а во втором m 0 , так что соотношения (2.2) – в силу определения (2.1) – очевидны; наконец, 0 mA n для всякого случайного события А , а поэтому оценка (2.3)

имеет место.

2.4. Многие практические задачи могут быть смоделированы в виде следующей задачи о выборке.

Пусть среди N объектов имеется M меченых (например, окрашенных; 0 < M < N ). Какова вероятность, что среди извлечённых случайным образом K объектов окажется ровно L меченых ( 0 L M )?

Решение. Обозначим через А событие, вероятность которого мы ищем. Всевозможные выборки объёма K образуют пространство элементарных исходов (они попарно несовместны, равновозможны, и их группа полна). Различаясь лишь отобранными объектами, исходы являются сочетаниями, так что возможное их число

есть n CNK . Благоприятный исход наступает, когда одновременно извлечено ровно L объектов из M, остальные K – L извлечены из N – M немеченых.

Число возможных извлечений L объектов (из M) есть CML , тогда как число

принципу умножения количество благоприятных исходов есть C L C K L . Следова-

M N M

тельно,

C L C K L

P( A) = M N M .

CNK

3.ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЧАСТОТА И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

3.1.Понятие относительной частоты события вводится в результате анализа проведённых опытов. Если событие A появилось m mA раз, то относительной ча-

стотой события A называют число

W ( A) Wп ( A) mn .

3.2. Практика показывает, что с ростом числа однотипных опытов относительная частота приобретает свойство устойчивости, колеблясь относительно некоторого числа Р Р( А) , которое называется статистической вероятностью события A.

Ниже будет предложено математическое обоснование этого свойства, называемое законом больших чисел Бернулли.

3.3. Очевидно, что относительная частота W(A) удовлетворяет свойствам, аналогичным (2.2), (2.3); в частности, 0 W ( A) 1.

15

4.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

4.1.Рассмотрим следующий опыт: в некоторой ограниченной области Е случайным образом блуждает точка, причём попадания её в любые части, имеющие

одинаковую меру (например, площадь в случае плоских областей), считаются равновозможными. Пусть событие А – её попадание в область A Е. Если S( A)

иS (E) , S(E) 0 – соответственно меры А и Е, то геометрической вероятностью

события A будем называть число

P( A) S( A) .

S(Е)

4.2. Для геометрической вероятности сохраняются, очевидно, свойства (2.2), (2.3) и оценка 0 Р( A) 1 для всякого случайного события А. Заметим, что здесь

равенства P( А) 1, P( А) 0 оказываются возможными и для некоторых случайных

событий А. Так, например, если Е – квадрат, а случайное событие А – попадание точки на любую его диагональ, то P( А) 0 , поскольку диагональ имеет нулевую

площадь.

5.ПОНЯТИЕ ОБ АКСИОМАХ ВЕРОЯТНОСТИ

5.1.Рассмотренные выше модели вероятности события (классическая, статистическая, геометрическая) обладают некоторыми общими свойствами, которые можно положить в основу аксиоматического определения вероятности.

Зададим вероятность как некоторую функцию Р на алгебре событий U (или

даже -алгебре событий). Будем считать, что выполнены следующие свойства (аксиомы):

А1 (неотрицательность вероятности): P( А) 0 для всякого A U ; А2 (нормированность вероятности): Р(Е) = 1;

А3 (аддитивное свойство): если события A1, A2, …, An попарно несовместны, то

n

P(A1 + A2 + … + An) = P( Ak ) ;

k 1

А4 (аксиома «расширенной» аддитивности для попарно несовместных событий):

Р(A1 + A2 + … + An + …) = P( Ak ) ,

k 1

где числовой ряд предполагается сходящимся.

5.2. При выполнении аксиом А1 – А4 имеют место следующие утверждения. Теорема 5.1. Для всякой пары противоположных событий A, A справедливо

равенство

P( A) P( A) 1.

Действительно, в силу соотношения A A Е и свойства нормированности А1

Р( A A) Р(Е) 1.

16

Далее, в силу несовместности событий A , A и аксиомы А3 получаем

P( A) P( A) Р( A A) 1,

что и утверждалось.

В частности, для событий достоверного и невозможное как противоположных получаем

P( ) 1 Р(Е) 1 1 0.

Теорема 5.2. Всякое событие А имеет вероятность Р( A) 1.

Для доказательства воспользуемся результатом теоремы 5.1 и свойством А1:

1 P( A) P( A) Р( А).

5.3. Выше для классической вероятности установлено, что она удовлетворяет свойствам А1 и А2. Проверим для неё теперь справедливость А3. Начнём с рассмотрения двух несовместных событий и установим, что

P( A1 A2 ) P( A1) P( A2 ) .

Пусть опыт имеет n элементарных исходов, из которых m1 благоприятствует A1,

аm2 исходов – A2. Ввиду несовместности событий A1 и A2, среди m1 и m2 нет общих исходов. Следовательно, событию A1 + A2 благоприятствуют ровно m1 + m2 исходов,

атогда

P( A1 A2 ) m1 m2 m1 m2 P( A1) P( A2 ) . n n n

5.4. Утверждение п. 5.3 можно распространить теперь на произвольное конечное количество событий, пользуясь ассоциативным свойством сложения и действуя по индукции. Так, например, если три события A1, A2, A3 попарно несовместны, то события (A1 + A2) и A3, очевидно, будут несовместными. Теперь на основании утверждения п. 5.1 получаем

P( A1 A2 A3 ) P(( A1 A2 ) A3 )) P( A1 A2 ) P( A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ),

так что свойство А3 оказывается верным и в случае трёх слагаемых.

6.ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБЫТИЙ

6.1.Рассмотрим способ вычисления классической вероятности произведения событий AB . Обозначим через PA B вероятность события B, вычисленную при

условии, что A произошло, и будем называть её условной вероятностью события В (вероятностью В по наступлении А).

Теорема 6.1. Имеет место соотношение

Доказательство. Предположим, что среди n элементарных исходов опыта ровно m благоприятствуют произведению AB , и mА исходов благоприятствуют событию A. Тогда

17

а событие B имеет тогда благоприятными исходы, благоприятные одновременно и для A. Таким образом, по наступлении А оказывается mB m, и вычисление PA (B)

приводит к равенству (6.3).

Согласно равенствам (6.2) и (6.3) получаем утверждение (6.1).

6.2. В случае произведения трёх и большего числа событий имеет место аналогичный результат. Так, например,

P ABС P A PA B РАВ (С).

Доказательство проводится по индукции с использованием свойства ассоциативности умножения событий.

Замечание. Соотношение

P( AB) PA (B) P( A) ,

вытекающее (для классической вероятности) при Р( А) 0 из формулы (6.1),

в общем случае может быть положено в основу определения условной вероятности события В. Стоит заметить, что это определение корректно, если для выбранной модели вероятности предварительно установлено, что P( AB) P( A) .

6.3. События А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, наступило ли или не наступило другое событие. Например, если среди N предметов будет ровно M (0 < M < N) меченых (окрашенных, бракованных и т.п.) и производится «безвозвратная» выборка, то вероятность извлечения второго предмета меченым (событие В) зависит от того, был ли меченым (событие А) извлечён первый предмет. Действительно,

Однако в случае возвратной выборки вероятность извлечения второго предмета меченым была бы одной и той же (независимо от того, каким был первый предметов):

Р(В) РА (В) РА (В) MN .

18