3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Электрические цепи, в которых ЭДС, напряжения и токи изменяются во времени по синусоидальному закону, называются цепями переменного синусоидального тока.

Основным преимуществом синусоидальных токов является то, что они позволяют наиболее экономично осуществлять производство, передачу, распределение и использование электрической энергии.

Основные понятия и определения. Синусоидальный ток представ-

ляет собой ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону, i = Im sin(ωt +ϕ), график изменения тока показан на рис. 3.1.

На практике все источники переменного тока (генераторы электростанций) создают ЭДС, изменяющуюся по синусоидальному закону.

Действующим значением синусоидального тока называют такое значение постоянного тока, при прохождении которого в одном и том же редукторе R за время одного периода Т выделяется столько же теплоты, сколько и при прохождении синусоидального тока:

T

– для синусоидального тока Q~ = ∫i2 Rdt ;

0

– для постоянного тока Q− = I 2 RT .

Таким образом, действующее значение синусоидального тока является его среднеквадратичным значением. Вычислим интеграл под корнем:

40

Рис. 3.10. График изменения тока:

Im – максимальное значение тока, амплитуда; Т – период, время за которое

совершается одно полное колебание; f = 1 – частота колебаний в с [с–1][Гц];

T

ω = 2πf = 1 – угловая частота [рад/с][с–1]; ωt + ϕ – фаза, характеризует

T

состояние колебания в данный момент времени; ϕ – начальная фаза, характеризует состояние в начальный момент времени

Все приборы для измерения физических величин регистрируют действующие значения U и I. Аналогично для ЭДС и напряжения:

Е = 0,707Em , U = 0,707Um.

За среднее значение синусоидального тока можно принять такое значение постоянного тока, при котором за полпериода переносится такой же электрический заряд, что и при синусоидальном токе:

Отношение действующего значения к среднему называется коэффициентом формы периодической кривой:

Коэффициент амплитуды – это отношение амплитуды периодически изменяющейся функции к её действующему значению, ka = IIm .

Для синусоидальной кривой kф =1,11, kа = 2.

Изображение синусоидальных ЭДС, токов и напряжений на плоскости декартовых координат. Запишем синусоидальные ЭДС, на-

пряжения и токи в виде:

e = Em sin(ωt ±ϕe ), u =Um sin(ωt ±ϕu ), i = Im sin(ωt ±ϕi ),

где ωt ±ϕ – фазовый угол или фаза; ϕe , ϕu , ϕi – начальная фаза (t = 0).

Если синусоидальные величины одновременно проходят через нулевые и максимальные значения, то они совпадают по фазе. Если при этом ϕu = ϕe = ϕi , то величины также совпадают по фазе (рис. 3.2).

Если две синусоидальные величины одновременно проходят через нулевые значения и принимают максимальные значения противоположных знаков, то такие величины находятся в противофазе (сдвинуты на угол π) (рис. 3.3).

Рис. 3.2

42

записи их комплексными числами. Комплексная плоскость представляет собой прямоугольную систему координат, где ось абсцисс является вещественной или действительной и обозначается +1. Ось ординат – мнимая

ось, обозначается +j, где j = −1 . По вещественной оси откладывают

действительную часть комплексного числа x, по мнимой – мнимую – jy (рис. 3.5). Комплексное число обозначают точкой.

где A = x2 + y2 – модуль числа; e jϕa = cosϕa + j sin ϕa – формула Эйлера;

е – основание натурального логарифма.

Комплексное число имеет три формы записи: показательную, тригонометрическую и алгебраическую (3.5).

За положительное направление вращения вектора на комплексной плоскости принимают направление вращения против часовой стрелки относительно действительной оси.

Пусть нам задано ЭДС, напряжение и ток в синусоидальной форме:

+ϕe ), u =Um sin(ωt +ϕu ), i = Im sin(ωt +ϕi ).

Перейдём к комплексной форме:

E&m = Eme jϕe , U&m =Ume jϕu , I&m = Ime jϕi .

Аналогично для действующих значений этих величин:

На практике символический (комплексный) метод расчёта цепей синусоидального тока получил широкое распространение. Его сущность состоит

втом, что при синусоидальном токе можно перейти от дифференциальных уравнений мгновенных значений электрических величин к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексов тока и ЭДС. При этом

влюбом уравнении, составленном по закону Кирхгофа, мгновенное значе-

ние тока i заменяют комплексной амплитудой тока I&m , мгновенное значение напряжения u соответствующим комплексом U&m .

44

Законы Кирхгофа формулируются:

1. Сумма комплексных токов в узле электрической цепи равна

n

нулю: ∑I&k = 0.

k=1

2.Сумма комплексных ЭДС в контуре равна сумме комплексных

В комплексной форме

R + jωL − ωic в уравнении (3.7) представляет собой комплекс, имеет раз-

мерность сопротивления [Ом] и обозначается z& :

действующих значений I& и E&.

