или

Искомые значения и находим в результате решения полученной для них системы уравнений.

3.3. Пример. Найти выборочное уравнение линейной регрессии по следующим данным измерений:

Решение. Находим значения сумм, которые являются коэффициентами при ив соответствующей системе уравнений:

Записываем теперь уравнения системы п. 9.2:

91 + 21 = 179,1;21 + 6 = 46,3,

откуда находим = 0,98, = 4,3 так, что выборочное линейной уравнение регрессии принимает вид у 0,98х 4,3 .

4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

Задача 4.1. Из генеральной совокупности извлечена выборка. Известен вариационный ряд

а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию.

68

Решение. Размах

R xmax xmin 1,5 1,1 0,4.

Мода Мо = 1,3, так как эта варианта обладает наибольшей частотой, равной 40. Медиана me = 1,3, поскольку эта варианта расположена в середине вариационного ряда. Объём выборки

n = 10 + 25 + 40 + 15 + 10 = 100.

а) По формуле п. 1.3 имеем

xв = 1,1 10010 1,2 10025 1,3 10040 1,4 10015 1,5 10010 1,29.

б) Согласно п. 1.3

Dв (1,1)2 0,1 (1,2)2 0,25 (1,3)2 0,4 (1,4)2 0,15 (1,5)2 0,1 (1,29)2 0,0319.

Задача 4.2. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с известным средним квадратичным отклонением = 4. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а по выборочной средней xв = 3,6,

если объём выборки n = 64 и задана надёжность оценки = 0,95.

имеет вид (3,6 – 0,98; 3,6 + 0,98). Иначе говоря, с надёжностью = 0,95 имеет место неравенство 2,62 < a < 4,58.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. КОНТРОЛЬНЫЙ МОДУЛЬ

1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

1.Доказать, что выборочная средняя xв принимает значения

xв [xmin , xmax ],

где xmax и xmin – соответственно наибольшее и наименьшее значения вариант x k .

2. Количественный признак распределён по показательному закону с параметром ,т.е. плотность распределения имеет вид

f (x) e x , x 0; f (x) 0, x 0.

Извлечена выборка и вычислена выборочная средняя xв . Используя метод моментов, найти точечную оценку параметра .

2.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.В течение 20 биржевых торгов курс доллара составил следующие значения (в рублях):

25,75; 25,8; 25,7; 25,7; 25,6; 25,65; 25,6; 25,65; 25,65; 25,7; 25,8; 25,8; 25,8; 25,7; 25,7; 25,7; 25,7; 25,6; 25,5; 25,65.

69

Найти: а) моду Мо; б) медиану me; в) размах варьирования R; г) средний курс доллара.

2. Из генеральной совокупности задержанных на таможне контрафактных товаров сделана выборка. Известны примерные рыночные цены аналогичных товаров признанных брендов в тыс. руб. хi и частоты ni их значений в выборочной совокупности.

xв = 82,51, объём выборки n = 11 и среднее квадратичное отклонение = 11.

4. Из генеральной совокупности металлических шайб сделана выборка. Известны внутренние диаметры xi и частоты ni этих значений в выборочной совокупности (размеры даны в миллиметрах). Найти выборочную среднюю.

5.Врачи рекомендуют при использовании тонометров-автоматов производить измерения артериального давления (АД) несколько раз и принимать за правильный результат среднее арифметическое измерений. Особо мнительный пациент измерил давление 20 (!) раз. Каково истинное верхнее значение АД, если для него он получил следующие результаты измерений: 140, 135, 135, 135, 140, 145, 145, 150, 145, 150, 150, 140, 145, 150,160, 145,155,155, 160, 160?

6.Между верхним и нижним значениями показателей артериального давления ( X и Y ) существует зависимость. Считая её линейной регрессией, найти соответствующее уравнение, если данные измерений следующие:

По уравнению линейной регрессии определить нижнее значение АД, если верхнее значение достигнет 180 ед.

70

Глава 5. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. ПРИЛОЖЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА

Рассмотрим пример использования свойств распределения Пуассона на практике при аудиторских проверках страховых компаний. Пусть имеется квартальный отчёт (табл. 1), поданный в главный офис некоторой страховой компанией из её филиала, о количестве страховых случаев, произошедших с застрахованными объектами. В нём соотнесены данные, с каким количеством страховых объектов сколько страховых случаев произошло.

1. Данные о количестве страховых случаев за квартал

В аудиторском отделе страховой компании решили убедиться в подлинности отчёта – есть ли в нём приписки.

Как известно, случайные события, происходящие в нашей жизни, – помехи на линиях электропередачи, поломки оборудования, страховые случаи и др. – происходят по закону Пуассона. Следствие из него – среднее количество страховых случаев и его дисперсия должны быть примерно равны. Проверим это.

Определим общее количество страховых случаев:

s1 0 120 1 51 2 35 3 21 4 13 5 8 6 1 7 1 289.

Тогда среднее количество застрахованных случаев на один объект за квартал

т.е. в среднем с одним объектом случалась 1,156 страховых случаев.

Теперь найдём дисперсию количества страховых случаев. Сначала вычислим s2 02 120 12 51 22 35 32 21 42 13 52 8 62 1 72 1 873.

71

Средний квадрат равен

k 2 sN2 3,492.

Дисперсия равна

D k 2 k 2 3,492 1,1562 2,156.

Как видно, дисперсия D на 1 больше среднего количества k , т.е. резко отличаются. Следовательно, имеются приписки, так как нарушается следствие из закона Пуассона. Определим, сколько страховых случаев было приписано.

Заметим, что вряд ли были приписки с объектами, которые попадали под страховые случаи по 1-му разу (если приписывать, то большими объёмами). Тогда запишем закон Пуассона для объектов, попавших под страховой случай один раз:

Тогда по теореме 1 [1, с. 136, 137] существует единственный корень уравнения (1.2) на отрезке [0; 1]. Начальное приближение 0 к корню также выбирается

из отрезка [0; 1].

Пусть 0 0,5 . Тогда

1 0,204e 0 0,336,2 0,204e 1 0,285,3 0,204e 2 0,271,4 0,204e 3 0,268,5 0,204e 4 0,267,

6 0,204e 5 0,266,

7 0,204e 6 0,266.

72