§ 13. Уравнение прямой в пространстве
1°. Уравнение прямой в произвольной аффинной системе координат.
В предыдущем параграфе было указано, что если две плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой. Поэтому в произвольной аффинной системе координат уравнение прямой можно представить в следующем виде:
(1)
Условие не
параллельности плоскостей
и
равносильно
(2)
Тогда система (1) при условии (2) представляет собой систему линейно независимых уравнений, которая совместна и имеет общее решение следующего вида:
,
(3)
где
- частное решение (1),
-
фундаментальная система решений
соответствующей СЛОУ.
Геометрически
(3) означает, что т.
,
и
т.
получается прибавлением к радиус-вектору
т.
некоторого вектора, коллинеарного
вектору
Т
аким
образом,
,
по аналогии с прямыми на плоскости,
является направляющим
вектором
прямой.
Система уравнений (1), удовлетворяющая условию (2), называется общим уравнением прямой в пространстве.
Уравнение (3) называется векторно-параметрическим уравнением прямой в пространстве. Его можно переписать в виде:
,
(3')
где
-
радиус-вектор т.
,
-
направляющий вектор.
Также уравнение (3) можно переписать в виде
(4)
- координатное параметрическое уравнение прямой в пространстве.
Если исключить из (4) параметр t, то получим:
(5)
- каноническое уравнение прямой в пространстве. Здесь (5) необходимо понимать как пропорцию.
Пример.
Если
,
значит прямая лежит в плоскости
.
Если
и
равны нулю, то прямая лежит в плоскостях
и
,
что означает есть линия пересечения
этих плоскостей, т.е. прямая, параллельная
оси
.
Если необходимо
написать уравнение прямой, проходящей
через две точки
и
,
то вектор
можно рассматривать как направляющий
вектор, и в силу (5), уравнение такой
прямой имеет вид
(6)
- уравнение прямой, проходящей через две точки.
Замечание. Каждая прямая может быть представлена как линия пересечения двух плоскостей. Отметим, что уравнение прямой (5) можно рассматривать как пересечение двух плоскостей, каждая из которых определяет плоскость параллельную одной из координатных осей.
Утверждение 1. Если прямая l задана как пересечение двух плоскостей системой (1), то вектор
(7)
является направляющим вектором l.
Доказательство.
Отметим, что в силу
условия (2) вектор
,
определенный по формуле (7), должен быть
отличен от нулевого. Рассмотрим
определитель следующего вида :
,
и разложим его по первой строке:
,
откуда в силу утверждения 1 из предыдущего параграфа, следует, что параллелен плоскостям и параллелен и их пересечению значит является направляющим вектором прямой пересечения, ч.т.д.∎
Замечание. Если уравнение прямой рассматривается в прямоугольной декартовой системе координат, то вектора
являются векторами нормали для плоскостей и . В этом случае вектор
можно рассматривать
в качестве направляющего вектора искомой
прямой, а его координаты вычисляются
по формулам (7).