля”

4. Ициксон, Зюбер “Квантовая теория поля”

5. Вайнберг “Квантовая теория поля”

6. Хелзен, Мартин “Кварки и лептоны”

7. Окунь “Лептоны и кварки”

8. Берестецкий, Лифшиц, Питаевский “Квантовая электродинамика” (том IV Курса теоретической физики Ландау и Лифшица)

Лекция №1 по релятивистской квантовой теории

“ Природа совершенствуется при помощи средств, доставляемых ею же самой. Так что познание, которое делает природу красивее, есть тоже детище природы.” Уильям Шекспир.

Введение. Обзор современного состояния физики элементарных частиц.

Изучая квантовую теорию поля, мы надеемся, что она прольет свет на природу фундаментальных частиц материи и их взаимодействий.

Квантовая теория поля основана на двух структурах – квантовой механике и теории поля.

Первое дитя этого союза, квантовая электродинамика (КЭД) предсказывает аномальный магнитный момент электрона с точностью до шестого знака после запятой. КЭД создана примерно в 1950 году.

Благодаря квантованию различие между частицами и полями оказалось затуманенным. “Точечные” частицы стали размытыми, они теперь описываются волновыми уравнениями, а поле, которое в классической физике представляли как непрерывную среду, приобрело свойства частицы (например, фотона). Можно задаться вопросом: если заряженные частицы взаимодействуют между собой посредством электромагнитного поля, а квантование делает частицу и поле весьма похожими друг на друга, то имеется ли существенное различие между полями и частицами? Поиски ответа на этот вопрос приводят нас к квантовой теории поля и физике элементарных частиц. Квантами поля, которым описывается электромагнитное взаимодействие между частицами материи, являются фотоны. Электроны же “просто существуют”.

Физические концепции и формальный аппарат квантовой теории поля (КТП) представляют единственную логически последовательную основу для описания взаимодействий элементарных частиц.

Из чего же построен мир?

Ответ шаг за шагом выведен из серии экспериментов в области атомной и ядерной физики, космических лучей и экспериментов при высоких энергиях. Экспериментальный штурм начался на пороге XX века, но только ряд важнейших открытий второй половины двадцатого столетия привел нас в мир кварков, лептонов и калибровочных полей.

Квантовая теория поля, являющаяся объединением нерелятивистской квантовой теории со специальной теорией относительности в релятивистской области и теории поля, естественным образом приводит к понятию квантованного поля и связанных с ним частиц.

Чтобы хотя бы интуитивно понять, почему так происходит, рассмотрим несколько частиц, взаимодействующих друг с другом. Силы, с которыми одна из частиц действует на все остальные, не могут вызвать мгновенных изменений в их движении, так как ни один сигнал не может распространяться быстрее скорости света c. Возмущенная частица является источником поля (электромагнитного, сильного, слабого, гравитационного), которое переносит через окружающее пространство энергию и другие квантовые характеристики. Поле оказывает воздействие на другие частицы. Согласно квантовой теории, энергия и другие квантовые характеристики переносятся порциями (квантами), которые следует идентифицировать с частицами, передающими силы.

Итак, в квантовой теории поля все взаимодействия элементарных частиц связываются с обменом квантами полей, т. е. частицами, переносящими взаимодействие. Имея в виду, что в природе существует 4 взаимодействия – электромагнитное, сильное (ядерное), слабое (ответственное за превращения частиц друг в друга) и гравитационное – каждому из полей ставятся в соответствие их кванты – частицы. Так кулоновское рассеяние электрона на электроне на языке квантовой теории поля обусловлено обменом между электронами фотоном , квантом электромагнитного взаимодействия.

Согласно современным представлениям (современной теорией, описывающей наш мир, является стандартная модель (CМ)) фундаментальными неделимыми частицами материи являются лептоны и кварки (это фермионы со спином S=1/2).

Существует три поколения лептонов:

 e       

 _e  _  _

Электрон, мюон и тау-лептон образуют верхнюю строчку и обладают электрическим зарядом, равным заряду электрона, а соответствующие им нейтрино, образующие нижнюю строчку, электронейтральны. Все шесть лептонов обладают еще и слабым зарядом и не обладают сильным зарядом. Таким образом, лептоны участвуют в электромагнитных, слабых и гравитационных взаимодействиях (в гравитационном взаимодействии участвуют все элементарные частицы, имеющие массу). Массы лептонов чрезвычайно различаются, так масса электрона m_e=0,5 МеV, m_=105,6 MeV, m_=1780 MeV, m_<0,3 eV.

