Доказательство.

| Очевидно, а именно, если уравнение задается (13), то она проходит через точку .

| Пусть проходит через точку и имеет уравнение .

Возьмем на прямой произвольную точку , отличную от точки . Положим . Покажем, что уравнение для пропорционально (13) с выбранными .

Т.к. точка не может одновременно принадлежать прямым и  хотя бы одно из и отлично от нуля. Поэтому уравнение является уравнением первой степени  определяет некоторую прямую. По построению эта прямая проходит через точки , а так как через две точки плоскости проходит единственная прямая, то она совпадает с прямой . Поэтому в силу утверждения 1, уравнения этих прямых пропорциональны, ч.т.д.∎

Замечание. Уравнение (13) называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку .

3°. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат. Нормальное уравнение прямой.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат , определяемая ортонормированным репером . Пусть прямые и задаются уравнениями (7), (8). Тогда угол между прямыми определяется углом между направляющими векторами и может быть вычислен по формуле

.

Отметим, что здесь используется глагол «определяется», так как угол между прямыми принимает значение на промежутке , угол между направляющими векторами – .

Получаем, что прямые (7), (8) в прямоугольной системе координат ортогональны 

(15)

Отметим, что только в прямоугольной декартовой системе координат вектор является перпендикулярной к прямой

_{Далее построим нормальное уравнение прямой на плоскости. Вначале введем уравнение прямой в полярной системе координат. Пусть полярная ось совпадает с Ox и l1 – ось, проходящая через начало координат перпендикулярно прямой l.}

y

l

N

l₁

p

M

0

x

Рис.3.

Пусть прямая и пусть длина , - угол между l₁ и . Если т.М лежит на l, то очевидно, что проекция

Последнее условие является необходимым и достаточным, для того, чтобы т. М . Тогда или

, (16)

где - расстояние от т. М до начала координат, - угол между и .

Другими словами, - полярные координаты т. М.

Таким образом, уравнение (16) является уравнением прямой в полярной системе координат. Уравнение (16) можно переписать:

,

где

, .

Здесь - координаты т. М в соответствующей прямоугольной декартовой системе координат. Получаем:

(17)

– нормальное уравнение прямой на плоскости, где p - длина перпендикуляра, проведенного из начала координат на прямую, - угол наклона нормали к оси абсцисс.

Отметим, что и - координаты орта нормали.

Покажем, что общее уравнение прямой можно привести к нормальному виду. Пусть прямая l : , тогда нормальное уравнение получается умножением на некоторый нормирующий множитель : . При этом .

Знак выбирается из условия, что , т.е. если то , и наоборот. Если С=0, то знак произвольный.

Нормальное уравнение прямой удобно для нахождения расстояния между от произвольной точки плоскости до прямой.

y

l₁

M₀

N

M

P

x

О

Рис.4.

Пусть - произвольная точка, . Пусть - направляющий вектор прямой l, , . Очевидно, что расстояние от до l определяется по формуле: , т.е.

Рис.4.

Таким образом, получили, что расстояние от точки до прямой вычисляется следующим образом: в левую часть нормального уравнения этой прямой необходимо подставить координаты точки и полученную величину взять по модулю.

Замечание. Из рисунка видно, что если т. и начало координат лежат по разные стороны от l, то , а если по одну, то . В первом случае , во втором - .

Последнее может быть использовано для того, чтобы узнать, лежат ли т. и начало координат по одну сторону или по разные от прямой l.