Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электростатика. Постоянный электрический ток.pdf
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
2
По формуле (1.247), виртуальная работа δA = −(dW )q=
ϕ
2
dC.
Если конденсатор подключён к батарее (ϕ = const), то получим
2
(dW )ϕ=
ϕ
dC (1.251)
2
Эта величина отличается от предыдущего выражения знаком. Различие это обусловлено тем, что во втором случае батарея поставляет конденсатору дополнительный заряд dq = ϕdC, совершая при этом работу
δA
= ϕdq = ϕ2dC. Приращение энергии определяется работой:
бат
δA = δA
− δAэл= ϕ2dC −
бат
ϕ
2
2
dC =
2
ϕ
dC (1.252)
2
Таким образом, выполняются соотношения:
(dW )q= −(dW )
δA = (dW )
ϕ
ϕ
(1.253)
(1.254)
Применимость полученных формул не ограничивается случаем конденсатора:
Теорема 1.3.21. Формулы (1.253) и (1.254) носят общий характер.
1.4 Основная задача электростатики. Теорема единственности
Сформулируем общую задачу электростатики:
В диэлектрической среде заданы расположение и форма всех проводников. Известна диэлектрическая проницаемость среды ε между проводниками и объёмная плотность свободных электрических зарядов во всех
точках диэлектриков. Кроме того, известны:
а) либо потенциалы всех проводников;
б) либо заряды всех проводников;
в) либо заряды некоторых проводников и потенциалы всех остальных
проводников.
Требуется определить напряжённость электрического поля во всех точках пространства и распределение заряда по поверхностям проводников.
Задача сводится к решению уравнения Пуассона, удовлетворяющего всем
граничным условиям.
81
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
Теорема 1.4.1 (теорема единственности). Основная задача электростатики не может иметь более одного решения.
Доказательство. Предположим, что задача допускает несколько реше-
ний. Возьмём два из них: 1)~E1= −grad ϕ1,~D1= εε
~
D2= εε
~
E2. Оба решения могут отличаться значениями плотности свя-
0
~
E1, 1)~E2= −grad ϕ2,
0
занных электрических зарядов. Но плотности свободных электрических
зарядов ρ1и ρ2должны быть одинаковы, т.к. они заданы. Если во втором
решении изменить знаки всех свободных и поляризационных зарядов,
то возникшее при этом поле будет равно~E
0
= −~E2, т.к. свободными и
2
поляризационными зарядами электростатическое поле определяется однозначно. В силу принципа суперпозиции вектор~E ≡~E1+~E
0
=~E1−~E
2
будет представлять также какое-то электростатическое поле. Этому полю соответствует объёмная плотность свободных зарядов ρ = ρ1− ρ
и потенциал ϕ = ϕ1− ϕ2. Потенциал ϕ не может обращаться в тождественный нуль, т.к. по нашему предположению соответствующее поле~E
во всех точках пространства не обращается в нуль. Ввиду эквивалентности формул (1.219) и (1.237) можно написать
2
2
εε
0
2
Z
E2dV =
Z
1
2
ϕρdV +
Z
1
ϕσdS (1.255)
2
Первый интеграл в правой части равен нулю, т.к. ρ = 0. Поверхнстный
интеграл достаточно взять только по поверхностям проводников, т.к. на
всякой поверхности, проходящей в диэлектрике σ ≡ σ1− σ2= 0. Поскольку потенциал каждого проводника ϕ
(i)
постоянен, поверхностный
интеграл можно представить в виде
Z
(i)
где qi= q
(i)
− q
1
– полный заряд i-го проводника. Если задан потенциал
2
i-го проводника, то ϕ
случаях ϕ
(i)q(i)
= 0. Таким образом, получим
X
ϕσdS =
(i)
= 0, а если задан заряд, то q
I
ϕ
i
i
S
σdS =
(i)
X
i
(i)q(i)
ϕ
(i)
= 0. В обоих
(1.256)
Z
εε
0
E2dV = 0 (1.257)
2
Ввиду положительности ε отсюда следует, что E2= 0. Следовательно,
~
E =~E1−~E2= 0, т.е. введённое нами предположение неверно. Это и
доказывает единственность решения электростатической задачи.