Закон Ома для цепи синусоидального тока в комплексной форме имеет вид: I& = Ez&& , z& = R + jX – полное комплексное сопротивление цепи

45

[Ом]; R – активное сопротивление [Ом], Х – реактивное сопротивление

[Ом],

X = ωL − ω1c = X L − XC .

Для мгновенных значений законы Ома и Кирхгофа справедливы в алгебраической форме. Для максимальных и действующих значений эти законы справедливы только в векторном виде или в комплексной форме.

Простые электрические цепи. Активное со-

противление в цепях переменного тока. Пусть через резистор R (рис. 3.7) протекает ток i = Im sin ωt . По закону Ома: U =iR = RIm sinωt .

Обозначим Um = ImR и окончательно получим U =Um sin ωt . Сравним выражения для тока и

напряжения. Напряжение изменяется по синусоидальному закону и совпадает по фазе с током рис. 3.8, а. На рисунке 3.8, б представлена совмещённая векторная диа-

грамма токов и напряжений.

Мгновенная мощность – это произведение мгновенного значения напряжения на участке цепи на мгновенное значение тока i, протекающего по этому участку:

P = ui =U m Im sin ωt sin ωt = U m2Im (1−cos 2ωt).

Мощность на активном сопротивлении R остаётся весь период положительной. Это означает, что электрическая мощность, поступающая из сети на резистивный элемент, полностью преобразуется в нем тепловую энергию, и нагревая его, рассеивается в окружающее пространство.

Рис. 3.8

46

Индуктивное сопротивление в цепи переменного тока. Пусть через индуктивный элемент L (рис. 3.9) протекает ток i = Im sin ωt , в резуль-

тате в катушке L наводится ЭДС самоиндукции

eL = −L dtdi = −ωLIm cosωt = = −ωLIm sin(ωt +90°).

uab = u = −e u = ωLIm sin(ωt +90°)=Um sin(ωt +90°),

где X L = ωL = 2πfL – индуктивное сопротивление.

Закон Ома: Um = Im X.

Из сравнения выражений для тока i и напряжения u видно, что напряжение опережает ток на 90° и изменяется по синусоидальному закону (рис. 3.10, а). На рисунке 3.10, б представлена векторная диаграмма тока и

напряжения для этого случая. Отметим, что U = L dtdi .

Мгновенная мощность P =ui =Um cosωtIm sin ωt = Um2Im sin 2ωt .

а)

б)

Рис. 3.10

47

Ёмкостный элемент в цепи переменного тока.

конденсатор будет периодически перезаряжаться, следовательно, через него будет протекать ток

= ωCUm sin(ωt +90°),

отсюда видно, что ток изменяется по синусоидальному закону и опережает напряжение на 90° (рис. 3.12, а). На рисунке 3.12, б представлена век-

торная диаграмма тока и напряжения. Обозначим XC = ω1C [Ом] – ёмко-

стное сопротивление.

Рис. 3.12

Мгновенная мощность p = ui = Um2Im sin 2ωt.

Последовательное соединение R, L и C элементов. Рассмотрим схему, состоящую из последовательно соединённых R-, L- и C-элементов (рис. 3.13), по которой протекает ток i = Im sin(ωt +ϕ).

Для данной схемы составим уравнения по II закону Кирхгофа, получим

48

В зависимости от соотношения между XL и XC полное сопротивление может быть:

а) активно-индуктивным → XL > XC;

б) активно-ёмкостным → XC > XL;

в) активным XL = XC.

На рисунке 3.14 показаны векторные диаграммы для этих трёх случаев.

Рис. 3.14

Для схемы (рис. 3.13) запишем выражение для полного сопротивле-

ния:

Z& = R + j(X L − XC )= Ze jϕ ,

Отметим, что

R = ∑Ri ,

X L = ∑X Li , XС = ∑XСш .

Резонанс напряжений. Резонанс напряжений – это явление в последовательной электрической цепи переменного синусоидального тока, содержащей R-, L- и C-элементы (рис. 3.13), при котором в результате равенства индуктивного и ёмкостного сопротивлений ток цепи совпадает по фазе с общим напряжением цепи.

При резонансе напряжений индуктивное и ёмкостное сопротивления взаимно компенсируются, и в результате этого реактивное сопротивление и мощность равны нулю. Угол сдвига фаз между током и напряжением равен нулю и полное сопротивление цепи равно её активному сопротивлению.

49

Если ϕ = arctg(X R), то ϕ = 0 при X = 0 . Следовательно, при резо-

нансе Z = R2 +(X L − XC )2 = R, X L − XC = 0, или ωL =1ωC .

Откуда угловая частота при резонансе ωрез =1 LC .

Равенство индуктивного и ёмкостного сопротивлений при резонансе называют характеристическим сопротивлением контура ρ.

ωрезL =1(ωрез С) = LC .

Отношение напряжения на индуктивности или на ёмкости к напряжению, приложенному к цепи при резонансе, называют добротностью контура или коэффициентом резонанса:

Q =UL U =UC U =ρR .

Добротность показывает, во сколько раз напряжение UL или UC больше напряжения на входе в цепи.

