4. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ТРЁХФАЗНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

4.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Трёхфазные цепи – это совокупность трёх однофазных цепей,

вкоторых действуют три синусоидальные ЭДС, одинаковые по частоте и амплитуде, сдвинутые между собой по фазе на угол 120° и создаваемые

водном источнике энергии. Такая трёхфазная система называется симметричной.

Трёхфазная система была разработана русским учёным М. О. ДоливоДобровольским.

Передача электрической энергии на дальние расстояния по трёхфазным цепям более выгодна, чем передача энергии по однофазным цепям; кроме того, трёхфазные синхронные генераторы и двигатели, трёхфазные асинхронные двигатели и трансформаторы более просты в производстве, экономичны и надёжны в эксплуатации. В трёхфазных системах достаточно просто получить вращающееся магнитное поле, воздействие асинхронных и синхронных двигателей.

Источником электрической энергии в трёхфазной цепи является синхронный генератор, в трёх обмотках которого, конструктивно сдвинутых

относительно друг друга на 120° и называемых фазами, индуцируются три ЭДС, фазы которых также сдвинуты относительно друг друга на угол

120° (рис. 4.1).

Начала обмоток обозначаются буквами А, В, и С, концы – X, Y, Z. При равномерной частоте вращения ротора в обмотках статора индуцируются ЭДС одинаковой частоты и амплитуды, но сдвинутые друг относительно друга на угол 120°. За условное положительное направление ЭДС в каждой фазе принимают направление от конца к началу.

Рис. 4.1

70

Способы изображения трёхфазной системы ЭДС. Если фазу фаз-

ной ЭДС A принять за исходную, равную 0, то мгновенные значения ЭДС можно выразить аналитически:

eA = Em sin ωt; eB = Em sin(ωt −120°); eC = Em sin(ωt +120°)= Em sin(ωt −240°),

или в комплексном виде:

E&A = Ee j0°; E&B = Ee− j120°; E&C = Ee j120°.

Для трёхфазной системы ЭДС справедливо равенство: eA +eB +eC = 0 . Алгебраическая сумма мгновенных значений ЭДС сим-

метричной трёхфазной системы равна 0.

Из векторных диаграмм на рис. 4.2 а, б следует, что для симметричной трёхфазной системы геометрическая сумма векторов ЭДС всех фаз равна нулю: E&A + E&B + E&C =0 .

Для трёхфазных цепей систему координат обычно поворачивают на угол 90° против часовой стрелки.

Последовательность, с которой ЭДС в фазных обмотках генератора принимает одинаковые значения, называют порядком чередования фаз или последовательностью фаз. От последовательности чередования фаз зависит направление вращения трёхфазных синхронных и асинхронных двигателей.

На практике применяется прямая последовательность чередования

фаз.

Рис 4.2. Векторная диаграмма:

а – прямая система; б – обратная система

71

Способы соединения фаз источника трёхфазного тока. Если в трёхфазной цепи обмотки электрически не соединены между собой, то такую трёхфазную цепь называют несвязанной. В этом случае каждая фаза соединяется со своим приёмником двумя проводами.

В целях уменьшения соединительных проводов в трёхфазной системе используют связанные цепи, в которых фазы источника или приёмника соединяются между собой звездой (рис. 4.3) или треугольником (рис. 4.4).

При соединении фаз обмотки генератора звездой (рис. 4.1) их концы X, Y, Z соединяют в одну общую точку N, называемую нейтральной точкой (или нейтралью).

Начала фаз выводят к зажимам А, В, С и к ним подключают провода, с помощью которых источник питания соединяется с приёмником. Эти провода называются линейными, а трёхфазная цепь – трёхпроводной. Если нейтральная точка N источника питания соединена с нейтральной точкой n приёмника, то трёхфазная цепь будет четырёхпроводной, а провод, соединяющий нейтральные точки N и n, называется нейтральным, который необходимо применять при несимметричной нагрузке, т.е. когда сопротивления фаз приёмников не равны между собой. Напряжение между началом и концом фазы источника называют фазным (Uф). Фазными

токами называют токи, проходящие через каждую фазу источника или приёмника. Напряжения между началами A, B, C фаз источника или между линейными проводами называют линейными напряжениями Uл, а токи в линейных проводах – линейными Iл .

За условные положительные направления линейных напряжений принимают направление от начала одной фазы к началу другой (например, напряжение UАВ направлено от А к В и т.д.). Линейные токи, проходящие через линейные провода, всегда направлены от источника к приёмнику. Фазные напряжения и токи направлены в одну и ту же сторону.

При соединении фаз источника питания в треугольник соединяют в одну точку соответствующие начала и концы фаз: X-B; Y-C; Z-A (рис. 4.4), при этом фазы источника оказываются соединёнными последовательно.

72

Соединение фаз источника в треугольник не равносильно их короткому замыканию, так как для симметричной системы eA +eB +eC = 0 , при

этом при холостом ходе ток в фазах источника не возникает.

