Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электростатика. Постоянный электрический ток.pdf
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
Рис. 1.4: Функция Ланжевена L(x) (синяя),
π
Z
1
exp(β cos θ) sinθdθ = −
exp(β cos θ)|
β
0
π
Z
exp(β cos θ) sinθ cos θdθ =
π
Z
∂
exp(β cos θ) sinθdθ
x
3
π
0
∂β
0
0
1
L(β) = cth β −
hp0zi = p
1
– функция Ланжевена (её график см. на рис. 1.4).
β
0
cth β −
β
Исследуем эту функцию:
1. Случай малого поля (β 1).
Разложение гиперболического тангенса в ряд Тейлора:
1
th(β) =
β
+
β
+ O(β3) (1.179)
3
(жёлтая), 1 (зелёная)
2
=
sh β (1.177)
β
=
2
ch β −
β
(1.178)
1
sh β
β
L(β) =
hp0zi ≈
61
β
+ O(β3) (1.180)
3
2
p
0
E (1.181)
3kT
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
Поляризация, обусловленная ориентацией, имеет вид
~
P =
np
3kT
2
0
~
E → χ =
np
3kT
2
0
(1.182)
Полярные молекулы в электрическом поле не только поворачиваются, но и деформируются. Поляризуемость диэлектрика состоит
из деформационной части nα и ориентационной части
2
np
0
. Таким
3kT
образом, формула (1.170) может быть уточнена:
ε − 1
ε + 2
=
n
α +
3
2
p
0
3kT
(1.183)
Это соотношение называется формулой Ланжевена-Дебая. Оно подтверждается экспериментально для полярных газов и разбавленных растворов. Разрешим уравнение относительно ε:
27kT
ε =
9kT − n(p
2
+ 3kTα)
0
− 2 (1.184)
Следовательно, должна существовать критическая температура
2
np
Tc=
0
(1.185)
3k(3 − nα)
при которой должен наблюдаться эффект неограниченного возрастания диэлектрической проницаемости (при T → Tc, ε → ∞). Ниже
температуры Tcвещество должно обладать спонтанной поляризацией, т.е. проявлять свойства сегнетоэлектрика. Для воды Tcравна
комнатной. Эксперимент не подтверждает этот вывод. Если учесть
следующие члены в разложении функции Ланжевена, то вместо
стремления к бесконечности получится состояние диэлектрического насыщения.
2. Случай насыщения поля (β 1).
С увеличением напряжённости поля дипольные всё более интенсивно ориентируются в направлении напряжённости. При β → ∞, L →
1 и
hp0zi = p
0
Достигается максимально возможная поляризуемость и дальнейшее увеличение напряжённости поля не приводит к её увеличению.
Напряжённость поля, при которой достигается максимально возможная поляризуемость, называется напряжённостью поля насы-
щения.
(1.186)
62
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
При β = 1, T = 300 К: E =
kT
= 4, 2 · 10
p
0
В
8
. Отсюда видно, что в боль-
м
шинстве практически важных случаях напряжённость поля насыщения
не достигается и можно пользоваться формулой (1.183).
1.3 Конденсаторы. Энергия электрического поля
1.3.1 Конденсаторы. Ёмкостные и потенциальные ко-
эффициенты
Рассмотрим заряженный уединённый проводник, погружённый в неподвижный диэлектрик. Потенциал создаваемого им электрического поля
на бесконечности условимся считать равным 0.
Утверждение 1.3.1. Между зарядом проводника q и его проводником
ϕ существует прямая пропорциональность:
q = Cϕ (1.187)
Коэффициент C зависит только от размеров и формы проводника, а
также от диэлектрической проницаемости окружающего диэлектрика и
её распределения в пространстве.
Определение 1.3.2. Коэффициент C называется ёмкостью уединённо-
го проводника.
В СИ: [C ] = 1 Ф (фарад).
Задача 1.3.1. Найти ёмкость уединённого шара радиуса R в однородном
диэлектрике с диэлектрической проницаемостью ε.
Ответ. C = 4πεε0R.
Определение 1.3.3. Конденсатор – устройство, состоящее их двух про-
водников (обкладок), отделённых друг от друга слоем диэлектрика (вакуум тоже можно считать диэлектриком с ε = 1).
Пусть обкладками являются две замкнутые проводящие оболочки: наружная и внутренняя, причём внутренняя целиком окружена наружной.
