Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электростатика. Постоянный электрический ток.pdf
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
Если полый диэлектрик с большой диэлектрической проницаемостью
внести в электрическое поле, то из-за преломления силовые линии сконцентрируются преимущественно в стенках диэлектрика. Внутри полости
они располагаются редко. Полость внутри диэлектрика обладает экрани-
рующим действием. Она ведёт себя аналогично полости в проводнике,
только экранирование не полное. Чем больше ε, тем больше экранирование.
Выразим модуль вектора напряженности поля внутри диэлектрика. Пусть
внешнее поле E0, оно направлено под углом α к нормали. Тогда
s
E0cos α
E =
2
+ (E0sin α)2=
ε
p
E
0
cos2α + ε2sin2α (1.134)
ε
Если силовые линии электрического поля перпендикулярны границе диэлектрика во всех точках его поверхности, то диэлектрик не изменяет
структуру поля (картину силовых линий), но уменьшает напряженность
поля в ε раз.
Если проводящее тело находится внутри диэлектрика, то на границе проводника и диэлектрика возникают поляризационные заряды, которые
уменьшают поле внутри диэлектрика. Найдём поверхностную плотность
этих зарядов. Пусть в некоторой точке поверхности проводника поверхностная плотность заряда равна σ0, тогда напряженность поля, созда-
σ
ваемого зарядами на проводнике, определяется выражением E0=
0
ε
0
Это поле выступает в качестве внешнего по отношению к диэлектрику
и направлено перпендикулярно границе диэлектрика. Поэтому поверхностная плотность поляризационных зарядов на диэлектрике равна
.
σ0= χε
E
0
ε − 1
0
=
ε
σ
0
ε
Рассмотрим применение метода изображений для диэлектриков:
1. Пусть два однородных диэлектрика с диэлектрическими проницаемостями ε1и ε2граничат друг с другом вдоль плоскости. В первый
диэлектрик помещён точечный заряд q. Найдём электрическое поле
в каждом из диэлектриков. Введём предположение, оправдываемое
последующими вычислениями, что поле поляризационных зарядов
в первом диэлектрике эквивалентно полю какого-то точечного заряда q0, помещённого в точке, зеркально симметричной с точкой, в
которой находится заряд q. Тогда для поля в первом диэлектрике
можно написать
~
E1=
q~r
ε1r
+
3
q0~r
ε1r
0
03
51
(1.135)
(1.136)
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
где ~r и ~r0– радиусы-векторы, проведённые из зарядов q и q0в рассматриваемую точку.
Введём второе предположение, также оправдываемое последующими вычислениями, что поле внутри диэлектрика представляется
выражением
~
E2=
q00~r
ε2r
3
(1.137)
Второй заряд-изображение q00находится в точке, в которой находится заряд q. На границе раздела диэлектриков должны удовлетворяться граничные условия: непрерывность касательных компонент вектора~E и нормальных компонент вектора~D. Первое условие имеет вид:
q + q
ε
1
0
sin ϕ =
00
q
sin ϕ (1.138)
ε
2
А второе –
(q − q0) cos ϕ = q00cos ϕ (1.139)
Оба уравнения не зависят от точки плоскости. Поэтому если q0и
q00определить из этих уравнений, то граничные условия будут удо-
влетворены во всех точках границы раздела.
q0=
ε1− ε
ε1+ ε
2
q, q00=
2
2ε
2
ε1+ ε
q (1.140)
2
Напряжённости:
~
E1=
kq
ε1r
3
~r +
1
ε
1
ε1− ε
ε1+ ε
kq
2
~r0,~E2=
03
r
2
2
ε1+ ε
kq
~r (1.141)
3
r
2
Потенциалы:
ϕ1=
kq
ε1r
+
1
ε
1
ε1− ε
ε1+ ε
kq
2
0
r
2
, ϕ2=
2
ε1+ ε
kq
(1.142)
r
2
Эти выражения удовлетворяют всем условиям задачи и, в силу теоремы единственности, дают решение.
