2°. Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Полупространства.

Утверждение 1. Вектор параллелен плоскости , заданной уравнением (8)

. (9)

Доказательство. Для доказательства утверждения необходимо и достаточно показать, что, если отложить от некоторой точки плоскости, то конец также будет лежать на плоскости. Пусть , и точка получается по такому правилу, т.е. . Тогда имеет координаты . Проверим, что . Подставляя ее координаты в уравнение (8), имеем:

откуда в силу получаем ,ч.т.д.∎

Утверждение 2. Плоскости

(10)

и

(11)

параллельны тогда и только тогда, когда

. (12)

Доказательство.

| Плоскости параллельны, если вектор, параллельный одной плоскости, будет параллелен другой. Поэтому, если выполняется условие (12), то в силу утверждения 1 плоскости параллельны.

| пусть , тогда вектора , которые параллельны плоскости , должны быть параллельны  в силу утверждения 1 выполняется:

,

ч.т.д.∎

Утверждение 3. Плоскости и , заданные уравнениями (10), (11), совпадают тогда и только тогда, когда

. (13)

Доказательство.

| очевидно

| пусть плоскости совпадают, тогда первые два равенства следуют из утверждения 2 и доказываем третье равенство.

Пусть т принадлежит обеим плоскостям, тогда

.

В силу соотношения (12) получим: . Умножим первое уравнение последней системы на и прибавим ко второму: мы доказали уравнение (13), ч.т.д.∎

Утверждение 4. Плоскости и , заданные уравнениями (10), (11), параллельны и не совпадают 

. (14)

Утверждение 5. Плоскости и , заданные уравнениями (10), (11), пересекаются  - неколлинеарны.

Утверждение 6. Пусть плоскости и , заданные уравнениями (10), (11), пересекаются по прямой l. Тогда плоскость проходит через эту прямую  её уравнение имеет вид:

, (15)

где одновременно.

Доказательство. Аналогично утверждению для пучка прямых, так как (15) – это уравнение пучка плоскостей, проходящих через l.

3°. Плоскость в пространстве с прямоугольной декартовой системой координат.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат . Пусть плоскость проходит через т. и - некоторый вектор, перпендикулярный . Тогда .

Условие перпендикулярности двух векторов в ортогональном базисе имеет вид

.

Поэтому в прямоугольной декартовой системе координат коэффициенты А, В, С общего уравнения (8) можно рассматривать как коэффициенты векторной нормали.

Вектор нормали используется для решения задач нахождения угла между плоскостями, угла между прямой и плоскостью и т.д.

По аналогии с прямой на плоскости строится нормальное уравнение плоскости.

Пусть в пространстве с прямоугольной декартовой системой координат задана плоскость . Проведем из начала координат ось .

Пусть т. N – это точка пересечения прямой l с плоскостью , . Тогда произвольная т. М  .

Другими словами,

, (16)

г

Рис.5.

де - единичный вектор, являющийся масштабным вектором оси l,

Рис.5.

, где - углы с осями .

Таким образом, нормальное уравнение плоскости имеет вид

.

Общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду умножением на нормирующий множитель

где знак выбирается из условия

Упражнение. Вывести формулу нахождения расстояния от точки до плоскости с помощью нормального уравнения плоскости.