Существует также три поколения кварков:

 u c t

d  s b

Верхние кварки имеют электрический заряд (2/3)e, а нижние – (-1/3)e; m_u4,2 MeV, m_d7,5 MeV, m_s150 MeV, m_c1350 MeV, m_b5 GeV, m_t175 GeV. Все кварки, помимо сильного (цветового) заряда, обладают электрическим и слабым зарядом и потому участвуют во всех четырех взаимодействиях.

Характеристики взаимодействий

1. Электромагнитное взаимодействие

Кванты электромагнитного взаимодействия – фотоны , масса фотона равна нулю, спин равен 1; фотон не несет заряда и не содержит внутренней электромагнитной структуры – это истинно нейтральная частица. Источником электромагнитного взаимодействия является электрический заряд, присущий лептонам и кваркам (в хэвисайдовских единицах, которыми пользуются в квантовой теории поля) e²/41/137, сечения электромагнитных процессов по порядку величины _эм  10^-3 мбарн = 10^-30 см², эффективное время взаимодействия _эм ~ 10^-16-10^-19 сек.

Квантовая теория: квантовая электродинамика (КЭД) создана в середине двадцатого столетия трудами Фейнмана, Швингера и Томонаги.

2. Слабое взаимодействие

Ответственно за распады частиц (-распад n  p + e +_e, энерговыделение в звездах, синтез новых элементов и т.д.). Источником поля является слабый заряд g_w: g_w²/4  10^-6. Кванты – калибровочные бозоны W⁺, W^- и Z⁰. Спин калибровочных бозонов S=1. Их массы m_w  80m_p, m_Z0  90m_p, эффективное сечение взаимодействия _W10^-11-10^-12мб~10^-38 см², эффективное время взаимодействия _W~10^-12-10^-13 сек, эффективный радиус действия сил R_W~1/m_w~10^-16см.

Современная квантовая теория объединяет вместе электромагнитное и слабое взаимодействие и называется электрослабой моделью (ЭМ) или электрослабой теорией. Создана трудами Вайнберга, Салама и Глэшоу.

3. Сильное взаимодействие

Факт существования особых ядерных короткодействующих сил был установлен в 30-е годы прошлого века: ядро, содержащее несколько протонов, удерживает их вместе вопреки электростатическому отталкиванию. К 60-м годам было открыто порядка 200 сильновзаимодействующих частиц (адронов). Физики понимали, что такой “зоопарк” частиц (так их принято называть) должен состоять из каких-либо фундаментальных сущностей. Это же подтвердили опыты по рассеянию высокоэнергичных электронов на ядрах и ряд других экспериментов. Впоследствии эти элементарные образования были названы кварками (Гелл-Манн). Кварки обладают сильным, цветовым зарядом, который имеет три разновидности (физики их назвали – красный, синий, зеленый или можно взять любые другие три цвета). Цветовое, сильное поле состоит из квантов – калибровочных бозонов сильного взаимодействия – глюонов g. Глюоны безмассовые, как и фотон, и имеют спин S=1. Всего существует 8 глюонов. Сильный заряд g_s²/4~1, _s~10мб=10^-26 cм², _s~10^-23 сек, R_s~10^-13 см. Кварки не наблюдаемы (асимптотическая свобода, конфайнмент). Цветовое взаимодействие приводит к растущим с расстоянием силам, поэтому “вырвать” кварк из адрона нельзя.

Современная квантовая теория: квантовая хромодинамика (КХД). Создана трудами Фейнмана, Гелл-Манна и др. Ныне существуют попытки объединить электрослабое взаимодействие и КХД, пока не увенчавшиеся успехом. Такое объединение, называемое Великим объединением, возможно при чрезвычайно высоких энергиях ~10¹⁵ GeV, не достижимых в рамках наших земных условий.

4. Гравитационное взаимодействие

Гравитационное поле описывается общей теорией относительности. Однако квантование этой теории наталкивается на серьезные трудности. Во-первых, это математические трудности. Эйнштейновские полевые уравнения гораздо сложнее уравнений Максвелла, к тому же они нелинейны. Во-вторых, имеются трудности концептуального характера. В теории Эйнштейна гравитационное поле проявляется как кривизна пространства-времени. Поэтому, если в электродинамике поле является “актером” на сцене пространства-времени, то в теории гравитации само пространство-время становится актером. На микроскопическом уровне гравитация оказывается наименее изученным взаимодействием – так как массы микрочастиц чрезвычайно малы (гравитационное взаимодействие, как известно, пропорционально произведению масс взаимодействующих частиц), то возникающие гравитационные силы исключительно слабы. В гравитационном взаимодействии участвуют все массивные частицы. Квантовая теория гравитации ныне далека до завершения. Ее кванты – гравитоны имеют, видимо, спин S=2.