На практике фазы трёхфазных генераторов соединяют звездой.

Соотношения между линейными и фазными напряжениями. Для схемы на рис.4.5 запишем уравнения по второму закону Кирхгофа:

U&AB =U&A −U&B U&AB +U&B −U&A = 0,

U&BC =U&B −U&C U&BC +U&C −U&B = 0,

U&CA =U&C −U&A U&CA +U&A −U&C = 0.

Векторная диаграмма фазных и линейных напряжений для схемы на рис. 4.3 приведена на рис. 4.5 (обход производим в направлении линейных напряжений):

U&AB =U&A +(−U&B ).

Из векторной диаграммы можно получить соотношение фазных и линейных напряжений симметричного источника при соединении звездой:

U AB = 2U A cos30° = 3U A .

В общем случае при соединении фаз симметричного источника звездой Uл = 3Uф . При соединении треугольником линейные напряжения равны фазным Uл =Uф .

Отметим, что для системы линейных напряжений независимо от характера нагрузки сумма их мгновенных значений или векторов всегда равна нулю. По ГОСТу номинальные напряжения 380/220; 220/127.

Рис. 4.5

73

Соединение фаз приёмников «звездой». Симметричная нагрузка.

Начала и концы фаз приёмника обозначают a, b, c и x, y, z. Симметричными называют приёмники, комплексы сопротивлений

фаз которых равны между собой Z&a = Z&b = Z&c = ze jϕ . Если это условие не

выполняется, то приёмники называют несимметричными, при этом нагрузка может быть равномерной, если za = zb = zc , или однородной, если

ϕa = ϕb = ϕc .

Так как при соединении звездой фазы генератора соединены последовательно с фазами нагрузки, линейные токи одновременно являются и

фазными токами, как в фазах генератора, так и в фазах нагрузки Iф = Iл .

За условное положительное направление токов IА, IВ, IС принимают направление от источника к нагрузке. За положительное направление тока в нейтральном проводе – от нагрузки к источнику.

Если пренебречь сопротивлениями линейного и нейтрального проводов, то по II закону Кирхгофа получим:

U&a =U&A; U&b =U&B; U&c =U&C .

Ток в каждой фазе определяется соотношениями:

Ток нейтрального провода находится по I закону Кирхгофа

I&N = I&A + I&B + I&C .

Для «звезды» выполняются соотношения:

I&a = I&A; I&b = I&B; I&c = I&C ; Iл = Iф; Uл = 3Uф.

На рисунке 4.6 представлены векторные диаграммы токов и напряжений для активной нагрузки (а), активно-индуктивной (б) и активноёмкостной (в)

Рис. 4.6

74

Токи в фазах приёмников равны по значению и сдвинуты на один и тот же угол относительно соответствующих напряжений, т.е.

ϕA = ϕB = ϕC = ϕ .

Из диаграммы видно, что при симметричной нагрузке ток в нейтральном проводе отсутствует I&Nn = 0 , так как I&A + I&B + I&C = 0 и необхо-

димость в этом проводе отпадает. Трёхфазная цепь без нейтрального провода называется трёхпроводной. При симметричной нагрузке достаточно определить ток только одной фазы. В трёхпроводную цепь при соединении нагрузки звездой включают только симметричные трёхфазные приёмники.

Соединение приёмников «звездой» при несимметричной нагрузке.

Четырёхпроводная цепь. Рассмотрим соединение приёмников «звездой» при несимметричной нагрузке и при наличии нейтрального провода на примере схемы, изображённой на рис. 4.7.

При несимметричной нагрузке сопротивления приёмников не одинаковы

Za ≠ Zb ≠ Zc ; в этом случае применяют четырёхпроводные цепи, так как между точками N и n появляется напряжение UNn, а напряжения на фазах нагрузки различны.

Наличие нейтрального провода позволяет обеспечить симметрию фазных напряжений приёмника при несимметричной

нагрузке и их равенство фазным напряжением генератора. При этом токи в фазах будут разными.

Решение несимметричной четырёхпроводной цепи рассмотрим на примере цепи, представленном на рис. 4.7.

1. Выбирается система фазных напряжений источника питания. UNn определяем по схеме методом двух узлов:

U&Nn = E&A ya++ E&+B yb ++E&C yc , y&a y&b y&c y&Nn

где проводимости фаз приёмника и нейтрального провода:

U&a =U&A; U&b =U&B ; U&c =U&C .

75

2. Определяется полное комплексное сопротивление каждой фазы:

Z&a = Ra ; Z&b = Rb − jXb; Z&c = Rc + jXc. 3. Определяются фазные токи по закону Ома:

4. Ток нейтрального провода определяется по I закону Кирхгофа:

I&Nn = I&a + I&b + I&c .

5. Строится совмещённая векторная диаграмма токов и напряжений

(рис. 4.8).