Найдём силу, действующую на заряд q. Для этого умножим заряд
q на напряжённость, создаваемую всеми зарядами, кроме заряда q:
2
F =
q
16πε0ε1h
ε1− ε
2
ε1+ ε
2
2
(1.143)
где h – расстояние от границы раздела до заряда q. При ε2> ε
заряд притягивается к плоскости, при ε2< ε1– отталкивается.
1
52
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
На границе раздела нет свободных зарядов, поэтому плотность связанных зарядов пропорциональна скачку нормальной составляющей поля~E:
σ
= ε0(E2n− E1n) (1.144)
пол
E1n=
q
4πε0ε
1
E2n=
~r
1
3
r
1
q
4πε0ε
n
00
+
2
ε1− ε
ε1+ ε
~r
r
n
~r
2
2
3
r
2
2
=
ε
2
ε1+ ε
qh
2
2πε0ε1(h2+ r2)
3
2
=
1
ε1+ ε
2
2πε0(h2+ r2)
1
3
1
n
qh
3
2
где r – расстояние от основания перпендикуляра из заряда на плоскость до рассматриваемой точки. Тогда
пол
ε1+ ε
σ
ε1− ε
=
2
2
2πε1(h2+ r2)
qh
3
2
При ε1= 1, ε2→ ∞ формулы переходят в соответствующие выражения для поля точечного заряда над проводящей плоскостью.
2. Поле равномерно поляризованного шара.
До поляризации в шаре была однородная смесь положительных и
отрицательных зарядов с объёмными плотностями ρ и −ρ. Сдвинем все положительные заряды относительно отрицательных на
расстояние δ~l. Шар равномерно поляризуется, вектор поляризации
~
P = ρδ~l. Поле~E равномерно поляризованного шара есть векторная
сумма полей двух равномерно и разноимённо заряженных шаров,
смещённых друг относительно друга.
Найдём поле внутри равномерно поляризованного шара. Пусть O
И O0– центры отрицательно и положительно заряженных шаров, а
~r и ~r0– радиус-векторы, проведённые из этих центров. Поля этих
шаров равны соответственно:
~
E1= −
ρ~r
,~E2=
3ε
0
ρ~r
3ε
0
0
(1.145)
(1.146)
E
~
внутр
= −
ρδ~l
3ε
0
= −
P
3ε
~
(1.147)
0
Найдём поле равномерно поляризованного шара во внешнем пространстве. Пусть q – заряд положительного шара. Каждый шар возбуждает во внешнем пространстве такое поле, как заряд в центре
шара. Поэтому поле равномерно поляризованного шара во внешнем
53
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
пространстве будет совпадать с полем точечного диполя с дипольным моментом ~p = qδ~l = V~P , где V – объём шара. Следовательно,
вне шара:
Подставим V =
4πr
~
E
3
:
3
внеш
= kV
"
3(~P , ~r)
#
~
P
~r −
5
r
3
r
(1.148)
E
~
внеш
=
(~P , ~n)
ε
0
~n −
P
3ε
~
(1.149)
0
Теорема 1.2.18. Равномерную поляризацию шара можно получить, поместив его во внешнее однородное электрическое поле~E0.
Доказательство. Достаточно убедиться, что при этом будут удо-
влетворены граничные условия на поверхности шара. Они требуют, чтобы по разные стороны поверхности шара были одинаковы
касательные составляющие векторов~E и нормальные составляющие векторов~D. Полное поле~E слагается из внешнего поля~E0и
поля поляризованного шара. Внутри шара~E1=~E0+~E
шара~E2=~E0+~E
. Касательные составляющие обоих полей
внеш
внутр
, вне
на поверхности шара одинаковы. Внутри шара электрическое сме-
2~P
щение равно~D1= ε0(~E0+~E
~
D2= ε0(~E0+~E
внеш
) = ε
~
E0+ (~P , ~n) −
0
) +~P = ε
внутр
~
P
3
~
E0+
0
, вне шара –
3
. Нормальные составляю-
щие этих векторов одинаковы.