82
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
Доказательство использует эквивалентность двух формул для энергии:
(1.219) и (1.237). Конечно, строгим математическим доказательством
теоремы единственности является решение дифференциального уравнения Пуассона с данными граничными условиями.
Нахождение самого решения является очень сложной задачей. Аналитические решения известны лишь для немногих частных случаев. Однако
если удалось угадать функцию ϕ, удовлетворяющую всем условиям задачи, то можно утверждать, что она и будет искомым (единственным)
решением задачи.
Не всегда требуется задавать заряды или потенциалы тел во всём пространстве (например, задачи, решаемые при помощи метода изображений). Если требуется найти электрическое поле в полости, окружённой
проводящей оболочкой, то это достаточно сделать только для тел, заключённых внутри самой полости. Наоборот, если требуется найти внешнее
поле, то надо задать заряды и потенциалы только тел вне проводящей
оболочки, а также общий заряд или потенциал на внешней поверхности этой оболочки. Теорема единственности распространяется и на эти
случаи.
83
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
84
Глава 2
Постоянный электрический ток
2.1 Плотность тока. Закон сохранения электрического заряда
Определение 2.1.1. Электрическим током называется направленное
движение заряженных частиц. Эти частицы называются носителями
тока.
В металлах и полупроводниках носителями тока являются электроны, в
электролитах и ионизационных газах – положительные и отрицатель-
ные ионы.
Рассмотрим простейший случай, когда все носители тока одинаковы (например, электроны в металлах). Мысленно выделим в среде, по которой
течёт ток, произвольный физически бесконечно малый объём и обозначим через ~u средний вектор скорости рассматриваемых носителей в этом
объёме.
Определение 2.1.2. Вектор ~u называется дрейфовой (средней или упо-
рядоченной) скоростью движения носителей тока.
Пусть n – концентрация носителей тока. Проведём бесконечно малую
площадку dS, перпендикулярную к скорости ~u. Построим на ней беско-
нечно короткий прямой цилиндр с высотой udt. Все частицы, заключённые внутри этого цилиндра, за время dt пройдут через площадку dS,
перенеся через неё в направлении скорости ~u заряд dq = neudSdt, где e
– заряд отдельной частицы. Таким образом, через единицу площади за
единицу времени переносится заряд j = neu.
Определение 2.1.3. Вектор~j = ne~u называется плотностью электри-
ческого тока.
85
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
Направление вектора~j совпадает с направлением упорядоченного течения положительного заряда. В случае нескольких типов зарядов, создающих ток, плотность тока определяется выражением
X
~
j =
i
niei~u
i
(2.1)
где суммирование ведётся по всем типам носителей тока (ni, ei, ~uiозначает концентрацию, заряд и упорядоченную скорость i-го носителя).
Установим произвольно положительное направление нормали к площадке dS и проведём в этом направлении единичный вектор ~n. Если частицы
положительные, то переносимый заряд в направлении нормали ~n будет
положительным или отрицательным в зависимости от того, движутся ли
частицы в направлении вектора ~n или в противоположном направлении.
Для отрицательных частиц соотношение будет обратным. Количество
переносимого в единицу времени заряда можно написать в виде
dq = (~j, ~n)dS = jndS (2.2)
Данная формула остаётся верной и в случае, когда площадка dS не перпендикулярна вектору~j, т.к. составляющая вектора~j, перпендикулярная
вектору ~n, через площадку dS заряда не переносит.
Теорема 2.1.4 (закон сохранения заряда в интегральной форме). Возьмём в среде произвольную замкнутую поверхность S, ограничивающую
объём V . Пусть q – заряд, содержащийся в объёме V . Тогда
I
∂q
= −
jndS (2.3)
∂t
S
Доказательство. Заряд, вытекающий за единицу времени из объёма V
через поверхность S, представляется интеграломHjndS.
Подставим q в виде q =RρdV и преобразовав поверхностный интеграл
в объёмный div~jdV , придём к соотношению
Z
∂
ρdV = −Zdiv~jdV (2.4)
∂t
Это соотношение должно выполняться для произвольного объёма V , а
потому
∂ρ
+ div~j = 0 (2.5)
∂t
86
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
Эта формула является законом сохранения заряда в дифференциальной
форме. Также последняя формула называется уравнением непрерывно-
сти (неразрывности). Закон сохранения заряда неявно входит в уравне-
ния Максвелла.