Недавно на большом адронном коллайдере (БАК) открыт бозон Хиггса (физики называют его “божественной частицей”) с массой m~125 GeV (S=0). Его роль в физике и космологии, по-видимому, чрезвычайно существенна. Прежде всего, взаимодействие с бозоном Хиггса приводит к существованию масс калибровочных бозонов. Его открытие завершает построение Стандартной модели.

Из трех фундаментальных мировых констант – постоянной Планка ħ=1,05410^-27эргсек, скорости света с=310¹⁰ см/сек и гравитационной постоянной Ньютона G_N=6,6710^-8см³/гсек² – можно составить единственную комбинацию размерности энергии, называемую массой Планка

M_P=(ħc/G_N)^1/210¹⁹ GeV.

Единственной фундаментальной длиной является длина Планка l_P10^-33 см и фундаментальным временным интервалом t_P10^-43 сек. Согласно современным представлениям, не существует длины, меньшей длины Планка и временного интервала, меньшего времени Планка.

Следует ожидать, что объединение всех четырех взаимодействий может произойти при энергиях порядка массы Планка.

Квантовая теория поля естественным образом способна описывать многочастичные состояния, а также переходы между состояниями с различным числом частиц. Но самое главное то, что квантовая теория поля дает нам в руки инструменты, необходимые для расчета бесчисленного количества процессов, все глубже погружая нас в исследование структуры материи и пространства-времени. Экспериментальное подтверждение этих предсказаний, часто имеющих беспрецедентную точность, и есть главная причина изучения квантовой теории поля.

Естественная система единиц

Введем единицы измерения, наиболее подходящие для физики элементарных частиц: положим ħ=с=1.

Тогда все основные величины будут измеряться в единицах степеней массы m.

[E] =m (E=mc²) – энергия

[p] = m (p=mc) – импульс

[t] = m^-1(ΔEΔt~ħ) – время

[l] = m^-1 (ΔpΔx~ħ) – длина

Скорость v (v/c) безразмерна и меняется в пределах 0 v <1.

Коэффициенты перерасчета от обычных единиц к естественным:

1GeV^-1=0,6610^-24 сек; 1 GeV^-1= 210^-14 см; 1 ферми = 10^-13 см =5,07 GeV^-1; 1сек = 1,5210²⁴ GeV^-1.

Единицы измерения энергии:

1 TeV = 10³ GeV = 10⁶ MeV =10⁹ keV =10¹² eV

1 eV = 1,610^-12 эрг.

Релятивистские обозначения

Трехмерное евклидово пространство: метрика – _ik=diag(1,1,1). Используются латинские индексы.

Трехмерные векторы обозначаются: A, p или A_i, p_i и т.п. A_i(A₁,A₂,A₃), i=1,2,3.

Скалярное произведение ABA_iB_iA_iB_k_ik=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃ является инвариантом при трехмерных вращениях.

Четырехмерное пространство Минковского: метрикой является метрический тензор

g_=diag(1,-1,-1,-1). Используются греческие индексы и контравариантные обозначения.

4-вектор A_(A₀,A₁,A₂,A₃)A_(A₀,A); =0,1,2,3.

Скалярное произведение 4-векторов A_B_A_B_g_A₀B₀-A₁B₁-A₂B₂-A₃B₃A₀B₀-AB является инвариантом относительно преобразований Лоренца и трехмерных вращений.

4-вектор координаты x_ (x₀=t, x=r). 4-вектором называется величина, преобразующаяся при преобразованиях Лоренца как 4-вектор координаты.

Преобразования Лоренца для 4-вектора A_ вдоль оси x:

A₀=(A₀`+vA<sub>1</sub>`)/(1-v²)^1/2, A₁=(A₁`+vA<sub>0</sub>`)/(1-v²)^1/2, A₂=A₂`, A<sub>3</sub>=A<sub>3</sub>`.

Для свободной релятивистской частицы введем 4-вектор энергии-импульса p_(p₀=E, p)

E=m/(1-v²)^1/2, p=mv/(1-v²)^1/2, v=p/E. E²=p²+m².

p_²=p₀²-p²=m²=inv

Оператор дифференцирования _/x__=(/t, -)

Например, если j_(, j) – 4-вектор плотности тока, то _j_=/t+j=/t+divj.

_²=²/t²-² - деламбертиан.