Полное поле внутри шара:
~
~
E =~E0−
P
3ε
=~E0−
0
χ~E
(1.150)
3
~
E =
3
ε + 2
E
~
0
(1.151)
Вектор поляризации внутри шара:
~
P = χε
~
E = 3ε
0
ε − 1
0
ε + 2
E
~
0
(1.152)
В результате во внешнем однородном поле~E0шар радиуса r приобретёт дипольный момент ~p = V~P :
~p = 4πr
3
ε + 2
~
ε
E
0
0
(1.153)
ε − 1
54
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
При ε → ∞ формулы перейдут в аналогичные для проводящего
шара в однородном поле.
Рассчитаем теперь напряжённость поля~E0в сферической полости, вырезанной внутри равномерно поляризованного диэлектрика
в предположении, что поляризация вне полости всюду однородна.
Тогда и внешнее в диэлектрике поле~E будет также однородно.
Если полость заполнить тем же равномерно поляризованным диэлектриком, то к полю в полости~E0добавится поле равномерно
~
поляризованного шара −
P
. В результате должно получиться по-
3ε
0
ле~E:
~
~
E0= E +
~
E0=
P
3ε
0
ε + 2
~
E (1.155)
(1.154)
3
1.2.3
∗
Электронная теория поляризации
В данной части будет подробна рассмотрена поляризация некоторых диэлектриков (неполярный разреженный газ, неполярная плотная среда,
полярные газообразные диэлектрики).
Неполярный разреженный газ
Рассмотрим макроскопические тела, построенные из множества молекул.
Будем предполагать, что молекулы сферически симметричны. Пусть~E
– среднее макроскопическое электрическое поле. Примем, что оно совпадает с полем~E0, действующим на каждую молекулу диэлектрика. Равенство этих полей может быть только приближённым. Поле, действующее на молекулу, создаётся внешними зарядами и всеми молекулами,
за исключением рассматриваемой. Если соседние молекулы расположены близко одна к другой (твёрдые тела и жидкости), то действующее
поле~E0неоднородно (заметно меняется на протяжении молекулы). В
этом случае предположение~E0=~E не оправдывается. Оно может вы-
полняться в газах, где среднее расстояние между соседними велики по
сравнению с размерами последних. Индуцированный дипольный момент
молекулы ~p = α~E, вектор поляризаци среды:
~
P = n~p = χ~E, χ = nα (1.156)
55
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
где α – поляризуемость единицы объёма диэлектрика.
Диэлектрическая проницаемость:
ε = 1 + nα (1.157)
Концентрация газа может быть выражена через плотность:
ρN
n =
A
(1.158)
µ
ε = 1 +
(1.159)
µ
Таким образом, при изохорном процессе изменения температуры диэлектрическая проницаемость ε не зависит от температуры.
Неполярная плотная среда
Распространение изложенной теории на случай плотных сред (жидкостей и твёрдых тел) испытывает трудности. Рассмотрим способ, которым это может быть сделано. Пренебрежём размерами молекул и будем
считать их «точечными» (линейные размеры очень малы по сравнению
со средними расстояниями между ними). Тогда можно пренебречь изме-
нениями поля в пределах молекулы, т.е. считать, что поле~E0относится
к центру молекулы, на которую оно действует. Дипольный момент молекулы
ρNAα
~p = α~E
0
(1.160)
Вычислим~E0. Возьмём в диэлектрике произвольную молекулу A и опишем вокруг неё физически бесконечно малую сферу S с центром O (сферу Лоренца, см. рис. 1.3), совпадающем с центром этой молекулы. Поле
~
E0в точке O возбуждается всеми источниками, за исключением зарядов
самой молекулы A. Электрическое поле~E
внутри сферы S, создавае-
внеш
мое зарядами, расположенными вне её, можно вычислить, предполагая,
что эти заряды распределены в пространстве непрерывно. Поляризацию
диэлектрика в окрестности S можно считать однородной.
