Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электростатика. Постоянный электрический ток.pdf
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
Увеличение потенциальной энергии конденсатора:
dW = ϕdq =
(1.212)
C
Энергия конденсатора:
qdq
2
W =
q
2C
=
1
qϕ =
2
1
2
Cϕ
2
(1.213)
Вычислим электрическую энергию в общем виде. Рассмотрим несколько
тел с зарядами q1, q2, ... и потенциалами ϕ1, ϕ2, ..., пространство между
которыми заполнено неподвижным диэлектриком (однородным или нет).
Под q1, q2, ... здесь следует понимать только свободные, а не поляризационные заряды. Тела, на которых они находятся могут быть как проводниками, так и диэлектриками. Проводники могут быть любых размеров.
Размеры диэлектриков должны быть настолько малы, чтобы потенциал каждого тела мог с достаточной точностью считаться одинаковым
во всех его точках. Этого всегда можно достигнуть, мысленно разделяя
диэлектрик на достаточно малые части и считая каждую из них за отдельный диэлектрик. Примем за начальное такое состояние, в котором
все тела не заряжены. Будем переносить заряд из бесконечности на эти
тела бесконечно малыми порциями. Рассуждая также, как и в случае
конденсатора, запишем
W =
Z
X
0
0
ϕ
dq
i
i
i
(1.214)
где суммирование проводится по всем заряженным телам. Штрихи над
ϕiи qiпоставлены для того, чтобы указать, что эти величины перемен-
ные (меняются во время зарядки). Значение интеграла не зависит от
способа зарядки. Пусть ϕiи qi– потенциал и заряд i-го тела в конечном
состоянии. Осуществим зарядку так, чтобы в любой момент времени переменные заряды q
0
были пропорциональны их конечным значениям qi:
i
0
q
= kqi, dq
i
0
= qidk (1.215)
i
где k – переменная величина, одинаковая для всех зарядов qi. Во время
зарядки она возрастает от начального значения k = 0 до конечного k = 1.
Поскольку связь между~D и~E линейная (~D = εε
~
E), увеличение всех
0
зарядов в несколько раз ведёт к увеличению всех потенциалов в такое
же число раз. Поэтому
0
ϕ
= kϕ
i
i
(1.216)
71
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
Величина k определяет мгновенные значения зарядов и потенциалов. По
ней мы и будем интегрировать:
1
1
2
ϕiq
X
Z
kdk (1.217)
i
0
ϕiq
i
i
(1.218)
X
W =
i
W =
Ограничение, касающееся размеров тел, можно снять:
W =
Z
1
ϕρdV +
2
Z
1
ϕσdS (1.219)
2
где ρ – объёмная, а σ – поверхностная плотности свободных зарядов. В
таком виде формула справедлива при любом распределении проводящих
и диэлектрических сред в пространстве. Интегрирование должно проводиться по всем свободным зарядам.
Рассмотрим случай, когда все заряды находятся на проводниках. Размеры проводников и их распределение в пространстве могут быть какими
угодно. Если заряды на проводниках получат бесконечно малые приращения dqi, то изменятся и потенциалы ϕi. Изменение электрической
энергии:
dW =
1
2
X
ϕidqi+
i
1
2
X
i
qidϕ
i
(1.220)
P
Эта же величина равна δA
внеш
X
i
=
i
ϕidqi=
ϕidqi. Приравняем оба выражения:
X
i
qidϕ
i
(1.221)
Теорема 1.3.15. Ёмкостные и потенциальные коэффициенты симметричны: Cij= Cji, Vij= Vji.
Доказательство. Для упрощения доказательства допустим, что заря-
женными являются только i-й и j-й проводники, причём потенциал ϕ
поддерживается постоянным. Тогда
ϕidqi+ ϕjdqj= qidϕ
i
qi= Ciiϕi+ Cijϕj, qj= Cjiϕi+ Cjjϕ
j
(1.222)
(1.223)
72
j
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
Ввиду постоянства ϕj:
dqi= Ciidϕi, dqj= Cjidϕ
i
(1.224)
Подставляя это в уравнение (1.222), получим Cij= Cji. Отсюда также
следует, что Vij= Vji.
