Элементы линейного программирования и транспортная задача. Учебное пособие

3. Для изготовления тортов и пирожных используются следующие виды кондитерских добавок: ванилин, кокосовая стружка, какао, сахарная пудра, разрыхлитель теста. Затраты на производство единицы продукции приведены в таблице. Необходимо составить план выпуска продукции так, чтобы сахарная пудра и разрыхлитель были полностью израсходованы.

4. Для изготовления хлеба и булок «Хлебокомбинат Ставропольский» использует муку, воду, соль, сахар, яйца, молоко. Затраты на производство единицыпродукцииприведенывтаблице.Необходимосоставитьпланвыпускапродукции так, чтобы сахар и соль были полностью израсходованы.

1.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Симплекс-метод решения задач линейного программирования является универсальным, так как позволяет решить практически любую задачу линейного программирования, записанную в каноническом виде. Если система ограничений задана в стандартной форме, то ее переводят в каноническую путем добавления новых переменных.

Пусть дана совместная система уравнений

a11x1 a12x2 a13x3 a14x4 a15x5 b1,a21x1 a22x2 a23x3 a24x4 a25x5 b2,a31x1 a32x2 a33x3 a34x4 a35x5 b3.

Z c1x1 c2x2 c3x3 c4x4 c5x5 min.

Пусть ранг этой системы равен 3, значит, базисных переменных три. Разрешим систему относительно (х1, х2, х3), а (х4, х5) – свободные.

11

x1 B1 a14x4 a15x5 ,

x2 B2 a24x4 a25x5 ,

x3 B3 a34x4 a35x5 .

Просмотрим элементы последней строки среди 4 и 5 ( 0 не рассматривать) найдем наименьшее положительное. Пусть это будет 4 . Это означает, что

х4 входит в Z со знаком «–», поэтому для уменьшения Z необходимо увеличивать х4, но увеличивать х4 можно до тех пор, пока все остальные хi будут неотрица-

тельными. Столбец, содержащий х4, называется разрешающим.

Если в последней строке нет положительных элементов, то все свободные переменные входят в Z с положительными коэффициентами и Zmin достигается при равенстве нулю всех свободных переменных.

Составим отношение свободных членов к положительным элементам раз-

решающего столбца min В1 ; В2 ; В3 .

а14 а24 а34

Выбираем строку, с минимальным отношением по абсолютной величине, которую называют разрешающей.

Пусть min является отношение В2 , тогда строка х2 – разрешающая.

а24

Элемент, стоящий на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки, называется разрешающим.

a24 , значит х4 нужно перевести в базисные, а х2 – в свободные переменные.

Если в разрешающем столбце нет положительных коэффициентов, то функция Zmin не достигнет, т. е. Z – не ограничена снизу.

Схема перехода к симплекс-таблице № 2:

1.Неизвестные х2 и х4 меняют местами.

2.Разрешающий элемент а24 заменяют обратной величиной.

3.Остальные элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент.

4.Элементы разрешающего столбца, кроме разрешающего элемента, делят на разрешающий элемент и меняют знаки.

12

5. Все остальные элементы Симплекстаблицы № 2 получают по правилу прямоугольника.

Тогда симплекс-таблица № 2 примет вид:

Полагаем свободные переменные х2 = 0, х5 = 0, получаем значение новых

базисных переменных x1 B1a24 B2a14 и т. д.

a24

Рассмотрим выражение для функции Z. По условию В1, В2, В3 0. Разреша-

ющий элемент больше нуля по выбору, 4 0 по выбору, значит 4 В2 0.

а24

Следовательно,функцияZ уменьшилась.Значит,есливпоследнейстрокевсе элементы не положительны, т. е. 0, то базисное решение оптимальное и задача решена. В противном случае необходим переход к симплекс-таблице № 3.

При решении задачи на max:

1.Разрешающий столбец выбирают также, просматривая строку Z, кроме

0 , и среди 4 и 5 находят отрицательный элемент наибольший по модулю.

По этому элементу и соответствует разрешающий столбец.

2.Разрешающую строку выбирают по min отношений свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца.

3.На их пересечении оказывается разрешающий элемент.

4.Алгоритм перехода к симплекс-таблице № 2 тот же, что и для min.

5.Критерий оптимальности на max, если в последней строке Z нет отрицательных коэффициентов.

Пример. Хозяйству требуется не более десяти 3-тонных машин и не более

восьми 5-тонных. Отпускная цена машины одной марки 2000 у. д. е., другой марки 4000 у. д. е. Хозяйство может выделить для приобретения машин 40 000 у. д. е. Сколько следует приобрести машин каждой марки в отдельности, чтобы их общая суммарная грузоподъемность была максимальной?

13

Решение.

x1 10,

x2 8,

x1 x2 20,x1,2 0.

Z 3x1 5x2 max

Перейдем к канонической форме задания, введя дополнительные переменные x3, x4 0.

В системе можно оставить три базисных и одну свободную переменную. Пусть х1, х2, х3 – базисные, х4 – свободная. Выразим базисные переменные

через х4.

x2 8 x4.

x1 20 2x4 20 16 2x4 4 2x4. x3 10 x1 10 4 2x4 6 2x4.