Тогда поле между обкладками не будет зависеть от внешних электрических полей. Заряды на поверхностях обкладок по теореме Фарадея равны по величине и противоположны по знаку. В реальном конденсаторе,
поскольку его обкладки не являются полностью замкнутыми, это верно только приближённо. Практическая независимость внутреннего поля
63
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
конденсатора от внешнего достигается тем, что обкладки располагаются
очень близко. В этом случае заряды будут почти целиком сосредоточены
на внутренних поверхностях обкладок. Если q – заряд одной из обкладок,
а U ≡ ϕ1− ϕ2– разность потенциалов (напряжение) между обкладками,
то
q = CU (1.188)
Определение 1.3.4. Постоянная C называется ёмкостью конденсато-
ра.
Она зависит только от размеров и устройства конденсатора.
1. Ёмкость плоского конденсатора.
Поле между обкладками конденсатора почти всюду однородно. Однородность поля нарушается только вблизи краёв конденсатора.
Краевыми эффектами при вычислении ёмкости конденсатора мы
пренебрежём. Это можно делать, когда расстояние d между обкладками очень мало по сравнению с их линейными размерами.
Если σ – поверхностная плотность заряда на положительной обкладке, а S – площадь последней, то q = σS. Напряжённость поля
E =
σ
, разность потенциалов U = Ed =
εε
0
σd
, ёмкость конденсатора
εε
0
εε0S
C =
d
2. Ёмкость цилиндрического конденсатора.
Цилиндрический конденсатор состоит из коаксиальных цилиндрический обкладок, разделённых слоем диэлектрика. Пусть R1и R
– радиусы внутренней и наружной обкладок, а l – длина конденсатора. Напряжённость поля E =
U =
q
2πεε0l
R
2
ln
, ёмкость конденсатора
R
1
q
, разность потенциалов
2πlεε0r
2πεε0l
C =
ln
R
2
R
1
При d = R2− R1 R1, R2:
εε0S
C =
d
где S = 2πRl – площадь обкладок конденсатора.
(1.189)
2
(1.190)
(1.191)
64
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
3. Ёмкость cферического конденсатора.
Сферический конденсатор состоит из коаксиальных сферических
обкладок, разделённых слоем диэлектрика. Пусть R1и R2– радиусы внутренней и наружной обкладок. Разность потенциалов между
ними U =
q
4πεε
1
R
0
1
−
R
1
. Ёмкость конденсатора:
2
R1R
C = 4πεε
0
2
R2− R
1
(1.192)
При d = R2− R1 R1, R2:
εε0S
C =
(1.193)
d
где S = 4πR2– площадь обкладок конденсатора.
Конденсаторы часто соединяют в батареи. Соединение может быть па-
раллельным или последовательным. При параллельном соединении двух
конденсаторов напряжения на обоих конденсаторах одинаковы, а заряды обкладок складываются: q = q1+ q2. Делением на общее напряжение
U = ϕ1− ϕ2находим ёмкость батареи:
C = C1+ C
2
(1.194)
При последовательном соединении средние пластины, соединённые между собой, электризуются через влияние, а потому их заряды равны и противоположны по знаку. Таким образом, заряды на обоих конденсаторах
одинаковы. Разности потенциалов складываются:
Т.к. U =
q
, U1=
C
q
C
1
, U2=
U = U1+ U
q
, то
C
2
1
=
C
C
2
1
1
+
C
1
2
(1.195)
(1.196)
Обобщение этих формул тривиально на случай нескольких конденсаторов. Параллельное соединение применяется для увеличения ёмкости
конденсатора. Последовательное применяют тогда, когда во избежание
пробоя большую разность потенциалов требуется распределить между
несколькими конденсаторами.
65
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
Определение 1.3.5. Слоистым плоским конденсатором называется кон-
денсатор, состоящий из двух параллельных проводящих обкладок, разделённых плоскими слоями из диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями.
Рассчитаем ёмкость слоистого конденсатора. Представим, что между
слоями диэлектриков введены бесконечно тонкие проводники. От этого
заряды на обкладках конденсатора, напряжённости полей в его слоях,
разность потенциалов между обкладками, а значит и ёмкость. Однако
введение проводников превращает слоистый конденсатор в батарею последовательно соединённых конденсаторов, значит
=
X
ε
S
d
0
i
ε
i
i
(1.197)
1
C
Определение 1.3.6. Сложным конденсатором называется произволь-
ная система n заряженных неподвижных проводников, пространство между которыми заполнено неподвижным диэлектриком – однородным или
неоднородным.
Докажем теорему взаимности Грина, полезную для нахождения зарядов
на заземлённых проводниках.