Электрическую энергию можно выразить через векторы~E и~D, что более адекватно соответствует духу теории поля. Вычислим элементарную
работу δA
, которую производят внешние силы при электризации ди-
внеш
электрика. Возьмём в изотропном диэлектрике две бесконечно малые
плоские площадки AB и C D, перпендикулярные к электрическому полю
E. Расстояние между ними dl предполагается бесконечно малым высшего порядка по сравнению с их линейными размерами. При этом условии
площадки AB и CD могут рассматриваться как бесконечные плоскости,
краевые эффекты на них можно не учитывать. Пусть внешние силы, направленные против поля~E, переносят с площадки AB на площадку C D
электрический заряд dq = Sdσ, где S – площадь одной площадки, dσ –
приращение поверхностной плотности на CD. Работа внешних сил при
таком переносе:
δ2A
= dqEdl = dσSEdl = dσEdV (1.225)
внеш
где dV – бесконечно малый объём между AB и CD. В силу теоремы Гаусса в результате такого переноса электрическое поле изменяется только
между площадками, а вне их всюду остаётся неизменным. Проекция вектора~D на направление поля~E меняется на dD
δ2A
внеш
= EdD
dV = (~E, d~D)dV (1.226)
~
E
= dσ.
~
E
Отметим универсальность этой формулы (её применимость для любых
диэлектриков), поскольку никакая конкретная связь между векторами
~
E и~D при выводе не использовалась.
Допустим, что кроме работы по электризации диэлектрика никаких других работ не производится. Тогда приращение электрической энергии:
d2W = (~E, d~D)dV (1.227)
Если известна зависимость вектора~D от вектора~E, то сама энергия
найдётся интегрированием этого выражения по процессу:
dW =Z(~E, d~D)dV (1.228)
73
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
Объёмная плотность электрической энергии:
dW
w =
=Z(~E, d~D) (1.229)
dV
В частности, если~D = εε
~
E и во время процесса электризации ε = const:
0
w =
εε0E
2
2
(~E,~D)
=
2
=
D
2εε
2
0
(1.230)
Как видно, объёмная плотность энергии совпадает с давлением поля на
поверхность проводника. В разделе 1.7.1 будет показано, почему этот
так.
Аналогичное вычисление энергии можно провести и для кристаллов. В
этом случае вместо скаляра ε надо пользоваться тензором диэлектрической проницаемости εij. Сначала докажем следующее утверждение:
Теорема 1.3.16. Тензор диэлектрической проницаемости εijсиммет-
ричен: εij= εji.
Доказательство. Величина w является функцией состояния, а следова-
тельно дифференциал dw является полным. Для него можно записать:
dw = (~E, d~D) =
X
EidDi=
i
X
i
Eid
X
j
εijEj=
XiX
εijEidEj(1.231)
j
Чтобы это выражение было полным дифференциалом, необходимо и достаточно, чтобы
∂(εijEi)
∂E
i
∂(εjiEj)
=
∂E
j
(1.232)
Т.к. тензор εijне зависит от напряжённости поля, то εij= εji.
Теорема 1.3.17. Формула (1.230) справедлива и для кристаллических
сред.
Доказательство. Заметим, что значение суммы не зависит от того, ка-
кими буквами обозначены индексы суммирования:
XjX
dw =
εjiEjdE
i
i
(1.233)
Переставим суммы и воспользуемся тем, что εij= εji:
dw =
XiX
εjiEjdEi=
j
XiX
j
εijEjdE
i
(1.234)
74
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
dw =
XiX
1
2
εij(EidEj+ EjdEi) =
j
XiX
1
2
εijd(EiEj) (1.235)
j
Ввиду независимости тензора εijот напряжённости поля интегрирование
даёт
w =
XiX
1
2
εijEiEj=
j
1
2
X
i
EiDi=
1
(~E,~D) (1.236)
2
Таким образом, и для кристаллов мы приходим к прежней формуле
плотности энергии.