Z 3 4 2x4 5 8 x4 12 6x4 40 5x4 52 x4.

Отсюда,

14

1.Разрешающий элемент 2 заменяют обратной величиной ½.

2.Элементы разрешающей строки делят на разрешающий элемент 2.

3.Элементыразрешающегостолбцаделятнаразрешающийэлементименяют знаки.

Проведем анализ востребованности ресурсов. Для этого подставим полученные значения в исходные неравенства.

10 10 (полностью удовлетворяет требованиям по трехтонным машинам). 5 8 (не полностью удовлетворяет требованиям по пятитонным машинам). 10 5 15 20 (использованы не все денежные ресурсы).

Zmax = 55 т.

Задание для решения в аудитории

Решить задачи симплексметодом.

1.Косметическая фирма выпускает два вида кремов для рук из шести ингредиентов. Для первого вида крема количество ингредиентов 2, 8, 0, 3, 1, 6; а для второго вида – 3, 7, 3, 0, 2, 3. Запасы фирмы выглядят следующим образом 18, 56, 15, 18, 6, 18. Составить такой производственный план, при котором будет получена максимальная прибыль, если первый крем стоит 10 у. д. е, а второй – 12 у. д. е., причем необходимо представить к продаже оба крема.

2.Оружейный завод выпускает два вида ружей, которые должны обрабатываться на пяти разных станках. При чем, первый вид ружья должен обрабатываться на 1-ом станке 2 часа, 2-ом – 1 час, 3-м – 2 часа, 4-м – 4 часа, 5-м – 2 часа,

авторой вид – 4, 1, 1, 3, 3 часов соответственно. Станки в течение дня могут работать определенное количество часов: 1-й – 20 часов, 2-й – 6 часов,3-й – 10 часов, 4-й – 15 часов, 5-й – 9 часов. Составить план производства ружей, при котором количество выходящих единиц оружия максимально.

3.В итальянской пиццерии есть два вида фирменной пиццы. Нормы затрат продуктов на одну пиццу и запасы пиццерии выглядят следующим образом:

15

Составитпланвыпечкипиццдлямаксимализацииприбыли,еслипицца1вида стоит 50 у. д. е, а 2 – 65 у. д. е., причем в ассортименте должны быть обе пиццы.

1.5. Метод искусственного базиса (М – метод)

Если в задаче линейного программирования сразу не получилось допустимое решение, то применяют методискусственногобазиса, т. е. составляется так называемая расширенная задача, которая решается симплексным методом.

Для того чтобы решить задачу методом искусственного базиса:

1.В каждое уравнение, дающее отрицательную компоненту в базисном решении, вводят искусственные переменные у1, у2, …., уm, прибавляя их к левым частям уравнений.

2.Эти искусственные переменные следует ввести и в целевую функцию Z.

Взадаче на максимум – с коэффициентом (–М), а в задаче на минимум – с коэффициентом (+М): М(у1; у2,…., ум), где М – очень большое число.

3.Вводят новую линейную целевую функцию F Z M (y1, y2...., ym ) и эту

функцию обычно записывают в виде двух строк:

F(0 (c1x1 c2x2 ... cm xn )) M ( 0 ( 1x1 2x2 ... n xm )) max .

4.Эти искусственные переменные выводят из базиса, делая их свободными,

ипотом назад в базис не возвращают, поэтому эти столбцы в новой симплекстаблице зачеркивают и не рассчитывают.

5.Чтобыопределитьразрешающийстолбец,находятвстрокефункцииМ(m+2 строка) наибольший, положительный элемент. Ему соответствует разрешающий столбец.Разрешающуюстрокуищуткакобычноспомощьюминимумаотношений

ипереходят к новой симплекс-таблице по обычному алгоритму.

6.После переноса всех искусственных переменных у1, у2, …., уm в свободные, получают допустимое базисное решение. Строка М должна получиться из нулей, и ее отбрасывают.

7.И так как теперь есть допустимое решение, далее задачу можно решать и на максимум, и на минимум.

8.Всеостальные элементы симплекс-таблицывычисляютсяпоправилупря- моугольника.

Решение. В первом уравнении нет оснований вводить переменную искусственного базиса, поэтому в нем можно выделить в базис переменную х3. Во второе и третье уравнения введем две искусственные переменные у1 и у2 (для удобства, в правые части уравнений). Таким образом получаем: (х3; y1; y2) – базисные, (х1; х2; x4; x5)– свободные.

16

Z = 0 – ( – х1 – 2х2) → min.

F 0 ( x1 2x2) M (9 ( 3x1 5x2 3x4 2x5)) min.

Составим симплекс-таблицу № 1.

(в строке (m + 2), т. е. в М выбираем наибольший положительный элемент, т. е. 5, так как он максимально «тянет» в положительную сторону функцию цели

(В данной таблице значения 1/3 расположены в двух столбцах, поэтому выбираем наиболее для нас удобный).

Симплекс-таблица № 3.

(После заполнения симплекс-таблицы № 3 мы пришли к строке М, которая является нулевой и ее отбрасывают вместе с у1 и получают первое допустимое базисное решение: столбец bi не отрицателен, поэтому теперь задачу можно решать как на максимум, так и на минимум).