Теорема 1.3.7 (взаимности Грина). Если проводники при зарядах на
них Q1, Q2, ..., Qnимеют потенциалы ϕ1, ϕ2, ..., ϕn, а при зарядах
0
1
, Q
0
, ..., Q
2
Q
соотношение:
0
– потенциалы ϕ
n
n
X
i=1
0
, ϕ
1
Qiϕ
0
, ..., ϕ
2
0
=
i
n
X
i=1
0
, то справедливо следующее
n
0
Q
ϕ
i
i
(1.198)
Доказательство. Рассмотрим систему точечных зарядов и напишем для
неё матрицу, состояющую из N2членов, каждый из которых представляет собой произведение величины одного точечного заряда на потенциал
другого точечного заряда:
0
0
q
1
4πε0r
0
q
1
4πε0r
0
q
1
4πε0r
0
q
q
1
2
4πε0r
q
2
12
q
3
13
.
.
.
q
N
1N
0
0
q
2
4πε0r
0
q
2
4πε0r
21
q
3
23
.
.
.
q
N
2N
0
q
q
1
3
4πε0r
31
0
q
q
2
3
4πε0r
32
0 . . .
.
.
.
0
q
q
N
3
4πε0r
3N
. . .
4πε0r
. . .
.
q
4πε0r
q
4πε0r
.
.
. . . 0
0
q
q
1
n
n1
0
q
2
N
N2
0
q
3
N
N3
.
.
.
(1.199)
66
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
Т.к. порядок суммирования произволен, то складывая все члены по строкам и столбцам, мы должны получить одинаковые результаты
N
X
j=1
0
q
j
ϕj=
N
X
j=1
qjϕ
0
j
(1.200)
Величина ϕjявляется потенциалом, создаваемым в точке расположения
заряда qj. Все заряды, расположенные на 1 проводнике, должны быть
умножены на один и тот же потенциал, что позволяет просуммировать
эти заряды
X
k
0
q
ϕi= ϕ
k
i
X
k
0
k
= Q
0
i
q
ϕi,
X
k
qkϕ
0
i
= ϕ
0
i
X
k
qk= Qiϕ
0
i
(1.201)
Отсюда следует требуемая формула.
Рассмотрим важный частный случай этой теоремы. Если положить Q
0
Q
= ... = Q
3
0
= Q2= Q3= ... = Qn= 0, а Q1= Q
n
0
, то ϕ
2
0
= ϕ2. При
1
0
=
1
помещении заряда Q на проводник B потенциал незаряженного проводника A меняется точно на такую же величину, на какую изменился бы
потенциал незаряженного проводника B при помещении заряда Q на
проводник A.
Перейдём к рассмотрению ёмкостных и потенциальных коэффициентов.
Теорема 1.3.8. Предположим, что свободных зарядов в диэлектрике
нет. При этом условии потенциалы проводников будут линейными однородными функциями их зарядов, а заряды – линейными однородными
функциями потенциалов.
Доказательство. Предположим сначала, что все проводники не заряже-
ны. Сообщим одному i-му проводнику единичный заряд. Этим однозначно (по теореме единственности) определится электрическое поле~Ei(~r) во
всём пространстве и соответствующие ему потенциал Vi(~r) и индукция
~
Di= ε(~r)~Ei(~r). По теореме Гаусса поток вектора~Diчерез поверхность
i-го проводника будет равен 1, а через поверхности остальных проводни-
ков – 0. Значение потенциала Vi(~r) в месте нахождения j-го проводника
обозначим Vji.
Определение 1.3.9. Коэффициенты Vjiназываются потенциальными
коэффициентами.
67
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
Они зависят только от формы и расположения проводников. Ввиду линейности и однородности уравнений электростатики произвольная линейная комбинация векторов~Ei(~r) и~Di(~r) с постоянными коэффициен-
тами qi, т.е.
n
~
E(~r) =
~
D(~r) = ε~E(~r) =
X
~
q
Ei(~r) (1.202)
i
i=1
n
X
~
q
Di(~r) (1.203)
i
i=1
удовлетворяет этим уравнениям. Действительно, вектор~E(~r) потенци-
альный, т.к. все поля~Ei(~r) потенциальны. В диэлектрике вектор~D удовлетворяет уравнению~D =~0, т.к. div~Di= 0. В проводниках~E =~0.
Таким образом, выражения~E и~D могут рассматриваться как напряжённость и индукция какого-то электростатического поля. Заряды, возбуждающие такое поле, не могут находиться внутри диэлектрика, т.к.
ρ = div~D = 0. Выясним физический смысл постоянных коэффициен-
тов qi, введённых выше чисто формально. По теореме Гаусса, заряд на
поверхности i-го проводника равен
Qi=
I
(~D, d~S) =
S
i
X
I
q
(~Dj, d~S) = q
j
j
S
i
I
(~Di, d~S) = q
i
S
i
i
(1.204)
На основании теоремы единственности можно сказать, что выражение
(152) определяет электростатическое поле системы n проводников, заряды которых равны соответственно q1, q2, ..., qn. Потенциал поля (152)
определяется выражения
n
X
ϕ(~r) =
qjVj(~r) (1.205)
j=1
Поместив точку ~r на поверхности i-го проводника, находим его потенци-
ал
ϕi=
n
X
j=1
Vijq
j
(1.206)
Разрешив эти уравнения относительно qi, получим
n
X
qi=
j=1
Cijϕ
j
(1.207)
68
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
Определение 1.3.10. Постоянные Cijназываются ёмкостными коэффициентами.