Электрическая энергия выражается формулой:
W =
Z
εε0E
2
dV =
2
Z
(~E,~D)
2
dV =
Z
2
D
dV (1.237)
2εε
0
где интегрирование проводится по всему пространству.
Для той же величины ранее была получена формула (1.219). С чисто
математической точки зрения формулы (1.219) и (1.237) эквивалентны и отличаются только по форме. Однако за формальным различием
этих формул стоит и различие в физической интерпретации электрической энергии. Уравнение (1.237) можно понимать в том смысле, что
носителем электрической энергии является эектрическое поле, причём
энергия поля локализована в пространстве и характеризуется объёмной
плотностью электрической энергии (1.230). Напротив, выражение (1.219)
может быть формально истолковано как потенциальная энергия взаи-
модействия электрических зарядов, и притом взаимодействия на расстоянии. Такое истолкование исключает представление о локализации
энергии в определённых участках пространства.
Какому же из этих двух представлений об электрической энергии следует отдать предпочтение? В рамках электростатики принципиально невоз-
можно указать ни одного опыта, который бы позволил сделать выбор
между ними. Дело в том, что в электростатике электрическое поле неотделимо от зарядов, являющихся его источниками. Величиной и распределением зарядов однозначно определяется электростатическое поле. Обратно, заданием поля во всем пространстве также однозначно определяется плотность электрических зарядов. Не так обстоит дело в случае
переменных полей. Переменные электромагнитные поля могут существовать самостоятельно, независимо от возбудивших их электрических
зарядов. Заряды могут нейтрализоваться, а поле, которое они возбудили,
может продолжать существовать в виде электромагнитных волн, которым присущ определенный запас энергии. Эта энергия не может быть
75
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
представлена как потенциальная энергия зарядов, взаимодействующих
на расстоянии, поскольку самих зарядов уже нет. Формула (1.219) теряет
смысл. Но формулы (1.230) и (1.237) сохраняют смысл и для переменных
электромагнитных полей. Таким образом, если электростатику рассматривать как предельный случай электродинамики, то даже в электро-
статике следует отдать предпочтение теории поля с ее представлением
о локализации электрической энергии в пространстве.
Упражнение 1.3.3. Докажите математическую эквивалентность выражений (1.219) и (1.237), используя формулу Гаусса-Остроградского.
Таким образом, можно выделить 3 способа нахождения электрической
энергии:
1. По определению энергия равна работе электрического поля по переносу всех заряженных тел на бесконечность:
X
W =
A
i
i→∞
=ZδA
i→∞
2. По формулам:
W =
1
2
X
i
ϕiqi, W =
Z
1
ϕρdV +
2
Z
1
ϕσdS
2
3. По формуле:
W =
Z
εε0E
2
dV =
2
Z
(~E,~D)
2
dV =
Z
2
D
dV
2εε
0
Конечно, два последних способа выводятся из первого. Решите этими
способами следующие задачи:
Задача 1.3.4. Определите энергию электрического поля равномерно заряженной сферы радиуса R. Полный заряд сферы Q.
Ответ. W =
Q
8πε0R
.
Задача 1.3.5. Определите энергию электрического поля равномерно заряженного шара радиуса R. Полный заряд шара Q.
Ответ. W =
3Q
20πε0R
.
Рассмотрим еще раз взаимодействие двух точечных зарядов q1и q2, находящихся на расстоянии r друг от друга. Мы показали, что энергия их
взаимодействия рассчитывается по формуле
U(r) =
76
q1q
2
4πε0r
(1.238)
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
Для нескольких точечных зарядов:
X
1
U =
2
i6=j
qiq
4πε0r
j
ij
(1.239)
Коэффициент 1/2 поставлен потому, что при суммировании потенциальная энерргия каждой пары зарядов учитывается дважды: в виде слагаемого qiqj/rijи в виде ему равного qjqi/rji. Формулу (1.239) можно
представить в виде
U =
1
2
X
i
ϕiq
i
(1.240)
где ϕi– потенциал в точке нахождения i-го заряда, создаваемый всеми
остальными зарядами:
ϕi=
X
i6=j
q
j
r
ij
(1.241)
По внешнему виду формула (1.240) совпадает с аналогичной формулой
(1.218) для электрической энергии заряженных проводников. На самом
деле между обеими формулами имеется глубокое различие. Это видно
уже того, что выражение (1.218) может быть преобразовано в объёмный
интеграл (1.237), который всегда положителен. Выражение (1.240) не допускает такого преобразования, т.к. оно может быть и положительным,
и отрицательным. Например, оно отрицательно для двух точечных зарядов противоположных знаков. Каждый заряд qi, взятый в отдельности,
обладает электрической энергией.