Найдём поле внутри равномерно поляризованного шара. До поляризации в шаре была однородная смесь положительных и отрицательных
зарядов с объёмными плотностями ρ и −ρ. Сдвинем все положительные
заряды относительно отрицательных на расстояние δ~l. Шар равномерно
поляризуется, вектор поляризации~P = ρδ~l. Поле~E равномерно поляризованного шара есть векторная сумма полей двух равномерно и разноимённо заряженных шаров, смещённых друг относительно друга.
56
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
Рис. 1.3: Сфера Лоренца
Пусть O И O0– центры отрицательно и положительно заряженных шаров, а ~r и ~r0– радиус-векторы, проведённые из этих центров. Поля этих
шаров равны соответственно:
~
E1= −
~
E
внутр
ρ~r
3ε
= −
,~E2=
0
ρδ~l
= −
3ε
0
ρ~r
3ε
P
3ε
0
(1.161)
0
~
(1.162)
0
Рассчитаем теперь напряжённость поля~E0в сферической полости, вырезанной внутри равномерно поляризованного диэлектрика в предположении, что поляризация вне полости всюду однородна. Тогда и внешнее
в диэлектрике поле~E будет также однородно. Если полость заполнить
тем же равномерно поляризованным диэлектриком, то к полю в полости
~
E
~
добавится поле равномерно поляризованного шара −
внеш
P
. В резуль-
3ε
0
тате должно получиться поле~E:
~
E
~
внеш
=~E +
3ε
P
(1.163)
0
57
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
Такое поле будут создавать внешние источники в центре O сферы S. Чтобы получить действующее поле~E0, к вектору~E
~
E1, которое создаётся в точке O всеми зарядами, находящимися внутри
нужно добавить поле
внеш
сферы S (за исключением зарядов молекулы A). Это применимо для кубических кристаллов, построенных из электрически нейтральных и изотропных точечных молекул. Такие молекулы возбуждают электрические
поля, как точечные диполи с индуцированными дипольными моментами
~p, ориентированными вдоль среднего поля~E. Если ~ri– радиус-вектор,
проведённый из центра O к одному из диполей, то поле~E1в точке O
будет суммой
~
E1= k
X
i
3(~p, ~ri)~r
~p
i
−
5
r
i
3
r
i
(1.164)
где суммирование ведётся по всем диполям сферы S, за исключением
диполя, находящегося в её центре. Поскольку сфера S физически бесконечно мала, индуцированные дипольные моменты ~p всех молекул внутри
неё одинаковы и их можно вынести из-под знака суммы. Воспользуемся
2
2
2
соотношением r
i
= x
i
+ y
i
2
+ z
для x-составляющей вектора~E1:
i
!
2
2
2
− z
i
i
5
i
+ 3p
y
X
i
xiy
r
5
i
i
+ 3p
z
X
i
xiz
r
i
5
i
(1.165)
E1x= k p
x
X
i
2x
i
− y
r
В силу кубической симметрии:
X
i
X
2
x
=
i
i
X
2
y
=
i
2
z
i
i
=
X
1
3
i
X
2
r
,
i
xiyi=
i
X
i
yizi=
X
zixi= 0
i
Следовательно, E1x= 0. По аналогии, E1y= E1z= 0. Значит~E1= 0.
Таким образом, всё действующее поле сводится к~E
~
3ε
P
0
~
E0=~E +
внеш
:
(1.166)
Эту формулу получил Х.А. Лоренц. Её можно применять не только для
кристаллов кубической системы, но и для плотных газов, построенных
из точечных неполярных молекул, если под~E0поле, усреднённое по времени. Молекулы газа распределены в пространстве хаотически, причём
положение каждой из них практически не зависит от других. Поэтому
после усреднения вектора~E1по времени рассуждения, с помощью которых было получено равенство~E1= 0, применимы и в этом случае. Эта
формула неприменима для диэлектриков, построенных из полярных молекул. Между направлениями дипольных моментов соседних молекул
58
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
существует определённая корреляция, мало изменяющаяся при наложении внешнего электрического поля.
