Элементы линейного программирования и транспортная задача. Учебное пособие

Крон Р. В., Попова С. В.

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

Учебное пособие

Ставрополь «АГРУС»

2018

УДК 519.852

ББК 22.18

К83

Крон, Р. В.

: . / . . , . . ; . - : , 2018. - 65 .

Учебное пособие входит в серию методических разработок, способствующих овладению студентами теоретическими осно-вами материала и появлению у них навыков решения задач по основным разделам курса математики.

Предназначена для использования во время практическихзанятий и в качестве задачника для самостоятельной работы и контроля знаний студентов.

УДК 519.852 ББК 22.18

©Авторский коллектив, 2018

©ФГБОУ ВО Ставропольский государственный аграрный университет, 2018

Глава 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 1.1. Общая задача линейного программирования

Модели линейного программирования используются для определения плана производства. Эти возможности обобщаются для случая, когда закупка готовой продукции для последующей реализации может оказаться для производителя предпочтительнее, чем использование собственных мощностей. Рассматривается также задача производственного планирования, учитывающая динамику спроса, производства и хранения продукции. Наиболее часто такие задачи возникают на уровне агрегированного планирования и оперативного управления микроэкономическими объектами.

Общая постановка задачи планирования производства: необходимо определить план производства одного или нескольких видов продукции, который обеспечивает наиболее рациональное использование имеющихся материалов, финансовых и других видов ресурсов. Такой план должен быть оптимальным с точки зрения выбранного критерия – максимума прибыли, минимума затрат на производство и т.д.

Пусть дана система m неравенств с n – неизвестными.

Необходимо найти такое решение системы Х = (х1, х2, …., хn), при котором линейная функция Z принимает оптимальное, т. е. mах (min) значение.

Если система ограничений состоит из одних неравенств, то задача называется стандартной; если же из уравнений, то задача называется канонической. Чтобы перейти от стандартной формы к каноническому виду вводят дополнительные неотрицательные переменные со знаком «+», если знак неравенства «≤» и со знаком «–» , если знак неравенства «≥», т. е. неравенство а11 x1 а12х2 ..... а1n хn b1, можно заменить выражением

а11 x1 а12х2 ..... а1n хn хn 1 b1.

Решение экономической задачи можно разбить на три этапа:

1)построение экономико – математической модели;

2)нахождение оптимального решения;

3)практическое внедрение полученных результатов в народном хозяйстве. Чтобы составить математическую модель задачи линейного программи-

рования необходимо:

ввести обозначения переменных;

исходя из цели экономических исследований составить целевую функцию;

учитывая ограничения в использовании экономических показателей задачи и их количественные закономерности, записать систему ограничений.

3

Пример.Фермернасвоемучасткевыращиваетогурцыипомидоры.Чтобы не потерять урожай, он использует азотные, калийные, фосфатные удобрения и навоз.Чтобыудобритьодингектарогурцовемунеобходимо20ед.азотныхудобрений, 40 – калийных, 10 – фосфатных, 20 – навоза; помидоров – 10 – калийных, 15 – фосфатных, 10 – навоза. Его запасы удобрений следующие: азотных – 120, калийных – 320, фосфатных – 160, навоза – 180. Прибыль с 1 га площади, засаженной огурцами, – 5000 у. д. е., а помидорами – 3000 у. д. е. Сколько гектаров огурцов и помидоров необходимо обработать для получения максимальной прибыли.

Решение. В качестве переменных выберем площади, занимаемые под посадки огурцов (переменная Х) и помидоров (переменная Y). Обозначим используемые ресурсы:азотныеудобрения–S1,калийные–S2,фосфатные–S3,навоз–S4.Тогда данные условия задачи можно свести в наглядную таблицу:

На основании вышеизложенного математическая модель задачи будет выглядеть следующим образом:

20X 120;

40X 10Y 320;10X 15Y 160;20X 10Y 180;

X ,Y 0.