Ток при резонансе напряжений значительно больше тока цепи в отсутствие резонанса, так как при резонансе его значение ограничивается только сопротивлением R. При резонансе напряжение на индуктивности и ёмкости при больших XL и XС по сравнению с R может быть во много раз больше напряжения сети.

ULрре =UCрре = IрезXL = IрезXC .

Напряжение на активном сопротивлении при резонансе равно напряжению, приложенному к цепи:

UR = IрезR =U .

Векторная диаграмма цепи при резонансе напряжений представлена на рис. 3.15.

Рис. 3.15

50

Полная мощность равна активной мощности S = P2 +Q2 = P , так как реактивная мощность при резонансе равна 0:

Q = QL +QC = 0 .

Коэффициент мощности при резонансе cosϕ = PS =1 .

Способы получения резонанса следуют из равенства XL = XC:

−изменение индуктивности;

−изменение ёмкости;

−изменение частоты напряжения f (ω = 2πf ).

Электрическая цепь при параллельном соединении R, L и С.

Рассмотрим электрическую цепь с соединёнными параллельно R-, C- и L-элементами (рис. 3.16).

Рис. 3.16

Пусть к данной цепи подводится напряжение U =Um sin ϖt , под действием которого в ветвях цепи создаются токи:

Найдём действующие значения токов схемы на рис. 3.16:

мость.

51

Запишем I закон Кирхгоффа для данной электрической цепи:

I& = I&1 + I&2 + I&3 .

Построим векторную диаграмму токов и напряжений для цепи на рис. 3.16. При построении векторной диаграммы токов за начальный удобно взять вектор напряжения, общий для всех ветвей цепи (рис. 3.17).

Рис. 3.17

Вектор тока I&1 совпадает по фазе с вектором U& , вектор I&2 отстаёт от вектора U& на угол π2 , а вектор I&3 опережает вектор U& на угол π2 .

Произведя геометрическое сложение векторов на комплексной плоскости, найдём вектор общего тока I& .

Рис. 3.18

На рисунке 3.18 построен треугольник токов, катеты которого равны активной Ia и реактивной I p составляющим, а гипотенуза полному

току I. Активная составляющая тока совпадает по фазе с напряжением. Реактивная составляющая тока I p = I2 − I3 сдвинута по фазе относитель-

но напряжения на угол π2 .

Если I2 > I3 , то I p отстаёт от U на угол π2 , а ток I отстаёт на угол ϕ.

52

Если I3 > I2 , то I p опережает U на угол π2 , а ток I опережает U

на угол ϕ.

Из графика токов (рис.3.18) следует, чтоIa = I cosϕ ; I p = I sinϕ;

I = Ia2 + I p2 = Ia2 +(I2 − I3 )2 ,

Полная проводимость цепи равна квадратному корню из сумм квадратов активной и реактивной проводимостей.

y = y2 +(bL −bc )2 = g2 +b2 , I = yU = g2 +(bL −bc )2U.

Поделим стороны треугольника токов на напряжение U, получим треугольник проводимостей. Из треугольника проводимостей (рис. 3.19):

g = y cosϕ = cosZ ϕ, b = ysin ϕ = sinZϕ,

ϕ = arctg b = arctg bL −bC . g g

Запишем полную проводимость в комплексной форме: y& = Z1& = Ze1jϕ = ye− jϕ = g − jb,

где g = ZR2 ; b =bL −bC ; bL = XZ 2L ; bC = XZC2 .

а) б)

Рис. 3.19

53

Резонанс токов. Режим работы цепи синусоидального переменного тока, содержащей параллельные ветви с индуктивными и ёмкостными элементами, когда в результате равенства ёмкостной и индуктивной проводимостей (bC =bL ) ток в неразветвлённой части цепи совпадает

по фазе с напряжением и называется резонансом токов.

В момент резонанса токов токи в ветвях с реактивной проводимостью равны между собой и могут превышать полный ток цепи (так как токи IL и IC находятся в противофазе). Если bL =bC > g IL = IC > I .

Для схемы на рис. 3.20 запишем выражение для тока:

I = yU = g2 +(bL −bC )2 u.

Особый интерес представляет случай, когда bL =bC . Тогда полная проводимость цепи y = g , так как b =bL −bC = 0 , а полный ток I = gU имеет минимальное значение и только активную составляющую.

I2 = IL =bLU = bgLI ; I3 = IC =bCU = bgC .

Векторная диаграмма токов для случая резонанса токов представлена на рис. 3.21.

В резонансе токов цепь ведёт себя по отношению к источнику питания как цепь с элементами с активной проводимостью. Через L и С могут протекать токи, превышающие ток в источнике питания, но они компенсируют друг друга.

Способы достижения резонанса:

1)изменение ƒ;

2)изменение L;

3)изменение C.

54

3.2.ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

ИСАМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Последовательное соединение элементов. Найти ток, построить совмещённую векторную диаграмму токов и напряжений.

Таблица

55

56

Продолжение таблицы

57

Продолжение таблицы

58

59

60

61

62

63

64