Определение 1.3.18. Такая энергия называется собственной энергией
заряда и представляет собой энергию взаимодействия бесконечно малых
частей, на которые его можно мысленно разбить.
Эта энергия учитывалась при выводе формулы (1.218), но не учитывалась при выводе формулы (1.240). При получении формулы (1.240) каждый заряд qiрассматривался как нечто целое и неизменное. Учитывалась
только работа, затрачиваемая на сближение таких неизменных зарядов,
но не на их образование. Напротив, при выводе формулы (1.218) учитывалась также работа, затрачиваемая на образование зарядов qiпутём
конденсации их из бесконечно малых порций электричества, переносимых из бесконечности. В соответствии с этим формула (1.218) определяет
полную электрическую энергию системы зарядов, а формула (1.240) –
только их взаимную потениальную энергию. В формуле (1.218) ϕiозначат потенциал проводника, создаваемый всеми зарядами, а в формуле
(1.240) – всеми зарядами, за исключением i-го.
77
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
Рассмотрим два точечных заряда. Пусть сначала шарики не заряжены,
бесонечно далеко находятся друг от друга, а заряд распределён по всему бесконечному пространству с бесконечно малой плотностью. Соберём
весь заряд на зарядах. Т.к. расстояние между ними бесконечно велико,
то они не будут оказывать никакого влияния друг на друга. Вся работа
пойдёт на увеличение собственных энергий зарядов:
Z
W1=
0
2
2
E
dV, W2=
1
ε
Затем сблизим их, для чего потребуется совершить работу U =
Z
ε
0
2
2
E
dV (1.242)
2
q1q
4πε0r
2
12
Полная электрическая энергия шариков:
W =
Z
ε
0
2
E
2
dV +
1
Z
ε
0
2
2
E
dV + U (1.243)
2
Но ту же энергию можно выразить иначе. Пока шарики не заряжены,
сблизим их до расстояния r12, а затем будем собирать на них заряд.
Потребуется работа
W =
Z
ε
0
(~E1+~E2)2dV =
2
Z
ε
0
2
E
2
dV +
1
Z
ε
0
2
E
2
2
dV + ε
Z
(~E1,~E2)dV
0
.
Сравнивая оба выражения, получаем
Z
q1q
ε
(~E1,~E2)dV =
0
4πε0r
2
12
(1.244)
Упражнение 1.3.6. Убедитесь в справедливости (1.244) непосредственным интегрированием.
Энергия заряженной сферы (и шара тоже) обратно пропорциональна ее
радиусу (см. задачи 1.3.4 и 1.3.5). Точечный заряд можно рассматривать
как заряженную сферу бесконечно малого радиуса. При стремлении радиуса сферы к нулю (при сохранении ее заряда) энергия поля стремится
к бесконечности, значит энергия поля точечного заряда бесконечно велика. Конечно, можно утверждать, что точечный заряд является математической абстракцией. Однако до настоящего времени нет никаких экспериментальных данных о том, что электрон имеет конечные размеры,
поэтому должен рассматриваться как реально существующий точечный
заряд. Эта серьезная проблема современной физики еще ждет своего
разрешения.
Аналогичным образом можно рассчитать энергию электрического поля,
создаваемого несколькими точечными зарядами q1, q2, q3, ...:
W =
Z
ε
0
X
2
!
