2°. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Будем рассматривать прямые , заданные каноническими уравнениями:

(8)

(9)

Прямые либо пересекаются, либо параллельны (в частном случае совпадают), либо скрещиваются.

Для изучения взаимного расположения прямых вводят 3 основных вектора:

В случае, если прямые параллельны или пересекаются, то существует плоскость, содержащая эти прямые. Поэтому выполняется условие:

. (10)

Если прямые скрещиваются, то условие (10) не выполняется, т.е. справедливо

Утверждение 2. Прямые скрещиваются  .

Утверждение 3. Прямые параллельны  векторы и коллинеарные. Более того, если прямые и совпадают, то вектор коллинеарен векторам и , и не коллинеарен им – если прямые не совпадают.

3. Решение некоторых задач о прямой и плоскости в пространстве (расстояние между скрещивающимися прямыми, перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым).

Если прямые пересекаются, то может решаться задача нахождения угла между прямыми. В этом случае угол определяется углом между направляющими векторами.

Е

сли , то возникает задача нахождения расстояния между ними:

Рис.7.

Плоскость, содержащая параллельные прямые имеет вектор нормали .

Чтобы построить перпендикуляр строим плоскость , содержащие эти прямые и плоскость , ???

Если прямые пересекаются, то плоскость, содержащая эти прямые в качестве вектора нормали имеет .

Если две прямые скрещиваются, то .

Кроме того, чтобы построить вектор нормали этих плоскостей, найдем . Расстояние между этими плоскостями равно расстоянию между скрещенными прямыми. Другой способ нахождения расстояния между скрещенными прямыми: найти высоту параллелепипеда , построенного на векторах если в качестве основания брать параллелограмм, построенный на векторах : .