Z5000X 3000Y max

1.2.Графический метод решения задач линейного программирования

Наиболее простым и наглядным методом решения задач линейного про-

граммирования является графический метод. Он применяется для решения задач линейного программирования с двумя переменными, заданными в неканонической форме, и многими переменными в канонической форме при условии, что они содержат не более двух свободных переменных.

а11 x1 а12х2 b1,

Пусть дана система линейных неравенств:

а21 x1 а22х2 b2.

Уравнение а11 x1 а12х2 b1 определяет на плоскости х1Ох2 прямую, которая

разбивает эту плоскость на две полуплоскости, каждая из которых лежит по одну сторонуотпрямой.Системенеравенствудовлетворяетмножествоточек(х1;х2),лежащих в пересечении полуплоскостей, заданных неравенствами системы.

4

Для нахождения экстремального значения целевой функции при геометрическом методе решения используют на плоскости х1Ох2 вектор, который обозна-

чается N . Этот вектор показывает направление наискорейшего изменения целевой функции. Координаты вектора N являются коэффициентами целевой функ-

ции Z, т. е. N(с1; с2 ).

Для нахождения решения графическим методом необходимо:

1)Найти область допустимых решений системы ограничений задач.

2)Построить радиус – вектор N(с1; с2 ).

3)Провести линию уровня l0, которая перпендикулярна N ;

4)Переместить линию уровня по направлению вектора N для задач на макси-

мум и в направлении, противоположном N , для задач на минимум. Решением задачи на min является первая точка, в которой прямая l0 встречается с областью

D при перемещении l0 в положительном направлении вектора N .

5) Найти координаты точки экстремума и значение целевой функции в ней. Еслиокажется,что прямаяl0 приперемещениипараллельнаоднойизсторон

многоугольника, то экстремум достигается во всех точках соответствующей стороны, а задача будет иметь бесчисленное множество решений, в таком случае говорят, что задача имеет альтернативный оптимум.

Пример. Решим задачу из пункта 1.1 графическим способом. Построим полуплоскости, заданные системой ограничений в первом квадранте системы координат (выбор первого квадранта обусловлен неотрицательностью переменных X иY).РезультирующейобластьюрешенийявляетсямногоугольникABCDO.По-

строим вектор N(5000; 3000) или подобный ему (с пропорциональными коор-

динатами). Построим линию уровня, перпендикулярную вектору N . Возможными точками решения являются точки B и С.

3

A

5

Большая прибыль соответствует точке В, следовательно оптимальным использованием земельных ресурсов является распределение площадей 5,5 га под посадкуогурцови7га–помидоров.Приэтомбудетполученаприбыльвразмере

48500 у. е. д.

Задания для решения в аудитории

Составить экономико – математическую модель и найти оптимальный план выпуска продукции графическим методом.

1. При откорме каждое животное ежедневно должно получить не менее 9 ед. питательного вещества S1, не менее 8 ед. вещества S2 и не менее 12 ед. вещества S3 . Для составления рациона используют два вида корма. Содержание количества единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и стоимость 1 кг корма:

Необходимо составить дневной рацион нужной питательности, причем затраты на него должны быть минимальными.

2. Для изготовления шкафов и сервантов отделочный завод использует следующие виды древесины: береза, сосна, дуб, кедр, липа и ель. Затраты на производство единицы продукции приведены в таблице. Необходимо составить план выпуска продукции так, чтобы липа и ель были полностью израсходованы.

3. Для изготовления тортов и пирожных используются следующие виды кондитерских добавок: ванилин, кокосовая стружка, какао, сахарная пудра, разрыхлитель теста. Затраты на производство единицы продукции приведены в таблице. Необходимо составить план выпуска продукции так, чтобы сахарная пудра и разрыхлитель были полностью израсходованы.

6

4. Для изготовления хлеба и булок «Хлебокомбинат Ставропольский» использует муку, воду, соль, сахар, яйца, молоко. Затраты на производство единицыпродукцииприведенывтаблице.Необходимосоставитьпланвыпускапродукции так, чтобы сахар и соль были полностью израсходованы.

