Элементы линейного программирования и транспортная задача. Учебное пособие

Таким образом, строим цикл для непотенциальной клетки (1; 3). У вершин цикластавимзнаки(+)и(−)изаписываемгрузы.Увершинсознаком(−)выбираем минимальный груз, он равен 60. Его прибавляем к грузам, стоящим у положительных вершин, и вычитаем из грузов, стоящих у отрицательных вершин.

Получаем новый цикл.

Снова проверим полученное решение на оптимальность:

Такимобразом,клетка(2;1)непотенциальна.Получениеновогопланаосуществляется в том же порядке, что и предыдущий, т. е. строим с ней цикл, и проверяем полученный план на оптимальность аналогично.

31

Проверяя на потенциальность клетки нового плана, убеждаемся, что последний план оптимальный:

Z 90 2 30 4 300 1 70 5 110 3 1280 ден. ед.

Таким образом, построением начального плана и последующим расчетом двух итераций (циклов) получено оптимальное решение по прикреплению пунктов отправления грузов к пунктам назначения.

Пример 2. Решить задачу из примера 1 п. 2.2. методом потенциалов. Исходный план составлен методом минимального элемента.

Целевая функция Z = 585.

Решаем задачу методом потенциалов:

Полагая потенциал U1 = 0, определяем остальные потенциалы из соотношения Ui + Vj = Ci,j (i =1..m, j = 1..n), просматривая все занятые клетки.

32

U1 0,V1 2,V2 3,U3 6,V3 5,V4 6,U2 0.

Определяем значения оценок для всех свободных клеток:U1 V3 4, 5 4 непотенциальна.

U1 V4 0, 6 0 потенциальна.

U2 V1 3, 2 3 потенциальна.

U2 V2 6, 3 6 потенциальна.

U2 V4 0, 6 0 потенциальна.

U3 V1 8. 8 8 потенциальна.

Непотенциальной является клетка (1, 3). Строим для нее цикл, помечая клетки цикла знаками «плюс» и «минус».

Перемещаем по циклу груз величиной в 5 единиц, прибавляя эту величину к грузу в клетках со знаком «плюс» и отнимая ее от груза в клетках со знаком «минус».

В результате перемещения по циклу получим новый план:

Целевая функция Z = 580. Значение целевой функции изменилось на 5 единиц по сравнению с предыдущим этапом.

33

U1 V1 2,U1 V3 4,

2.U2 V3 5,U3 V2 9,U3 V3 11,U3 V4 0.

Полагая потенциал U1 = 0, определяем остальные потенциалы, просматривая все занятые клетки.

U1 0,

V1 2,

V3 4,

U2 1,

U3 7,

V4 7,

V2 2.

Определяем значения оценок для всех свободных клеток:U1 V2 3, 2 3 непотенциальна.

U1 V4 0, 7 0 потенциальна.

U2 V1 3, 3 3 потенциальна.

U2 V2 6, 3 6 потенциальна.

U2 V4 0, 6 0 потенциальна.

U3 V1 8. 9 8 непотенциальна.

Выбираем клетку (3, 1). Строим для нее цикл, помечая клетки цикла знаками «плюс» и «минус».

Перемещаем по циклу груз величиной в 5 единиц, прибавляя эту величину к грузу в клетках со знаком «плюс» и отнимая ее от груза в клетках со знаком «минус». В результате перемещения по циклу получим новый план:

34

Целевая функция Z = 575. Значение целевой функции изменилось на 5 единиц по сравнению с предыдущим этапом.

3. Проверяя на потенциальность клетки нового плана, убеждаемся, что последний план оптимальный:

Транспортная задача решена.

Целевая функция F = 575. 5 единиц груза из хранилища A3 осталось нераспределенным.

Пример 3. В Ставропольском крае имеются пять предприятий, выпускающих силикатный кирпич, который удовлетворяет потребности семи потребителей. В таблице приведены объемы производства, потребности и стоимость перевозок единицы продукции.