17

Анализируя строку Z видим, что х5 входит в целевую функцию Z со знаком «+», поэтому продолжаем переход к симплекс-таблице № 4.

Симплекс-таблица № 4.

min 6; 1 6.8 1 8

Симплекс-таблица № 5.

Так как в строке Z все коэффициенты отрицательные, следовательно, решение оптимальное: Х(3/4; 1/4; 0; 0; 5). Zmin = 10/8.

Задание для решения в аудитории

Составить экономико-математическую модель и решить методом искусственного базиса.

1. ОАО молочный комбинат «Ставропольский» выпускает множество продукции, среди которой имеется кефир и творог. Для изготовления используют молоко и закваску в разных количествах. Для изготовления 1 литра кефира требуется 2,7 литров молока и 0,9 литров закваски. Чтобы произвести 1 кг творога необходимо 2 литра молока и 4 литра закваски. Кроме того, молока должно быть использовано не менее 81 литра, а запасы закваски ограничены 28 литрами. Какое количество кефира и творога надо производить, чтобы доход от их реализации был максимальным, при условии, что за кефир покупатель отдает 10 руб., а за творог – 14 руб.?

2. «Пищевой комбинат «Вологодский» в своем ассортименте имеет кукурузные хлопья, глазированные и глазированные с сахаром. Расходы сахара, кукурузной крупы и соли для каждых хлопьев представлены в таблице:

18

Крометого,сахарадолжнобытьиспользованонеменее36кг,кукурузнойкрупы не менее 80 кг, а соли не более 3 т. 1 кг глазированных хлопьев стоит 6 руб., а глазированных с сахаром – 12 руб. Определите, какую продукцию и в каких количествах выгоднее всего производить комбинату и какую наибольшую прибыль он сможет получить от реализации этой продукции?

3. Фирма рекламирует свою продукцию с использованием четырех средств: телевизора, радио, газет и афиш. Из различных рекламных экспериментов, которые проводились в прошлом, известно, что эти средства приводят к увеличению прибыли соответственно на 10, 3, 7 и 4 у. д. е. в расчете на 1 у. д. е., затраченную на рекламу.

Распределение рекламного бюджета по различным средствам, подчинено следующим ограничениям:

а) полный бюджет не должен превосходить 500000 у. д. е.; б) следует расходовать не более 40 % бюджета на телевидение и не более 20 % бюджета на афиши;

в) вследствие привлекательности для подростков радио на него следует расходовать, по крайней мере, половину того, что планируется на телевидение.

1.6. Двойственные задачи линейного программирования

Каждой задаче линейного программирования соответствует другая задача, называемая двойственной задачей или сопряженной по отношению к исходной. Теория двойственности оказалась полезной для проведения качественных исследований задач линейного программирования. Рассмотрим задачу об использовании ресурсов.

x1 2x2 x3 10,

2x x 3x 8,

Пример. Прямая задача: 1 2 3

x1,x2,x3 0.

maxz 5x1 12x2 4x3

Решение. Прямая задача в канонической форме:

x1 2x2 x3 x4 10,2x1 x2 3x3 0x4 8,

x1,x2,x3,x4 0.

max z 5x1 12x2 4x3 0x4.

Двойственная задача:

minw 10y1 8y2.

y1 2y2 5,2y1 y2 12,y1 3y3 4,

y1 0,y2 свободная переменная.

Особенности двойственных задач состоят в следующем:

19

1.В одной задаче ищется max Z, во второй – min.

2.Коэффициенты при переменных Z одной задачи являются свободными членами системы ограничений другой задачи.

3.Каждая из задач задана в стандартной форме.

4.Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений являются транспонированными друг другу.

5.Число неравенств одной задачи совпадает с числом переменных другой.

6.Условие неотрицательности переменных в обеих задачах.

Для того чтобы перейти от прямой задачи к двойственной, необходимо:

1.Привестивсенеравенства системыограниченийисходнойзадачикодному смыслу. Если на max, то к виду ≤. Если на min, то к виду ≥. Для этого те неравенства, у которых данные требования не выполняются, умножают на ( – 1).

2.Составить расширенную матрицу исходной задачи. В нее входят коэффициенты при переменных, столбец свободных членов системы ограничений, строка коэффициентов при переменных Z.

3.Составить транспонированную матрицу.

4.Сформировать двойственную задачу на основании составленной транспонированной матрицы и условии неотрицательности переменных.

Пример. Допустим, что у предприятия № 1 есть альтернативная возможность продать все сырье, а предприятие № 2 решило закупить все ресурсы, которыми располагает предприятие № 1. Цель предприятия № 2 другая, а именно:

оно хочет установить оптимальные цены на эти ресурсы, чтобы реализовать его было выгоднее, чем производить из него продукцию.

Решение.

Пусть у1 – цена единицы сырья вида S1, у2 – цена единицы сырья вида S2. В одной единице готовой продукции Р1 содержится 4 единицы S1 по цене у1,

2 единицы S2 по цене у2.

Система ограничений:

20