2
~
E
dV =
i
i
ε
2
0
X
i
Z
2
dV + ε
E
i
0
X
i6=j
Z
(~Ei,~Ej)dV (1.245)
78
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
X
W =
i
Wi+
X
i6=j
U
ij
(1.246)
Обратите внимание, для энергии электрического поля принцип суперпо-
зиции не выполняется: энергия системы зарядов не равна сумме собственных энергий зарядов. Энергия является суммой собственных энер-
гий зарядов Wiи энергий всех парных взаимодействий Uij.
Вот почему энергия взаимодействия зарядов может быть представлена
как сумма энергий парных взаимодействий. Если бы плотность энергии
зависела от напряженности не квадратично, а по более сложному закону,
то в полной энергии появились бы слагаемые, учитывающие тройные и
другие взаимодействия.
1.3.3 Пондермоторные силы
При помещении диэлектрической пластинки внутрь конденстатора она
начинает «втягиваться» в него.
Определение 1.3.19. Силы, действующие на проводники и диэлектрики в электрическом поле, называются пондермоторными силами.
Первопричиной возникновения пондермоторных сил являются электрические заряды, сообщаемые телам. Однако сообщение зарядов телам
осложняется появлением поляризационных зарядов. Вычисление пондермоторных сил с одновременным исследованием механизма их возникновения в общем случае довольно затруднительно. Существует общий
метод вычисления пондермоторных сил, отвлекаясь от такого механизма.
Поясним этот метод на примере плоского конденсатора, пространство
между обкладками которого заполнено диэлектриком. Зарядим конденсатор, а затем отключим его от источника, поддерживая тем самым заряды на пластинах постоянными. Между пластинами возникнут силы
притяжения. Обозначим через~F одну из них, например силу, действующую на положительно заряженную пластину. Пластину, заряженную
отрицательно, закрепим, а к положительно заряженной пластине приложим внешнюю силу~F0, уравновешивающую силу~F . Если нарушить
равновесие, бесконечно мало изменив силу~F0, то положительная пластина начнёт бесконечно медленно перемещаться. С точностью до бесконечно малых высшего порядка работы этих сил равны по величине и
противоположны по знаку: δA0= −δA. Работа внешней силы~F0пойдёт
на приращение энергии системы: δA0= dW :
δA + (dW)q= 0 (1.247)
79
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
Значок q указывает на то, что приращение энергии должно быть вычислено при постоянном q. Вычислив по этой формуле δA, можно найти и
искомую силу~F .
Формула (1.247) носит общий характер. Она применима к любым системам, а не только к плоскому конденсатору. Под δA нужно понимать
работу всех сил, действующих в системе при произвольных бесконечно
малых смещениях входящих в неё тел и диэлектрической среды между
ними.
Определение 1.3.20. Такие смещения являются виртуальными (возможными). Метод, в котором они используются, называется методом
виртуальных перемещений.
Продолжим решать задачу про притяжение между пластинами конденсатора. Пусть проницаемость диэлектрика ε. Направим ось Ox от отрицательной пластины к положительной и сместим положительную пластину в направлении оси на величину dx. При неизменных зарядах сохраняется электрическая индукция~D, а с ним и объёмная плотность
энергии
2
D
w =
2εε
0
(1.248)
При смещении объём конденсатора увеличится на dV = Sdx, где S – площадь пластины. Энергия увеличится на dW = wdV = wSdx. Виртуальная работа, совершённая силой~F , будет δA = F dx = f Sdx. Подставляя
эти значения в формулу (1.247), получим
f = −w = −
D
2εε
2
= −
0
εε0E
2
2
(1.249)
Таким образом, давление f численно равно плотности энергии. Сила получилась отрицательной (направлена против оси Ox), т.е. является силой
притяжения.
Упражнение 1.3.7. Получить выражение для силы притяжения между
пластинами плоского конденсатора, рассматривая эту силу как результат взаимодействия электрических зарядов.
При виртуальных перемещениях обкладок конденсатора или диэлектриеской среды между ними меняется ёмкость конденсатора C. Если конденсатор отключён от источника заряда (q = const), то приращение энергии
W =
q
2C
2
будет
(dW )q=
1
2
q2d
C
1
= −
q
2C
2
dC = −
2
2
ϕ
dC (1.250)
2
80