Применим формулу (1.166) для расчёта поляризации диэлектрика:
~
P = αε0n~E0= αε0n
αε0n
~
P =
1 −
~
D = ε
~
E +~P =
0
~
E +
~
E (1.168)
αn
3
2αn
1 +
3
αn
1 −
3
!
~
P
(1.167)
3ε
0
~
ε
E (1.169)
0
ε − 1
ε + 2
=
αn
(1.170)
3
Это соотношение называется формулой Клаузиуса-Моссотти. Подста-
вим концентрацию газа по формуле (1.158):
ε − 1
ε + 2
=
ρNAα
(1.171)
3µ
Таким образом, при изохорном процессе изменения температуры диэлектрическая проницаемость ε не зависит от температуры.
Заметим, что при ε → 1 формула (1.170) переходит в (1.157). Если вещество состоит из частиц нескольких сортов с поляризуемостями αiи
концентрациями ni, то формула (1.170) принимает вид:
ε − 1
ε + 2
=
1
3
X
i
niα
i
(1.172)
Формула Клаузиуса-Моссотти согласуется с опытом для жидких и газообразных диэлектриков с неполярными молекулами, хотя в случае жидкостей и не выполняется условие точечности молекул, использованное
при выводе формулы.
Для газообразного сероуглерода (CS2) при температуре 0◦C и нормальном атмосферном давлении измеренное ε = 1, 0029. По формуле (1.157):
4πn
α = 0, 0029. Плотность жидкого сероуглерода в 381 раз больше
газ
плотности газообразного. Если верно, что поляризуемость молекулы α
не меняется при переходе из газообразного состояния в жидкое, то для
жидкого сероуглерода 4πn
α = 0, 0029·381 = 1, 11. По формуле (1.170)
жидк
этому значению соответствует ε = 2, 76, что достаточно хорошо согласуется с экспериментально найденнной величиной ε
эксп
= 2, 64.
59
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
Для диэлектриков с полярными молекулами (вода, спирты, эфиры и т.д.)
формула Клаузиуса-Моссотти не подтверждается опытом. Если для воды провести такие же вычисления, то получается 4πn
α = 13, 2. По
жидк
формуле (1.170) этому значению соответствует ε = −2, 88 < 0. Экспериментальное значение для воды – ε
Отметим «катастрофу Моссотти». При
эксп
= 81.
4
πnα → 1 поляризация P → ∞.
3
Такое поведение поляризации не наблюдается экспериментально, следовательно формула Клаузиуса-Моссотти является неточной.
Полярные газообразные диэлектрики
Перейдём к рассмотрению ориентационной поляризации. Пусть мы имеем точечный диполь ~p0, который может свободно вращаться. Среднее
значение дипольного момента на конкректное направление при этом равно 0. Для типичных полярных молекул (H2O, HCl, HBr, HI, CO, спирты,
эфиры и т.д.) дипольные моменты p0порядка 10
−18
ед. СГСЭ. Пусть на
диполь действует поле~E. Потенциальная энергия диполя во внешнем
поле:
u = −(~p0,~E) = −p0E cos θ (1.173)
где θ – угол между диполем и внешним полем. Если не учитывать межмолекулярного взаимодействия (например, идеальный газ), то функция
распределения того, что угол между ~p0и~E равен θ, f(θ) определяется
распределением Больцмана:
f(θ) = C exp−
u(θ)
= C exp
kT
p0E cos θ
kT
(1.174)
Число молекул dn, дипольные моменты которых расположены в телесном угле dΩ, равно
p0E cos θ
dn = f (θ)dΩ = C exp
sin θdθdϕ (1.175)
kT
Средняя проекция дипольного момента pz= p0cos θ на направление поля
(пусть β =
p0E
kT
):
hp0zi = p
2π
π
R
R
dϕ
C exp(β cos θ) sin θ cos θdθ
0
R
2π
0
0
π
R
dϕ
C exp(β cos θ) sin θdθ
0
0
(1.176)
60