35

В связи с переходом к выпуску шифера уменьшаются объемы поставок потребителям B3 и B2 соответственно на 100 и 150 единиц. Определить, на каких предприятиях необходимо провести сокращение, чтобы суммарные расходы на производство и транспортировку силикатного кирпича после сокращения были минимальными, если себестоимость производства единицы продукции на предприятиях составляет соответственно 4, 8, 12, 12, 10 условных денежных единиц.

Решение. Сумма произведенной продукции равна сумме потребностей, значит, перед нами закрытая транспортная задача.

Сначала составим матрицу стоимостей рассматриваемой задачи, для этого к стоимости перевозки необходимо прибавить себестоимость производства продукции на соответственном предприятии, уменьшим на 100 и 150 единиц объем

потребностей потребителей B3 иB2 соответственно. В результате bj ai , т.

е. задача открытая, и необходимо ввести фиктивного поставщика с потребностями, равными 250 единицам. В оптимальном плане предприятиям, прикрепленным к фиктивному потребителю, необходимо сократить объем производства.

При данном распределении затраты составят 24950 условных денежных единиц.

Составим систему уравнений согласно методу потенциалов:

U1 V1 14,

U1 V4 22,

U1 V5 20,

U1 V7 16,

U2 V2 22,

U2 V3 19,

U3 V2 23,

U3 V8 0,

U4 V4 30,

U5 V6 26,

U5 V8 0,

U4 V2 25.

36

U1 0.U2 5.

U3 6.U4 8.

U5 6.

V1 14.

V2 17.V3 14.

V4 22.

V5 20.V6 20.

V7 16.

V8 6.

37

Некоторые клетки снова непотенциальны, поэтому составляем цикл. При данном распределении затраты составят 24950 условных денежных единиц. Следовательно, предыдущее распределение является оптимальным.

Ответ. Необходимо провести сокращение на третьем и пятом предприятиях, при этом затраты окажутся минимальными и составят 24750 условных денежных единиц.

Задание для решения в аудитории

Уточнить оптимальный план методом потенциалов.

1. Найти минимум затрат на перевозку кормов с севооборотных массивов на животноводческие фермы. Данные по затратам на перевозку единицы груза с учетом удаленности участков от производственных центров приведены в таблице

2. Распределить посевы кормовых культур по 4 участкам земли различного плодородия таким образом, чтобы сбор кормов (в кормовых единицах) был максимальным. Исходные данные приведены в таблице.

38

39

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1 «ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ»

Составить экономико-математическую модель задачи и решить ее графически и симплекс-методом.

Вариант № 1

Необходимо определить количество навоза и сложных удобрений для подбрасывания на 20 га лугопастбищных угодий так, чтобы полная стоимость вносимых удобрений была минимальной. При этом необходимо внести на луг не менее 75 кг/га азота, 25 кг/га фосфора и 35 кг/га калия, производительность труда при разбрасывании навоза составляет 8 т/ч, а сложных удобрений – 0,4 т/ч при ресурсах времени для выполнения этой работы 25 часов.

Вариант № 2

Для производства двух видов изделий A и B предприятие использует три вида сырья. Составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль предприятияотреализациипродукциибудетмаксимальнойприусловии,чтоизделий B надо выпустить не менее чем изделий A.

Вариант № 3

Озеро можно заселить двумя видами рыб: А и В. Средняя масса рыбы равна 2 кг для вида А и 1 кг для вида В. В озере имеется два вида пищи: Р1 и Р2, средние потребности одной рыбы вида А составляет одна единица корма Р1 и 3 ед. корма Р2 в день. Аналогично для рыб вида В – 2 ед. и 3 ед. Ежедневный запас пищи поддерживается на уровне 500 ед. вида Р1 и 900 ед. вида Р2. Как следует заселить озеро рыбами, чтобы максимизировать общую массу рыб?

Вариант № 4

Завод может изготовить два типа изделий. Изделия проходят обработку в трех цехах. Впланируемом периоде требуется изготовить хотя бы по одному изделию каждого типа. Определить производственную программу завода для получения максимальной прибыли.

40