Если токи стационарны, то закон сохранения заряда:
I
jndS = 0, div~j = 0 (2.6)
2.2 Законы Ома и Джоуля-Ленца
Одним из главных способов возбуждения электрического тока в телах
является создание и поддержание в них электрического поля.
Утверждение 2.2.1 (закон Ома). Для многих тел (например, металлов) в широких пределах плотность электрического тока~j пропорцио-
нальна напряжённости электрического поля~E:
~
j = λ~E (2.7)
Определение 2.2.2. Постоянная λ называется удельной электрической
проводимостью.
В СИ: [λ] = 1
1
Ом·м
.
Она зависит от физического состояния тела. Закон Ома справедлив лишь
для физически однородных тел.
Определение 2.2.3. Величина, обратная электрической проводимости,
называется удельным сопротивлением материала:
1
ρ =
(2.8)
λ
В СИ: [λ] = 1 Ом · м.
Теорема 2.2.4. В случае стационарных токов макроскопические заряды могут находиться только на поверхности или в местах неоднородности проводящей среды.
Доказательство. Для стационарных токов справедливо:
λ~D
divλ~E = div
= 0 (2.9)
εε
0
Т.к.
λ
= const, то div~D = 0. Отсюда по теореме Гаусса ρ = 0.
εε
0
87
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
В этом отношении электрическое поле стационарных токов аналогично
электростатическому.
Теорема 2.2.5. Электрическое поле стационарных токов потенциально.
Доказательство. Если точки стационарны, то плотность электрических
зарядов в каждой точке пространства не меняется во времени, хотя и
происходит движение заряда: на место уходящих зарядов непрерывно
поступают новые. Такие заряды создают в окружающем пространстве
такое же кулоновское поле, что и неподвижные заряды той же плотности.
Тем не менее электрическое поле стационарных токов существенно отличается от электростатического. Внутри проводников при равновесии
зарядов оно равно нулю. Электрическое поле стационарных токов также
является кулоновским, однако заряды, его возбуждающие, находятся в
движении. Поэтому поле стационарных токов существует и внутри проводников. Если бы это было не так, то в проводниках не было и электрических токов. Силовые линии электростатического поля всегда нормальны к поверхности проводника. Для электрического поля стационарных
токов это необязательно.
Задача 2.2.1. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен
последовательно двумя диэлектрическими слоями 1 и 2 толщиной d1и
d2с проницаемостями ε1и ε2и удельными сопротивлениями ρ1и ρ2.
Конденсатор находится под постоянным напряжением U, причем электрическое поле направлено от слоя 1 к слою 2. Найти σ – поверхностную
плотность сторонних зарядов на границе раздела диэлектрических слоев
и условие, при котором σ = 0.
Ответ. σ =
ε2ρ2−ε1ρ
ρ1d1+ρ2d
1
ε0U, σ = 0 при ε1ρ1= ε2ρ2.
2
Выведем закон Ома для металлов. В металлах носителями тока являются свободные электроны. В отстутствие электрического поля или других
регулярных сил, действующих на электроны, все направления движения последних равновероятны. В этом отношении движение электронов
в металле напоминает тепловое движение молекул газа. Назовём такое
движение беспорядочным, а соответствующую ему скорость электронов
будем обозначать через ~vб. При наличии регулярной силы на беспорядочное движение электронов накладывается систематическое дрейфовое
движение. Если поле регулярных сил однородно, то все свободные электроны движутся с одной и той же дрейфовой скоростью ~u. Полная ско-
88
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
рость электрона: ~v = ~vб+ ~u. Движение электрона описывается уравне-
нием:
где~F – регулярная сила, действующая на электрон со стороны внешнего
силового поля, а~Fст– сила, которую он испытывает при столкновении с
ионами или другими электронами.
m
d~v
dt
≡ m
d
(~vб+ ~u) =~F +~F
dt
ст
(2.10)
2.3 Правила Кирхгофа
2.4 Стационарные токи в массивных проводниках
89
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
90