Как и потенциальные коэффициенты, они определяются только величиной, формой и расположением проводников, а также диэлектрической
проницаемостью промежуточной среды.
Если диэлектрик между проводниками однороден, то все ёмкостные коэффициенты Cikбудут пропорциональны его диэлектрической проницаемости ε.
В конденсаторе 2 проводника (обкладки). В этом случае
q1= C11ϕ1+ C12ϕ2, q2= C21ϕ1+ C22ϕ2, q2= −q
1
(1.208)
Решив эти уравнения относительно ϕ1и ϕ2, найдём разность потенциалов ϕ1− ϕ2и ёмкость конденсатора:
C =
C11C22− C12C
C11+ C22+ C12+ C
21
21
(1.209)
Отметим некоторые свойства потенциальных и ёмкостных коэффициентов.
Теорема 1.3.11. Все потенциальные коэффициенты Vijположитель-
ны.
Доказательство. Если j-му проводнику сообщить положительный за-
ряд q, а остальные проводники оставить незаряженными, то потенциал
во всех точках пространства будет положителен. При этом ϕii= Vijq. Из
положительности ϕiследует требуемое.
Теорема 1.3.12. Vjj> Vij(i 6= j).
Доказательство. Максимальным будет потенциал проводника, которо-
му сообщён заряд, т.е. ϕj> ϕi. Отсюда следует требуемое.
Теорема 1.3.13. Ёмкостные коэффициенты Cijс одинаковыми индек-
сами положительны, с разными – отрицательны.
Доказательство. Заземлим все проводники, за исключением i-го. Тогда
qi= Ciiϕi. Величины qiи ϕiбудут иметь одинаковые знаки, поэтому
Cii> 0. Теперь заземлим все проводники, за исключением i-го и j-го, i-
му проводнику сообщим положительный заряд qi, j-й проводник оставим
незаряженным. Тогда потенциалы ϕiи ϕjбудут положительны, причём
qj= Cjiϕi+ Cjjϕj= 0. Это равенство может быть верным только при
Cji< 0.
69
Электростатика. Постоянный ток Коцевич А.В.
n
Теорема 1.3.14.
P
Cij≥ 0.
j=1
Доказательство. Предположим, что i-й проводник, которому сообщён
положительный заряд qi, окружён со всех сторон заземлённой замкнутой проводящей оболочкой произвольной формы. По теореме Фарадея
на оболочке индуцируется отрицательный заряд q0= −q. Удалим в бес-
конечность некоторые части оболочки, чтобы из оставшихся частей образовалось n−1 заземлённых проводников с зарядами q1, ..., q
Сумма этих зарядов по модулю будет меньше qi. С учётом знаков можно
записать
n
P
qj≥ 0. Подставив сюда qj= Cjiϕiи учитывая, что ϕi> 0,
j=1
i−1
, q
i+1
, ..., qn.
получим требуемое.
Задача 1.3.2. Проводник заряжается от электрофорной машины путём
повторяющихся поднесений к пластинке, которая после каждого поднесения снова заряжается от той же электрофорной пластины до заряда
Q. Пусть q1– заряд на проводнике после первой операции. Определить
заряд q на проводнике после очень большого числа операций.
Qq
Ответ. q =
Q−q
1
.
1
1.3.2 Энергия электрического поля. Локализация энер-
гии в пространстве
Электрическая энергия зависит только от состояния системы, но не зависит от способа, каким система была приведена в это состояние. Вычислим электрическую энергию заряженного конденсатора. Она однозначно
определяется зарядами обкладок или разностью потенциалов между ними. Способ зарядки на величину энергии не влияет. Применим такой
способ зарядки, чтобы вычисления были простыми. Если конденсатор
не заряжен, то на каждой из его обкладок имеется смесь одинаковых положительных и отрицательных зарядов. Будем переносить положительный заряд бесконечно малыми порциями dq с отрицательной обкладки
на положительную. Для переноса заряда dq необходимо совершить работу против электрического поля:
δA
где ϕ – мгновенное значение разности потенциалов между обкладками.
Работа самого конденсатора будет такой же по величине, но противоположной по знаку:
δA = −ϕdq (1.211)
= ϕdq (1.210)
внеш
70