1.3. Анализ моделей на чувствительность (графический метод)

После нахождения оптимального решения задачи линейного программирования естественно возникает вопрос изучения влияния изменения параметров модели на полученное оптимальное решение. Такое исследование называется

анализом чувствительности.

Анализ модели на чувствительность позволяет дать ответы на следующие вопросы:

1.Можно ли увеличить запас некоторого ресурса для улучшения полученного оптимального значения целевой функции? На сколько можно увеличить запас этого ресурса?

2.Можно ли снизить запас некоторого ресурса при сохранении полученного значения целевой функции? На сколько можно снизить запас этого ресурса?

3.Увеличение объема какого из ресурсов наиболее выгодно?

4.В каких пределах могут меняться коэффициенты целевой функции при условии неизменности оптимального решения?

Первые три пункта соответствуют анализу модели на чувствительность к правым частям ограничений (запасам ресурсов), последний — на чувствительность к коэффициентам целевой функции (ценам).

Рассмотрим анализ чувствительности, основанный на графическом решении задачи.

Ограничение называется активным, если в точке оптимального решения оно выполняется как равенство. Прямая, соответствующая активному ограничению, должна проходить через оптимальную точку.

Ограничение называется неактивным, если в точке оптимального решения оно выполняется как строгое неравенство.

Ресурс называется дефицитным, если соответствующее ему ограничение является активным. Аналогично ресурс называется недефицитным, если соответствующее ему ограничение является неактивным.

Таким образом, при анализе модели на чувствительность к правым частям ограничений можно определить:

1) предельно допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса, позволяющее улучшить найденное оптимальное решение,

7

2) предельно допустимое снижение запаса недефицитного ресурса, не изменяющее найденного ранее оптимального решения.

Для того чтобы определить предельно допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса, необходимо найти то предельное положение, после которого соответствующее ограничение становится избыточным.

Пример. Проведем анализ на чувствительность полученного решения в примере пункта 1.2. Точка оптимума получена пересечением прямых l3 и l4, следовательно,ресурсыS3 иS4 относятсякдефицитным,аS1 иS2 –кнедефицитным.

Решение.

Рассмотрим ресурс S3.

l3

A

B

C

N

х

0 D

При увеличении этого ресурса прямая l3 параллельно сама себе перемещается вверх до точки пересечения прямых l1 и l2, имеющей координаты (6; 8). То-

гда значение ресурса S3 должно быть увеличено до S3н 10 6 15 8 180 ед.

Значение прибыли составит Zн=5000∙6+3000∙8=30000+24000=54000 у. д. е.

Рассмотрим ресурс S4.

l3

A

B

C

N

х

При увеличении этого ресурса прямая l4 параллельно сама себе перемеща-

ется вверх до точки пересечения прямых l1 и l3, имеющей координаты (6; 632). То-

гда значение ресурса S4 должно быть увеличено до S4н 20 6 10 632 18623 ед.

Значение прибыли составит Zн=5000∙6+3000∙623=30000+20000=50000 у. д. е.

Рассмотрим ресурс S1.

8

1

3

A

B

N

х

0 D

При уменьшении этого ресурса прямая l1 параллельно сама себе перемещается до точки пересечения прямых l3 и l4 (точки оптимума), имеющей координаты (5,5; 7). Тогда значение ресурса S1 должно быть уменьшено до

S1н 20 5,5 110 ед.

Значение прибыли не изменится. Рассмотрим ресурс S2.

l3

A

B

C

N

х

0 D

При уменьшении этого ресурса прямая l2 параллельно сама себе перемещается до точки пересечения прямых l3 и l4 (точки оптимума), имеющей координаты (5,5; 7). Тогда значение ресурса S2 должно быть уменьшено до

S2н 40 5,5 10 7 290 ед.

Значение прибыли не изменится.

Результаты проведенного анализа можно свести в следующую таблицу:

Наиболее выгодный для изменения ресурс может быть определен сравнением «ценностей» ресурсов. Обозначим ценность дополнительной единицы ресурса i через уi . Величина yi определяется из соотношения:

9