Рис. 4.8

Соединение приёмников «звездой» при несимметричной нагрузке.

Трёхпроводная цепь. Соединение фаз приёмника звездой без нулевого провода при несимметричной нагрузке никогда не применяют, однако такая ситуация может возникнуть при обрыве нейтрального провода. Тогда при соединении фаз приёмника звездой между нейтральной точкой генератора N и нейтральной точкой приёмника n возникает напряжение UNn ≠ 0, называемое напряжением между нейтралями. Уберём из схемы на рис. 4.7 нейтральный провод. Фазные напряжения приёмника определим из уравнений II закона Кирхгофа:

E&A =U&a +U&Nn ; E&B =U&b +U&Nn ; E&C =U&c +U&Nn ;

U&a = E&A −U&Nn; U&b = E&B −U&Nn; U&c = E&C −U&Nn .

76

6. Строится совмещённая векторная диаграмма токов и напряжений

(рис. 4.10).

Из диаграммы видно, что U&a ≠U&b ≠U&c . Это явление называют пере-

косом фаз. Плавкий предохранитель никогда не ставят в нейтральный провод, так как при перегорании предохранителя на фазах нагрузки могут возникнуть перенапряжения.

Рис. 4.10

Соединение фаз приёмника треугольником. Симметричная на-

грузка. Если три фазы приёмника с сопротивлением Z&ab , Z&bc и Z&ca вклю-

чить непосредственно между линейными проводами трёхпроводной цепи, то получим соединение приёмников треугольником (рис. 4.11).

Из схемы видно, что каждая фаза приёмника непосредственно подключена на линейное напряжение Uл =Uф . Здесь фазные и линейные

токи не равны между собой. Фазные токи равны:

Линейные токи определим из I закона Кирхгофа для узлов а, в, с:

I&A = I&ab −I&ca ; I&B = I&bc −I&ab ; I&C = I&ca − I&bc ,

т.е. значения линейных токов IА, IВ, IС равны геометрической разности векторов соответствующих фазных токов.

78

Линейные токи определяются по первому закону Кирхгофа для узлов a, b, c:

I&A = I&ab − I&ca; I&B = I&bc − I&ab; I&C = I&ca − I&bc

В этом случае вектора линейных токов не образуют симметричную систему.

Из уравнений для линейных токов следует, что независимо от харак-

тера нагрузки I&A + I&B + I&C = 0 .

Важным при соединении фаз треугольником является то, что при изменении сопротивления одной из фаз режим работы других фаз остаётся неизменным, так как линейные напряжения генератора являются постоянными. Будет изменяться только ток данной фазы и линейные токи в проводах линии, соединяющих с этой фазой.

Поэтому схема соединения фаз приёмника треугольником широко используется для включения несимметричной нагрузки.

Построение векторных диаграмм аналогично построению при симметричной нагрузке.

Алгоритм решения задачи.

1.Выбирается система фазных напряжений источника питания.

2.Определяется полное комплексное сопротивление каждой фазы.

3.Определяются фазные токи по закону Ома.

4.Строится совмещённая векторная диаграмма токов и напряжений.

Мощность трёхфазной электрической цепи. Запишем выражение

для полной мощности каждой фазы: для четырёхпроводной схемы, представленной на рис. 4.13:

Рис. 4.13

80

Активная мощность приёмников трёхфазной цепи равна сумме активных мощностей отдельных фаз P = PA + PB + PC .

Реактивная мощность соответственно равна алгебраической сумме реактивных мощностей отдельных фаз Q =QA +QB +QC .

При симметричной нагрузке P =3Pф =3UфIф cosϕ.

При анализе трёхфазных цепей удобно пользоваться линейными значениями напряжений и токов.

Для «звезды» Uф = U3л ; Iл = Iф .

Для «треугольника» Uф =Uл; Iф = Iл3 .

Отсюда вывод: независимо от схемы соединения фаз приёмника активная мощность при симметричной нагрузке определяется одной и той

же формулой P = 3UлIл cos ϕф, обычно индексы «л» и «ф» опускают

P = 3UI cos ϕ, аналогично: Q = 3UI sin ϕ; S = 3UI .

Для трёхпроводной цепи (рис. 4.14) полную мощность можно измерить с помощью двух ваттметров.

~ = & &* + & + &* = (& − & )&* +(& − & )&* = & &* + & &* + & &*

S U AC I A UBC IB U A UC I A UB UC IB U AI A UB IB UC IC ,

так как I&C* = I&*A − I&B* .

Рис. 4.14

На щитке любого источника электрической энергии переменного тока указана величина полной мощности S. Она характеризует ту мощность, которую этот источник может отдать потребителю, если тот будет работать при cosϕ = 1 (чисто активное сопротивление).

Если заданы U& =U&e jϕu и I& = Ie jϕI , то полная мощность определяется по формуле

81